Суперсовершенное число

В теории чисел суперсовершенное число — это целое положительное число n, удовлетворяющее условию

$\sigma ^{2}(n)=\sigma (\sigma (n))=2n\,,$

где σ — сумматорная функция делителей . Сверхсовершенные числа не являются обобщением совершенных чисел , но имеют общее обобщение. Термин был придуман Д. Сурьянараяной (1969).

Первые несколько суперсовершенных чисел:

2 , 4 , 16 , 64 , 4096 , 65536 , 262144, 1073741824, ... (последовательность A019279 в OEIS ).

Для иллюстрации: можно увидеть, что 16 — суперсовершенное число, так как σ(16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 и σ(31) = 1 + 31 = 32 , таким образом σ(σ(16) ) знак равно 32 знак равно 2 × 16 .

Если n — четное сверхсовершенное число, то n должно быть степенью 2 , 2. ^к , такой, что 2 ^{к +1} − 1 — простое число Мерсенна .

Неизвестно, существуют ли нечетные сверхсовершенные числа. Нечетное суперсовершенное число n должно быть квадратным числом таким, что либо n , либо σ ( n ) делится как минимум на три различных простых числа. Не существует нечетных сверхсовершенных чисел меньше 7 × 10. ²⁴ .

Обобщения

Совершенные и сверхсовершенные числа являются примерами более широкого класса m -сверхсовершенных чисел, которые удовлетворяют

$\sigma ^{m}(n)=2n,$

соответствующие m =1 и 2 соответственно. Для m ≥ 3 не существует четных m -сверхсовершенных чисел.

m -сверхсовершенные числа , в свою очередь, являются примерами ( m , k )-совершенных чисел, которые удовлетворяют

$\sigma ^{m}(n)=kn\,.$

В этих обозначениях совершенные числа являются (1,2)-совершенными, мультисовершенные числа являются (1, k )-совершенными, сверхсовершенные числа являются (2,2)-совершенными, а m -сверхсовершенные числа являются ( m ,2)-совершенными. Примеры классов ( m , k )-совершенных чисел:

м	к	( m , k )-совершенные числа	OEIS Последовательность
2	2	2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144	А019279
2	3	8, 21, 512	А019281
2	4	15, 1023, 29127	А019282
2	6	42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024	А019283
2	7	24, 1536, 47360, 343976	А019284
2	8	60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072	А019285
2	9	168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936	А019286
2	10	480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296	А019287
2	11	4404480, 57669920, 238608384	А019288
2	12	2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120	А019289
3	любой	12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, ...	А019292
4	любой	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, ...	А019293

Ссылки

• Суперсовершенное число в PlanetMath .
• Коэн, Г.Л.; те Риле, HJJ (1996). «Итерация функции суммы делителей» . Экспериментальная математика . 5 (2): 93–100. дои : 10.1080/10586458.1996.10504580 . S2CID   28197771 . Збл   0866.11003 .
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . Б9. ISBN  978-0-387-20860-2 . Збл   1058.11001 .
• Шандор, Джозеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag . ISBN  1-4020-4215-9 . Збл   1151.11300 .
• Сурьянараяна, Д. (1969). «Суперсовершенные числа». Элем. Математика . 24 : 16–17. Збл   0165.36001 .