Умножить совершенное число

Демонстрация с помощью стержней Кюизенера 2 -совершенства числа 6.

В математике ( кратно совершенное число также называемое мультисовершенным числом или плюсовершенным числом ) является обобщением совершенного числа .

данного натурального числа k число n называется k -совершенным (или - кратно совершенным), если сумма всех положительных делителей n Для ( функция делителя ; σ ( n )) равна kn k Таким образом, число является совершенным тогда и только тогда, когда оно 2-совершенно . Число, которое является k -совершенным для определенного k, называется кратно совершенным числом. По состоянию на 2014 год k -совершенные известны числа для каждого значения k до 11.

Неизвестно, существуют ли какие-либо нечетные кратно совершенные числа, кроме 1. Первые несколько кратно совершенных чисел:

1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, 32760, 523776, 2178540, 23569920, 33550336, 45532800, 142990848, 459818240, ... (последовательность A007 691 в OEIS ).

Пример

Сумма делителей 120 равна

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360

что равно 3 × 120. Следовательно, 120 — 3-совершенное число.

Наименьшие k числа

В следующей таблице представлен обзор наименьших известных k -совершенных чисел для k ≤ 11 (последовательность A007539 в OEIS ):

к	Наименьшее известное k -совершенное число	Основные факторы	Найден пользователем
1	1		древний
2	6	2 × 3	древний
3	120	2 3 × 3 × 5	древний
4	30240	2 5 × 3 3 × 5 × 7	Рене Декарт , около 1638 г.
5	14182439040	2 7 × 3 4 × 5 × 7 × 11 2 × 17 × 19	Рене Декарт, около 1638 г.
6	154345556085770649600 (21 цифра)	2 15 × 3 5 × 5 2 × 7 2 × 11 × 13 × 17 × 19 × 31 × 43 × 257	Роберт Дэниел Кармайкл , 1907 год.
7	141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 (57 цифр)	2 32 × 3 11 × 5 4 × 7 5 × 11 2 × 13 2 × 17 × 19 3 × 23 × 31 × 37 × 43 × 61 × 71 × 73 × 89 × 181 × 2141 × 599479	Т. Э. Мейсон, 1911 год.
8	826809968707776137289924...057256213348352000000000 (133 цифры)	2 62 × 3 15 × 5 9 × 7 7 × 11 3 × 13 3 × 17 2 × 19 × 23 × 29 × ... × 487 × 521 2 × 601 × 1201 × 1279 × 2557 × 3169 × 5113 × 92737 × 649657 (38 различных простых множителей)	Стивен Ф. Греттон, 1990 г.
9	561308081837371589999987...415685343739904000000000 (287 цифр)	2 104 × 3 43 × 5 9 × 7 12 × 11 6 × 13 4 × 17 × 19 4 × 23 2 × 29 × ... × 17351 × 29191 × 30941 × 45319 × 106681 × 110563 × 122921 × 152041 × 570461 × 16148168401 (66 различных простых множителей)	Фред Хелениус, 1995 г.
10	448565429898310924320164...000000000000000000000000 (639 цифр)	2 175 × 3 69 × 5 29 × 7 18 × 11 19 × 13 8 × 17 9 × 19 7 × 23 9 × 29 3 × ... × 583367 × 1609669 × 3500201 × 119782433 × 212601841 × 2664097031 × 2931542417 × 43872038849 × 374857981681 × 4534166740403 (115 различных простых множителей )	Джордж Вольтман , 2013 г.
11	251850413483992918774837...000000000000000000000000 (1907 цифр)	2 468 × 3 140 × 5 66 × 7 49 × 11 40 × 13 31 × 17 11 × 19 12 × 23 9 × 29 7 × ... × 25922273669242462300441182317 × 15428152323948966909689390436420781 × 420391294797275951862132367930818883361 × 2373541008 6474640244277823338130677687887 × 628683935022908831926019116410056880219316806841500141982334538232031397827230330241 (246 различных простых делителей) )	Джордж Вольтман, 2001 г.

Свойства

Можно доказать , что:

• Для данного простого числа p , если n p - совершенно и p не делит n , то pn -совершенно ( p + 1) . Это означает, что целое число n является 3-совершенным числом, делящимся на 2, но не делящимся на 4, тогда и только тогда, когда n /2 — нечетное совершенное число , ни одно из которых не известно.
• Если 3 n и 4 k -совершенно 3 не делит n , то n совершенно 3 k - .

Нечетное умножение совершенных чисел

Неизвестно, существуют ли какие-либо нечетные кратно совершенные числа, отличные от 1. Однако если нечетное k -совершенное число n существует , где k > 2, то оно должно удовлетворять следующим условиям:

• Самый большой простой множитель ≥ 100129.
• Второй по величине простой множитель ≥ 1009.
• Третий по величине простой множитель ≥ 101.

