Jump to content

Функция делителя

(Перенаправлено из «Количество делителей »)
Функция делителя σ 0 ( n ) до n = 250
Сигма-функция σ 1 ( n ) до n = 250
Сумма квадратов делителей, σ 2 ( n ), до n = 250
Сумма кубов делителей, σ 3 ( n ) до n = 250

В математике , и особенно в теории чисел , функция делителя — это арифметическая функция, связанная с делителями целого числа . Когда ее называют функцией делителя, она подсчитывает количество делителей целого числа (включая 1 и само число). Оно проявляется в ряде замечательных тождеств, включая соотношения дзета-функции Римана и Эйзенштейна ряда модулярных форм . Функции делителей изучал Рамануджан , который дал ряд важных сравнений и тождеств ; они рассматриваются отдельно в статье « Сумма Рамануджана» .

Родственной функцией является функция суммирования делителей , которая, как следует из названия, представляет собой сумму по функции делителя.

Определение

[ редактировать ]

Сумма положительных делителей функции σ z ( n ) для действительного или комплексного числа z определяется как сумма z х - степеней положительных делителей числа n . Это можно выразить в сигма-нотации как

где является сокращением от « d делит n ».Обозначения d ( n ), ν ( n ) и τ ( n ) (для немецкого Teiler = делители) также используются для обозначения σ 0 ( n ) или функции числа делителей [1] [2] ( ОЭИС : A000005 ). Когда z равно 1, функция называется сигма-функцией или функцией суммы делителей . [1] [3] а нижний индекс часто опускается, поэтому σ( n ) совпадает с σ1 ( n ) ( OEIS : A000203 ).

Аликвотная сумма s ( n ) числа n представляет собой сумму собственных делителей (то есть делителей, исключающих сам n , OEIS : A001065 ), и равна σ 1 ( n ) − n ; последовательность аликвот n . формируется путем многократного применения функции суммы аликвот

Например, σ 0 (12) — количество делителей числа 12:

а σ 1 (12) — сумма всех делителей:

а аликвотная сумма s(12) собственных делителей равна:

σ -1 ( n ) иногда называют индексом изобилия n : , и мы имеем

Таблица значений

[ редактировать ]

Случаи x = 2–5 перечислены в OEIS : A001157 OEIS : A001160 , x = 6–24 перечислены в OEIS : A013954 OEIS : A013972 .

н факторизация 𝜎 0 ( п ) 𝜎 1 ( п ) 𝜎 2 ( п ) 𝜎 3 ( п ) 𝜎 4 ( п )
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 3 5 9 17
3 3 2 4 10 28 82
4 2 2 3 7 21 73 273
5 5 2 6 26 126 626
6 2×3 4 12 50 252 1394
7 7 2 8 50 344 2402
8 2 3 4 15 85 585 4369
9 3 2 3 13 91 757 6643
10 2×5 4 18 130 1134 10642
11 11 2 12 122 1332 14642
12 2 2 ×3 6 28 210 2044 22386
13 13 2 14 170 2198 28562
14 2×7 4 24 250 3096 40834
15 3×5 4 24 260 3528 51332
16 2 4 5 31 341 4681 69905
17 17 2 18 290 4914 83522
18 2×3 2 6 39 455 6813 112931
19 19 2 20 362 6860 130322
20 2 2 ×5 6 42 546 9198 170898
21 3×7 4 32 500 9632 196964
22 2×11 4 36 610 11988 248914
23 23 2 24 530 12168 279842
24 2 3 ×3 8 60 850 16380 358258
25 5 2 3 31 651 15751 391251
26 2×13 4 42 850 19782 485554
27 3 3 4 40 820 20440 538084
28 2 2 ×7 6 56 1050 25112 655746
29 29 2 30 842 24390 707282
30 2×3×5 8 72 1300 31752 872644
31 31 2 32 962 29792 923522
32 2 5 6 63 1365 37449 1118481
33 3×11 4 48 1220 37296 1200644
34 2×17 4 54 1450 44226 1419874
35 5×7 4 48 1300 43344 1503652
36 2 2 ×3 2 9 91 1911 55261 1813539
37 37 2 38 1370 50654 1874162
38 2×19 4 60 1810 61740 2215474
39 3×13 4 56 1700 61544 2342084
40 2 3 ×5 8 90 2210 73710 2734994
41 41 2 42 1682 68922 2825762
42 2×3×7 8 96 2500 86688 3348388
43 43 2 44 1850 79508 3418802
44 2 2 ×11 6 84 2562 97236 3997266
45 3 2 ×5 6 78 2366 95382 4158518
46 2×23 4 72 2650 109512 4757314
47 47 2 48 2210 103824 4879682
48 2 4 ×3 10 124 3410 131068 5732210
49 7 2 3 57 2451 117993 5767203
50 2×5 2 6 93 3255 141759 6651267

