Необычный номер

Демонстрация с помощью стержней Кюизенера того, что число 10 является необычным числом, его наибольший простой делитель равен 5, что больше √10 ≈ 3,16.

В теории чисел необычным числом называется натуральное число n, наибольший простой делитель которого строго больше ${\sqrt {n}}$.

У k - гладкого числа все простые делители меньше или равны k , следовательно, необычное число не является ${\sqrt {n}}$-гладкий.

Связь с простыми числами

Все простые числа необычны.Для любого простого числа p его кратные меньше p ² необычны, то есть p , ... ( p -1) p , которые имеют плотность 1/ p в интервале ( p , p ² ).

Примеры

Первые несколько необычных чисел

2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, ... (последовательность A064052 в OEIS )

Первые несколько непростых (составных) необычных чисел:

6, 10, 14, 15, 20, 21, 22, 26, 28, 33, 34, 35, 38, 39, 42, 44, 46, 51, 52, 55, 57, 58, 62, 65, 66, 68, 69, 74, 76, 77, 78, 82, 85, 86, 87, 88, 91, 92, 93, 94, 95, 99, 102, ... (последовательность A063763 в OEIS )

Распространение

Если мы обозначим количество необычных чисел, меньших или равных n, через u ( n ), то u ( n ) будет вести себя следующим образом:

н	ты ( н )	ты ( п ) / п
10	6	0.6
100	67	0.67
1000	715	0.72
10000	7319	0.73
100000	73322	0.73
1000000	731660	0.73
10000000	7280266	0.73
100000000	72467077	0.72
1000000000	721578596	0.72

Ричард Шреппель заявил в 1972 году, что асимптотическая вероятность того, что случайно выбранное число является необычным, равна ln(2) . Другими словами:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {u(n)}{n}}=\ln(2)=0.693147\dots \,.$

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Приблизительный номер» . Математический мир .