Унитарный делитель

В математике натуральное число a является унитарным делителем (или делителем Холла ) числа b , если a является делителем числа b и если a и ${\frac {b}{a}}$ являются взаимно простыми и не имеют общего делителя, кроме 1. Эквивалентно, делитель a из b является унитарным делителем тогда и только тогда, когда каждый простой делитель a имеет ту же кратность в a , что и в b .

Концепция унитарного делителя исходит от Р. Вайдьянатхасвами (1931), который использовал термин « делитель блока» .

Пример

5 — унитарный делитель 60, потому что 5 и ${\frac {60}{5}}=12$ имеют только 1 в качестве общего делителя.

Напротив, 6 является делителем, но не унитарным делителем 60, так как 6 и ${\frac {60}{6}}=10$ имеют общий делитель, отличный от 1, а именно 2.

Сумма унитарных делителей

Функция суммы унитарных делителей обозначается строчной греческой буквой сигма, например: σ*( n ). Сумма k -ых степеней унитарных делителей обозначается σ* _k ( n ):

$\sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!d^{k}.$

Если сумма собственных унитарных делителей данного числа равна этому числу, то это число называется унитарным совершенным числом .

Свойства

Число 1 является унитарным делителем любого натурального числа.

Число унитарных делителей числа n равно 2. ^к , где k — количество различных простых делителей числа n . Это связано с тем, что каждое целое число N > 1 является произведением положительных степеней p. ^{р _п} различных простых чисел p . Таким образом, каждый унитарный делитель числа N является произведением по заданному подмножеству S простых делителей { p } числа N , простых степеней p ^{р _п} для р € S. ​ Если существует k простых делителей, то их ровно 2 ^к подмножества S , и утверждение следует.

Сумма унитарных делителей n нечетна , если n является степенью 2 (включая 1), и даже в противном случае.

И счет, и сумма унитарных делителей n являются мультипликативными функциями n , которые не являются полностью мультипликативными . Дирихле Производящая функция :

${\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s-k)}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{*}(n)}{n^{s}}}.$

Каждый делитель числа n унитарен тогда и только тогда, когда n не содержит квадратов .

Нечетные унитарные делители

Сумма k -ых степеней нечетных унитарных делителей равна

$\sigma _{k}^{(o)*}(n)=\sum _{{d\,\mid \,n \atop d\equiv 1{\pmod {2}}} \atop \gcd(d,n/d)=1}\!\!d^{k}.$

Он также мультипликативен с производящей функцией Дирихле.

${\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)(1-2^{k-s})}{\zeta (2s-k)(1-2^{k-2s})}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{(o)*}(n)}{n^{s}}}.$

Биунитарные делители

Дивизор d числа n является биунитарным делителем, если наибольший общий унитарный делитель d и n / d равен 1. Эта концепция берет свое начало у Д. Сурьянараяна (1972). [Число двуединых делителей целого числа, в Теории арифметических функций, Конспекты лекций по математике 251: 273–282, Нью-Йорк, Спрингер – Верлаг].

Число биунитарных делителей числа n является мультипликативной функцией числа n среднего порядка. $A\log x$ где

$A=\prod _{p}\left({1-{\frac {p-1}{p^{2}(p+1)}}}\right)\ .$

Биунитарное совершенное число — это число, равное сумме его биунитарных делителей. Единственные такие числа — 6, 60 и 90.

OEIS Последовательности

• OEIS : A034444 — р. ^* ₀ ( п )
•  OEIS : A034448 — р. ^* ₁ ( н )
•  OEIS : от A034676 до OEIS : A034682 являются p ^* ₂ ( п ) до п ^* ₈ ( н )
•  OEIS : A068068 — р. ^(О)* ₀ ( п )
•  OEIS : A192066 — это σ ^(О)* ₁ ( н )
•  OEIS : A064609 ​ $\sum _{i=1}^{n}\sigma _{1}(i)$
•  OEIS : A306071 ​ $A$

Ссылки

• Ричард К. Гай (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Спрингер-Верлаг . п. 84. ИСБН  0-387-20860-7 . Раздел Б3.
• Пауло Рибенбойм (2000). Мои числа, мои друзья: популярные лекции по теории чисел . Спрингер-Верлаг. п. 352. ИСБН  0-387-98911-0 .
• Коэн, Экфорд (1959). «Класс систем вычетов (mod r) и связанных с ними арифметических функций. I. Обобщение обращения Мёбиуса» . Пасифик Дж. Математика . 9 (1): 13–23. дои : 10.2140/pjm.1959.9.13 . МР   0109806 .
• Коэн, Экфорд (1960). «Арифметические функции, связанные с унитарными делителями целого числа». Mathematische Zeitschrift . 74 : 66–80. дои : 10.1007/BF01180473 . МР   0112861 . S2CID   53004302 .
• Коэн, Экфорд (1960). «Количество унитарных делителей целого числа». Американский математический ежемесячник . 67 (9): 879–880. дои : 10.2307/2309455 . JSTOR   2309455 . МР   0122790 .
• Коэн, Грэм Л. (1990). «О бесконечных делителях целых чисел» . Математика. Комп . 54 (189): 395–411. Бибкод : 1990MaCom..54..395C . дои : 10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5 . МР   0993927 .
• Коэн, Грэм Л. (1993). «Арифметические функции, связанные с бесконечными делителями целого числа» . Межд. Дж. Математика. Математика. Наука . 16 (2): 373–383. дои : 10.1155/S0161171293000456 .
• Финч, Стивен (2004). «Унитаризм и инфинитаризм» (PDF) .
• Ивич, Александр (1985). Дзета-функция Римана. Теория дзета-функции Римана с приложениями . Публикация Wiley-Interscience. Нью-Йорк и др.: John Wiley & Sons. п. 395. ИСБН  0-471-80634-Х . Збл   0556.10026 .
• Матар, Р.Дж. (2011). «Обзор рядов Дирихле мультипликативных арифметических функций». arXiv : 1106.4038 [ math.NT ]. Раздел 4.2
• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел И. Дордрехт: Springer-Verlag . ISBN  1-4020-4215-9 . Збл   1151.11300 .
• Тот, Л. (2009). «О биунитарных аналогах арифметической функции Эйлера и функции НОД-суммы» . Дж. Межд. Сек . 12 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Унитарный делитель» . Математический мир .
• Матоверфлоу | Булево кольцо унитарных делителей