Номер гармонического делителя

Эта статья о числах гармонических делителей. Чтобы узнать о значениях номера гармоники, см. Номер гармоники (значения) .

В математике число гармонического делителя или число Оре — это положительное целое число которого , делители имеют гармоническое среднее число , являющееся целым числом. Первые несколько чисел делителей гармоник равны

1 , 6 , 28 , 140 , 270 , 496 , 672, 1638, 2970, 6200, 8128 , 8190 (последовательность А001599 в OEIS ).

Числа гармонических делителей были введены Эйстейном Оре , который показал, что каждое совершенное число является числом гармонического делителя, и предположил, что не существует нечетных чисел гармонических делителей, отличных от 1.

Примеры

Число 6 имеет четыре делителя: 1, 2, 3 и 6. Их среднее гармоническое является целым числом:

$${\frac {4}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}}}=2.$$

Таким образом, 6 является числом гармонического делителя. Точно так же число 140 имеет делители 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 и 140. Их среднее гармоническое равно

$${\frac {12}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{28}}+{\frac {1}{35}}+{\frac {1}{70}}+{\frac {1}{140}}}}=5.$$

Поскольку 5 — целое число, 140 — число делителя гармоники.

Факторизация среднего гармонического

Гармоническое среднее H ( n ) делителей любого числа n можно выразить формулой

$$H(n)={\frac {n\sigma _{0}(n)}{\sigma _{1}(n)}}$$

где σ _i ( n ) — сумма i - х степеней делителей числа n : σ ₀ — количество делителей, а σ ₁ — сумма делителей ( Коэн 1997 ).Все члены этой формулы мультипликативны , но не полностью мультипликативны .Следовательно, среднее гармоническое H ( n ) также мультипликативно.Это означает, что для любого положительного целого числа n гармоническое среднее H ( n ) как произведение гармонических средних простых степеней при факторизации n может быть выражено .

Например, у нас есть

$$H(4)={\frac {3}{1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {12}{7}},$$

$$H(5)={\frac {2}{1+{\frac {1}{5}}}}={\frac {5}{3}},$$

$$H(7)={\frac {2}{1+{\frac {1}{7}}}}={\frac {7}{4}},$$

и

$$H(140)=H(4\cdot 5\cdot 7)=H(4)\cdot H(5)\cdot H(7)={\frac {12}{7}}\cdot {\frac {5}{3}}\cdot {\frac {7}{4}}=5.$$

делителей и

Демонстрация с помощью палочек Кюизенера совершенства числа 6.

Для любого целого числа M , как заметил Оре, произведение среднего гармонического и среднего арифметического его делителей равно самому M , как видно из определений. Следовательно, M является гармоническим со средним гармоническим значением делителей k тогда и только тогда, когда среднее значение его делителей является произведением M с единичной долей 1/ k .

Оре показал, что каждое совершенное число является гармоническим. Чтобы убедиться в этом, заметим, что сумма делителей совершенного числа M равна ровно 2M ; следовательно, среднее значение делителей равно M (2/τ( ) ), где τ( M ) обозначает количество делителей M M . Для любого M τ( M ) нечетно тогда и только тогда, когда M является квадратным числом , иначе каждый делитель d числа M может быть соединен с другим делителем M / d . Но никакое совершенное число не может быть квадратом: это следует из известного вида четных совершенных чисел и из того факта, что нечетные совершенные числа (если они существуют) должны иметь множитель вида q ^а где α ≡ 1 ( mod 4). Следовательно, для совершенного числа M τ( M ) четно, а среднее значение делителей является произведением M на единичную долю 2/τ( M ); таким образом, M является числом гармонического делителя.

Оре предположил , что не существует никаких нечетных гармонических делителей, кроме 1. Если гипотеза верна, это будет означать несуществование нечетных совершенных чисел .

и

У.Х. Миллс (неопубликовано; см. Маскат) показал, что любое число делителя нечетной гармоники выше 1 должно иметь простой коэффициент мощности больше 10. ⁷ , и Коэн показал, что любое такое число должно иметь по крайней мере три различных простых делителя. Коэн и Сорли (2010) показали, что не существует делителей нечетной гармоники меньше 10. ²⁴ .

Коэн, Гото и другие, начиная с самого Оре, провели компьютерный поиск и перечислили все числа малых гармонических делителей. Из этих результатов известны списки всех чисел гармонических делителей до 2 × 10. ⁹ , и все номера гармонических делителей, для которых среднее гармоническое значение делителей не превышает 300.

Ссылки

• Богомольный, Александр . «Идентичность средних делителей заданного целого числа» . Проверено 10 сентября 2006 г.
• Коэн, Грэм Л. (1997). «Числа, положительные делители которых имеют малое целое гармоническое среднее» (PDF) . Математика вычислений . 66 (218): 883–891. дои : 10.1090/S0025-5718-97-00819-3 .
• Коэн, Грэм Л.; Сорли, Рональд М. (2010). «Числа нечетных гармоник превышают 10 ²⁴ " . Математика вычислений . 79 (272): 2451. doi : 10.1090/S0025-5718-10-02337-9 . hdl : 10453/13014 . ISSN   0025-5718 .
• Гото, Такеши. «Гармонические числа (Ора)» . Проверено 10 сентября 2006 г.
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . Б2. ISBN  978-0-387-20860-2 . Збл   1058.11001 .
• Маскат, Джозеф Б. (1966). «О делителях нечетных совершенных чисел» . Математика вычислений . 20 (93): 141–144. дои : 10.2307/2004277 . JSTOR   2004277 .
• Оре, Эйстейн (1948). «О средних делителях числа». Американский математический ежемесячник . 55 (10): 615–619. дои : 10.2307/2305616 . JSTOR   2305616 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Число гармонического делителя» . Математический мир .