Границы

В обозначениях «маленькое о» количество кратно совершенных чисел меньше x равно $o(x^{\varepsilon })$ для всех ε > 0.

Число k -совершенных чисел n при n ≤ x меньше $cx^{c'\log \log \log x/\log \log x}$, где c и c' — константы, не зависящие от k .

В предположении гипотезы Римана следующее неравенство справедливо для всех k -совершенных чисел n , где k > 3

$\log \log n>k\cdot e^{-\gamma }$

где $\gamma$ — гамма-константа Эйлера . Это можно доказать с помощью теоремы Робина .

Число делителей τ( n ) k -совершенного числа n удовлетворяет неравенству

$\tau (n)>e^{k-\gamma }.$

Число различных простых множителей ω( n ) числа n удовлетворяет условию

$\omega (n)\geq k^{2}-1.$

Если различные простые делители числа n равны $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}$, затем:

$r\left({\sqrt[{r}]{3/2}}-1\right)<\sum _{i=1}^{r}{\frac {1}{p_{i}}}<r\left(1-{\sqrt[{r}]{6/k^{2}}}\right),~~{\text{if }}n{\text{ is even}}$

$r\left({\sqrt[{3r}]{k^{2}}}-1\right)<\sum _{i=1}^{r}{\frac {1}{p_{i}}}<r\left(1-{\sqrt[{r}]{8/(k\pi ^{2})}}\right),~~{\text{if }}n{\text{ is odd}}$

Конкретные значения k

Совершенные числа

Основная статья: Совершенное число

Число n с σ( n ) = 2 n является совершенным .

Трисовершенные числа

Число n с σ( n ) = 3 n является трисовершенным . Известно только шесть трисовершенных чисел, и считается, что они включают в себя все такие числа:

120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160 (последовательность A005820 в OEIS )

Если существует нечетное совершенное число m (известная открытая проблема ), то 2 m будет 3-совершенным , поскольку σ(2 m ) = σ(2) σ( m ) = 3×2 m . Нечетное трисовершенное число должно быть квадратным числом, превышающим 10. ⁷⁰ и иметь не менее 12 различных простых делителей, наибольший из которых превышает 10. ⁵ .

Вариации

Унитарное умножение совершенных чисел

Аналогичное расширение можно сделать и для унитарных совершенных чисел . Целое положительное число n называется унитарным мульти k - совершенным числом , если σ ^* ( n ) = kn , где σ ^* ( n ) есть сумма его унитарных делителей . (Дивизор d числа n является унитарным делителем, если d и n/d не имеют общих делителей .).

Унитарное кратно совершенное число — это просто унитарное мультиk - совершенное число для некоторого положительного целого числа k . Эквивалентно, унитарные кратно совершенные числа — это те числа n, для которых n делит σ. ^* ( н ). Унитарное мульти -2-совершенное число естественно называть унитарным совершенным числом . В случае k > 2 пример унитарного мульти k -совершенного числа пока не известен. Известно, что если такое число существует, то оно должно быть четным и больше 10. ¹⁰² и должно иметь более сорока четырех нечетных простых делителей. Эту проблему, вероятно, очень трудно решить. Концепция унитарного дивизора первоначально принадлежит Р. Вайдьянатхасвами (1931), который назвал такой дивизор блочным фактором. Данная терминология принадлежит Э. Коэну (1960).

Первые несколько унитарных кратно совершенных чисел:

1, 6, 60, 90, 87360 (последовательность A327158 в OEIS )

Биунитарные совершенные числа

Целое положительное число n называется биунитарным мультиk - совершенным числом , если σ ^** ( n ) = kn , где σ ^** ( n ) является суммой его биунитарных делителей . Эта концепция принадлежит Питеру Хагису (1987). Двуунитарное кратно совершенное число — это просто биунитарное мультиk - совершенное число для некоторого положительного целого числа k . Эквивалентно, биунитарные кратно совершенные числа - это те n , для которых n делит σ ^** ( н ). Двуунитарное мульти2 -совершенное число естественно называется биунитарным совершенным числом , а биунитарное мульти3 -совершенное число называется биунитарным трисовершенным числом .

Делитель d натурального числа n называется биунитарным делителем n , если наибольший общий унитарный делитель (gcud) d и n / d равен 1. Эта концепция принадлежит Д. Сурынараяне (1972). Сумма (положительных) биунитарных делителей числа n обозначается σ ^** ( н ).

