Унитарное совершенное число
Существует ли бесконечно много унитарных совершенных чисел?
Унитарное совершенное число — это целое число , которое представляет собой сумму своих положительных собственных унитарных делителей , не включая само число ( делитель d числа n является унитарным делителем, если d и n / d не имеют общих делителей ). Некоторые совершенные числа не являются унитарными совершенными числами, а некоторые унитарные совершенные числа не являются обычными совершенными числами.
Известные примеры [ править ]
Число 60 — унитарное совершенное число, поскольку 1, 3, 4, 5, 12, 15 и 20 — его собственные унитарные делители, а 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20 = 60. Первые пять, и известны только унитарные совершенные числа. , , , , и (последовательность A002827 в OEIS ). Соответствующие суммы их собственных унитарных делителей таковы:
- 6 = 1 + 2 + 3
- 60 = 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20
- 90 = 1 + 2 + 5 + 9 + 10 + 18 + 45
- 87360 = 1 + 3 + 5 + 7 + 13 + 15 + 21 + 35 + 39 + 64 + 65 + 91 + 105 + 192 + 195 + 273 + 320 + 448 + 455 + 832 + 960 + 1344 + 1365 + 2240 + 2496 + 4160 + 5824 + 6720 + 12480 + 17472 + 29120
- 146361946186458562560000 = 1 + 3 + 7 + 11 + ... + 13305631471496232960000 + 20908849455208366080000 + 48787315395486187520000 (4095 делителей в сумме)
Свойства [ править ]
унитарных совершенных чисел не существует Нечетных . Это следует из того, что 2 д *( п ) делит сумму унитарных делителей нечетного числа n , где d *( n ) — количество различных простых делителей числа n . Это получается потому, что сумма всех унитарных делителей является мультипликативной функцией , и получается, что сумма унитарных делителей простой степени p а это п а + 1, которое четно для всех нечетных простых чисел p . Следовательно, нечетное унитарное совершенное число должно иметь только один отдельный простой делитель, и нетрудно показать, что степень простого числа не может быть унитарным совершенным числом, поскольку в ней недостаточно делителей.
Неизвестно, существует ли бесконечно много унитарных совершенных чисел и существуют ли еще какие-либо примеры помимо уже известных пяти. Шестое такое число будет иметь как минимум девять нечетных простых делителей. [1]
Ссылки [ править ]
- ^ Уолл, Чарльз Р. (1988). «Новые унитарные совершенные числа имеют как минимум девять нечетных компонентов». Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 26 (4): 312–317. ISSN 0015-0517 . МР 0967649 . Збл 0657.10003 .
- Ричард К. Гай (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Спрингер-Верлаг . стр. 84–86. ISBN 0-387-20860-7 . Раздел Б3.
- Пауло Рибенбойм (2000). Мои числа, мои друзья: популярные лекции по теории чисел . Спрингер-Верлаг. п. 352. ИСБН 0-387-98911-0 .
- Шандор, Джозеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9 . Збл 1151.11300 .
- Шандор, Джозеф; Крстичи, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II . Дордрехт: Клювер Академик. ISBN 1-4020-2546-7 . Збл 1079.11001 .