Странное число
В теории чисел странное число — это натуральное число , которого много , но которое не является полусовершенным . [1] [2] Другими словами, сумма правильных делителей ( делителей , включающих 1, но не само число) числа больше числа, но никакое подмножество этих делителей не дает в сумме само число.
Примеры [ править ]
Наименьшее странное число — 70. Его правильные делители — 1, 2, 5, 7, 10, 14 и 35; их сумма равна 74, но никакое подмножество этих сумм не дает 70. Например, число 12 является многочисленным, но не странным, потому что собственные делители 12 — это 1, 2, 3, 4 и 6, что в сумме дает 16; но 2+4+6=12.
Первые несколько странных чисел:
- 70 , 836 , 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792, 10990, 11410, 11690, 12110, 12530, 12670, 13370, 13510, 0, 13930, 14770, ... (последовательность A006037 в ОЭИС ).
Свойства [ править ]
Есть ли какие-нибудь странные странные цифры?
Существует бесконечно много странных чисел. [3] Например, 70 p является странным для всех простых чисел p ≥ 149. Фактически, набор странных чисел имеет положительную асимптотическую плотность . [4]
Неизвестно, существуют ли какие-либо нечетные странные числа. Если да, то их должно быть больше 10. 21 . [5]
Сидни Кравиц показал, что для k — положительное целое число , Q — простое число, превышающее 2. к , и
также простое и больше 2 к , затем
это странное число. [6] С помощью этой формулы он нашел большое странное число
Примитивные странные числа [ править ]
Свойство странных чисел состоит в том, что если n является странным и p — простое число, большее суммы делителей σ( n ), то pn также является странным. [4] Это приводит к определению примитивных странных чисел : странных чисел, которые не кратны другим странным числам (последовательность A002975 в OEIS ). Среди 1765 странных чисел менее миллиона есть 24 примитивных странных числа. Конструкция Кравица дает примитивные странные числа, поскольку все странные числа вида примитивны, но существование бесконечного числа k и Q , дающих простое число R, не гарантируется. Предполагается , что существует бесконечно много примитивных странных чисел, и Мелфи показал, что бесконечность примитивных странных чисел является следствием гипотезы Крамера . [7] Были найдены примитивные странные числа, состоящие из 16 простых делителей и 14712 цифр. [8]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Бенкоски, Стэн (август – сентябрь 1972 г.). «E2308 (в разделе «Проблемы и решения»)». Американский математический ежемесячник . 79 (7): 774. дои : 10.2307/2316276 . JSTOR 2316276 .
- ^ Ричард К. Гай (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-20860-7 . OCLC 54611248 . Раздел Б2.
- ^ Сандор, Джозеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Publishing . стр. 100-1 113–114. ISBN 1-4020-4215-9 . Збл 1151.11300 .
- ^ Перейти обратно: а б Бенкоски, Стэн; Эрдеш, Пол (апрель 1974 г.). «О странных и псевдосовершенных числах» . Математика вычислений . 28 (126): 617–623. дои : 10.2307/2005938 . JSTOR 2005938 . МР 0347726 . Збл 0279.10005 .
- ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006037 (Странные числа: много (A005101), но не псевдоидеально (A005835))» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС. -- комментарии, касающиеся нечетных странных чисел
- ^ Кравиц, Сидней (1976). «Поиск больших странных чисел». Журнал развлекательной математики . 9 (2). Издательство Бэйвуд: 82–85. Збл 0365.10003 .
- ^ Мелфи, Джузеппе (2015). «Об условной бесконечности примитивных странных чисел». Журнал теории чисел . 147 . Эльзевир: 508–514. дои : 10.1016/j.jnt.2014.07.024 .
- ^ Амато, Джанлука; Хаслер, Максимилиан; Мелфи, Джузеппе; Партон, Маурицио (2019). «Примитивные обильные и странные числа со множеством простых делителей». Журнал теории чисел . 201 . Эльзевир: 436–459. arXiv : 1802.07178 . дои : 10.1016/j.jnt.2019.02.027 . S2CID 119136924 .
Внешние ссылки [ править ]
Наборы целых чисел на основе делимости |
|---|
