Унитарное совершенное число

Нерешенная задача по математике :

Существует ли бесконечно много унитарных совершенных чисел?

(еще нерешенные задачи по математике)

Унитарное совершенное число — это целое число , которое представляет собой сумму своих положительных собственных унитарных делителей , не включая само число ( делитель d числа n является унитарным делителем, если d и n / d не имеют общих делителей ). Некоторые совершенные числа не являются унитарными совершенными числами, а некоторые унитарные совершенные числа не являются обычными совершенными числами.

Известные примеры

Число 60 — унитарное совершенное число, поскольку 1, 3, 4, 5, 12, 15 и 20 — его собственные унитарные делители, а 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20 = 60. Первые пять, и известны только унитарные совершенные числа. $6=2\times 3$, $60=2^{2}\times 3\times 5$, $90=2\times 3^{2}\times 5$, $87360=2^{6}\times 3\times 5\times 7\times 13$, и $146361946186458562560000=2^{18}\times 3\times 5^{4}\times 7\times 11\times 13\times 19\times 37\times 79\times 109\times 157\times 313$(последовательность A002827 в OEIS ). Соответствующие суммы их собственных унитарных делителей таковы:

• 6 = 1 + 2 + 3
• 60 = 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20
• 90 = 1 + 2 + 5 + 9 + 10 + 18 + 45
• 87360 = 1 + 3 + 5 + 7 + 13 + 15 + 21 + 35 + 39 + 64 + 65 + 91 + 105 + 192 + 195 + 273 + 320 + 448 + 455 + 832 + 960 + 1344 + 1365 + 2240 + 2496 + 4160 + 5824 + 6720 + 12480 + 17472 + 29120
• 146361946186458562560000 = 1 + 3 + 7 + 11 + ... + 13305631471496232960000 + 20908849455208366080000 + 48787315395486187520000 (4095 делителей в сумме)

Свойства

не существует Нечетных унитарных совершенных чисел . Это следует из того, что 2 ^{д *( п )} делит сумму унитарных делителей нечетного числа n , где d *( n ) — количество различных простых делителей числа n . Это получается потому, что сумма всех унитарных делителей является мультипликативной функцией , и получается, что сумма унитарных делителей простой степени p ^а это п ^а + 1, которое четно для всех нечетных простых чисел p . Следовательно, нечетное унитарное совершенное число должно иметь только один отдельный простой делитель, и нетрудно показать, что степень простого числа не может быть унитарным совершенным числом, поскольку в ней недостаточно делителей.

Неизвестно, существует ли бесконечно много унитарных совершенных чисел и существуют ли еще какие-либо примеры, помимо уже известных пяти. Шестое такое число будет иметь как минимум девять нечетных простых делителей.

Ссылки

• Ричард К. Гай (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Спрингер-Верлаг . стр. 84–86. ISBN  0-387-20860-7 . Раздел Б3.
• Пауло Рибенбойм (2000). Мои числа, мои друзья: популярные лекции по теории чисел . Спрингер-Верлаг. п. 352. ИСБН  0-387-98911-0 .
• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел И. Дордрехт: Springer-Verlag . ISBN  1-4020-4215-9 . Збл   1151.11300 .
• Шандор, Йожеф; Крстичи, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II . Дордрехт: Клювер Академик. ISBN  1-4020-2546-7 . Збл   1079.11001 .