Питер Хагис (1987) доказал, что не существует нечетных биунитарных мультисовершенных чисел, отличных от 1. Хаукканен и Ситарамайя (2020) нашли все биунитарные трисовершенные числа формы 2. ^а u, где 1 ≤ a ≤ 6 и u нечетно, и частично случай, когда a = 7. Далее они полностью исправили случай а = 8.

Первые несколько биунитарных кратно совершенных чисел:

1, 6, 60, 90, 120, 672, 2160, 10080, 22848, 30240 (последовательность A189000 в OEIS )

Ссылки

Источники

• Броган, Кевин А.; Чжоу, Цичжи (2008). «Нечетные мультисовершенные числа изобилия 4» (PDF) . Журнал теории чисел . 126 (6): 1566–1575. дои : 10.1016/j.jnt.2007.02.001 . hdl : 10289/1796 . МР   2419178 .
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . Б2. ISBN  978-0-387-20860-2 . Збл   1058.11001 .
• Хаукканен, Пентти; Ситарамайя, В. (2020a). «Биунитарные мультисовершенные числа, I» (PDF) . Заметки по теории чисел и дискретной математике . 26 (1): 93–171. дои : 10.7546/nntdm.2020.26.1.93-171 .
• Хаукканен, Пентти; Ситарамайя, В. (2020b). «Биунитарные мультисовершенные числа, II» (PDF) . Заметки по теории чисел и дискретной математике . 26 (2): 1–26. дои : 10.7546/nntdm.2020.26.2.1-26 .
• Хаукканен, Пентти; Ситарамайя, В. (2020c). «Биунитарные мультисовершенные числа, III» (PDF) . Заметки по теории чисел и дискретной математике . 26 (3): 33–67. дои : 10.7546/nntdm.2020.26.3.33-67 .
• Хаукканен, Пентти; Ситарамайя, В. (2020d). «Биунитарные мультисовершенные числа, IV (a)» (PDF) . Заметки по теории чисел и дискретной математике . 26 (4): 2–32. дои : 10.7546/nntdm.2020.26.4.2-32 .
• Хаукканен, Пентти; Ситарамайя, В. (2021a). «Биунитарные мультисовершенные числа, IV (b)» (PDF) . Заметки по теории чисел и дискретной математике . 27 (1): 45–69. дои : 10.7546/nntdm.2021.27.1.45-69 .
• Хаукканен, Пентти; Ситарамайя, В. (2021b). «Биунитарные мультисовершенные числа, V» (PDF) . Заметки по теории чисел и дискретной математике . 27 (2): 20–40. дои : 10.7546/nntdm.2021.27.2.20-40 .
• Кишоре, Масао (1987). «Нечетные трисовершенные числа делятся на двенадцать различных простых делителей» . Журнал Австралийского математического общества, серия A. 42 (2): 173–182. дои : 10.1017/s1446788700028184 . ISSN   0263-6115 . Збл   0612.10006 .
• Лаатч, Ричард (1986). «Измерение изобилия целых чисел». Журнал «Математика» . 59 (2): 84–92. дои : 10.2307/2690424 . ISSN   0025-570X . JSTOR   2690424 . МР   0835144 . Збл   0601.10003 .
• Мерикель, Джеймс Г. (1999). «Делители сумм делителей: 10617». Американский математический ежемесячник . 106 (7): 693. дои : 10.2307/2589515 . JSTOR   2589515 . МР   1543520 .
• Райан, Ричард Ф. (2003). «Простое и плотное доказательство индекса изобилия». Журнал «Математика» . 76 (4): 299–301. дои : 10.1080/0025570X.2003.11953197 . JSTOR   3219086 . МР   1573698 . S2CID   120960379 .
• Шандор, Джозеф; Крстичи, Борислав, ред. (2004). Справочник по теории чисел II . Дордрехт: Клювер Академик. стр. 32–36 . ISBN  1-4020-2546-7 . Збл   1079.11001 .
• Шандор, Джозеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag . ISBN  1-4020-4215-9 . Збл   1151.11300 .
• Сорли, Рональд М. (2003). Алгоритмы в исследовании мультисовершенных и нечетных совершенных чисел (кандидатская диссертация). Сидней: Технологический университет. HDL : 10453/20034 .
• Вайнер, Пол А. (2000). «Коэффициент изобилия, мера совершенства». Журнал «Математика» . 73 (4): 307–310. дои : 10.1080/0025570x.2000.11996860 . JSTOR   2690980 . МР   1573474 . S2CID   119773896 .

См. также

• Полусовершенное число

Внешние ссылки

• Страница «Умножение совершенных чисел»
• Главный глоссарий: умножение совершенных чисел
• Шесть трисовершенных чисел на YouTube