Характеристики

[ редактировать ]

Формулы в простых степенях

[ редактировать ]

Для простого p числа

потому что по определению делители простого числа равны 1 и самому себе. Кроме того, где p n # обозначает первоначальный ,

поскольку n простых множителей допускают последовательность двоичного выбора ( или 1) из n слагаемых для каждого образовавшегося собственного делителя. Однако это, как правило, не самые маленькие числа, число делителей которых равно степени двойки ; вместо этого наименьшее такое число может быть получено путем умножения первых n простых чисел Ферми – Дирака , степеней простых чисел, показатель степени которых равен степени двойки. [4]

Четко, для всех , и для всех , .

Функция делителя мультипликативна (поскольку каждый делитель c произведения mn с отчетливо соответствуют делителю a числа m и делителю b числа n ), но не полностью мультипликативны :

Следствием этого является то, что если мы напишем

где r = ω ( n ) — количество различных простых делителей числа , n pi й i- простой делитель, а ai максимальная степень числа pi , которую n делится на , тогда мы имеем: [5]

что, когда x ≠ 0, эквивалентно полезной формуле: [5]

Когда х = 0, является: [5]

Этот результат можно непосредственно вывести из того факта, что все делители однозначно определяются отдельными кортежами целых чисел с (т.е. независимый выбор для каждого ).

Например, если n равно 24, существует два простых делителя ( p 1 равно 2; p 2 равно 3); отметив, что 24 является произведением 2 3 ×3 1 , a 1 равно 3, a 2 равно 1. Таким образом, мы можем вычислить вот так:

Восемь делителей, подсчитываемых по этой формуле, — это 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 и 24.

Другие свойства и личности

[ редактировать ]

Эйлер доказал замечательную повторяемость: [6] [7] [8]

где если это произойдет и для , и представляют собой последовательные пары обобщенных пятиугольных чисел ( OEIS : A001318 , начиная со смещения 1). Действительно, Эйлер доказал это посредством логарифмического дифференцирования тождества в своей теореме о пятиугольных числах .

Для неквадратного целого числа n каждый делитель d числа n соединяется с делителем n / d числа n и четный; для квадратного целого числа один делитель (а именно ) не сопряжен с отдельным делителем и странно. Аналогично, число нечетно тогда и только тогда, когда n — квадрат или дважды квадрат. [9]

Также отметим s ( n ) знак равно σ ( n ) - n . Здесь s ( n ) обозначает сумму собственных делителей числа n , то есть делителей числа n , исключая само число n . Эта функция используется для распознавания совершенных чисел , которые представляют собой n такие, что s ( n ) = n . Если s ( n )> n , то n обильное число , а если s ( n )< n , то n дефицитное число .

Если n является степенью 2, , затем и , что делает n почти идеальным .

Например, для двух простых чисел , позволять

.

Затем

и

где — это полная функция Эйлера .

Тогда корни

выражайте p и q только через σ ( n ) и φ ( n ), не требуя знания n или , как

Также, зная n и либо или или, альтернативно, и либо или позволяет легко восстановить p и q .

В 1984 году Роджер Хит-Браун доказал, что равенство

верно для бесконечного числа значений n , см. OEIS : A005237 .

Серийные отношения

[ редактировать ]

Два ряда Дирихле, включающие функцию делителя: [10]

где дзета-функция Римана . Ряд для d ( n ) = σ 0 ( n ) дает: [10]

и Рамануджана личность [11]

что является частным случаем свертки Рэнкина – Сельберга .

Ряд Ламберта, включающий функцию делителя: [12]

для произвольного комплекса | д | ≤ 1 и а . Это суммирование также появляется как ряд Фурье ряда Эйзенштейна и инварианты эллиптических функций Вейерштрасса .

Для существует явное представление в виде ряда с суммами Рамануджана как : [13]

Вычисление первых членов показывает его колебания вокруг «среднего значения» :

Темпы роста

[ редактировать ]

В обозначениях «маленькое о» функция делителя удовлетворяет неравенству: [14] [15]

Точнее, Северин Вигерт показал, что: [15]

С другой стороны, поскольку простых чисел бесконечно много , [15]

В Big-O обозначениях Питер Густав Лежен Дирихле показал, что средний порядок функции делителя удовлетворяет следующему неравенству: [16] [17]

где гамма-константа Эйлера . Улучшение границы в этой формуле известна как проблема делителей Дирихле .

Поведение сигма-функции нерегулярно. Асимптотическую скорость роста сигма-функции можно выразить следующим образом: [18]

где lim sup — верхний предел . Этот результат представляет собой Грёнвалля теорему , опубликованную в 1913 году ( Grönwall 1913 ). Его доказательство использует третью теорему Мертенса , которая гласит, что:

где p обозначает простое число.

В 1915 году Рамануджан доказал, что в предположении гипотезы Римана неравенство Робина

(где γ — постоянная Эйлера–Машерони )

справедливо для всех достаточно больших n ( Ramanujan 1997 ). Наибольшее известное значение, которое нарушает неравенство, — n = 5040 . В 1984 году Гай Робин доказал, что неравенство верно для всех n > 5040 тогда и только тогда, когда верна гипотеза Римана ( Robin 1984 ). Это теорема Робина , и после него это неравенство стало известно. Робин, кроме того, показал, что если гипотеза Римана неверна, то существует бесконечное количество значений n , нарушающих неравенство, и известно, что наименьшее такое n > 5040 должно быть избыточным ( Akbary & Friggstad 2009 ). Было показано, что неравенство справедливо для больших нечетных целых чисел и чисел без квадратов и что гипотеза Римана эквивалентна неравенству только для n , делящегося на пятую степень простого числа ( Choi et al. 2007 ).

Робин также безоговорочно доказал, что неравенство:

справедливо для всех n ≥ 3.

Соответствующая оценка была дана Джеффри Лагариасом в 2002 году, который доказал, что гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что:

для любого натурального числа n > 1, где номер n- й гармоники ( Lagarias 2002 ).

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Лонг (1972 , стр. 46)
  2. ^ Петтофреззо и Биркит (1970 , стр. 63)
  3. ^ Петтофреззо и Биркит (1970 , стр. 58)
  4. ^ Рамануджан, С. (1915), «Высокосоставные числа» , Труды Лондонского математического общества , s2-14 (1): 347–409, doi : 10.1112/plms/s2_14.1.347 ; см. раздел 47, стр. 405–406, воспроизведено в Сборнике статей Шринивасы Рамануджана , Cambridge Univ. Пресс, 2015, стр. 124–125.
  5. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Харди и Райт (2008) , стр. 310 f, §16.7.
  6. ^ Эйлер, Леонард; Белл, Джордан (2004). «Наблюдение о суммах делителей». arXiv : math/0411587 .
  7. ^ https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/175/ , Открытие совершенно необычного закона чисел по отношению к сумме их делителей.
  8. ^ https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/542/ , О чудесных свойствах пятиугольных чисел.
  9. ^ Джой и Вайдья (1967) .
  10. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Харди и Райт (2008) , стр. 326–328, §17.5.
  11. ^ Харди и Райт (2008) , стр. 334–337, §17.8.
  12. ^ Харди и Райт (2008) , стр. 338–341, §17.10.
  13. ^ Э. Кретцель (1981). Теория чисел . Берлин: Немецкое научное издательство VEB. п. 130. (Английский)
  14. ^ Апостол (1976) , с. 296.
  15. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Харди и Райт (2008) , стр. 342–347, §18.1.
  16. ^ Апостол (1976) , Теорема 3.3.
  17. ^ Харди и Райт (2008) , стр. 347–350, §18.2.
  18. ^ Харди и Райт (2008) , стр. 469–471, §22.9.
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: a3d8865e9865f7bb858f0d9035466347__1704702120
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/a3/47/a3d8865e9865f7bb858f0d9035466347.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Divisor function - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)