число Смита

число Смита

Названный в честь	Гарольд Смит ( зять Альберта Вилански)
Автор публикации	Альберт Вилански
Всего нет. терминов	бесконечность
Первые сроки	4 , 22 , 27 , 58 , 85 , 94 , 121
ОЭИС Индекс	А006753

В теории чисел число Смита — это составное число , для которого в данной системе счисления сумма его цифр равна сумме цифр его простой факторизации по той же базе. В случае чисел, которые не являются свободными от квадратов , факторизация записывается без показателей степени, записывая повторяющийся множитель столько раз, сколько необходимо.

Номера Смита назвал Альберт Вилански из Университета Лихай , так как он заметил свойство в телефонном номере (493-7775) своего зятя Гарольда Смита:

4937775 = 3 · 5 · 5 · 65837

пока

4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 3 + 5 + 5 + (6 + 5 + 8 + 3 + 7)

в базе 10 .

Математическое определение

Позволять $n$быть натуральным числом . Для базы $b>1$, пусть функция $F_{b}(n)$ быть цифровой суммой $n$ в базе $b$. Натуральное число $n$ с простой факторизацией

$$n=\prod _{\stackrel {p\mid n,}{p{\text{ prime}}}}p^{v_{p}(n)}$$

является числом Смита , если

$$F_{b}(n)=\sum _{\stackrel {p\mid n,}{p{\text{ prime}}}}v_{p}(n)F_{b}(p).$$

Здесь показатель $v_{p}(n)$ это множественность $p$ как главный фактор $n$ (также известная как p -адическая оценка $n$).

Например, в десятичной системе счисления 378 = 2. ¹ · 3 ³ · 7 ¹ является числом Смита, поскольку 3 + 7 + 8 = 2 · 1 + 3 · 3 + 7 · 1 и 22 = 2. ¹ · 11 ¹ является числом Смита, поскольку 2 + 2 = 2 · 1 + (1 + 1) · 1.

Первые несколько чисел Смита в десятичной системе счисления равны

4 , 22 , 27 , 58 , 85 , 94 , 121 , 166 , 202 , 265 , 274 , 319 , 346 , 355 , 378 , 382 , ​​391 , 438 , 454 , 483 , 517 , 535 , 562 , , , 576 ​ 588 , 627 , 634 , 636 , 645 , 648 , 654 , 663 , 666 , 690 , 706 , 728 , 729 , 762 , 778 , 825 , 852 , 861 , 895 , 913 , 922 , 958 , 5 985 . , (последовательность A006753 в OEIS )

Свойства

У. Л. МакДэниел в 1987 году доказал , что чисел Смита бесконечно много. Количество чисел Смита по основанию 10 ниже 10 ^н для n = 1, 2, ... определяется выражением

1, 6, 49, 376, 3294, 29928, 278411, 2632758, 25154060, 241882509, ... (последовательность A104170 в OEIS ).

Два последовательных числа Смита (например, 728 и 729 или 2964 и 2965) называются братьями Смита . Неизвестно, сколько братьев Смитов. Начальные элементы наименьшего n -кортежа Смита (то есть n последовательных чисел Смита) по основанию 10 для n = 1, 2,...:

4, 728, 73615, 4463535, 15966114, 2050918644, 164736913905, ... (последовательность A059754 в OEIS ).

Числа Смита могут быть построены из факторизованных повторов . По состоянию на 2010 год , самое большое известное число Смита с основанием 10 равно

9 × Р ₁₀₃₁ × (10 ⁴⁵⁹⁴ + 3 × 10 ²²⁹⁷ + 1) ¹⁴⁷⁶ × 10 ^{3 913 210}

где R ₁₀₃₁ по основанию 10 - реединица (10 ¹⁰³¹ − 1)/9.

См. также

• Равноцифровое число

Ссылки

• Гарднер, Мартин (1988). Плитки Пенроуза к шифрам с люками . стр. 299–300.
• Хоффман, Пол (1998). Человек, который любил только цифры: история Пола Эрдеша и поисков математической истины . Нью-Йорк: Гиперион.
• Сандор, Джозеф; Крстичи, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II . Дордрехт: Клювер Академик. стр. 100-1 32 –3 ISBN  1-4020-2546-7 . Збл   1079.11001 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Число Смита» . Математический мир .
• Коупленд, Эд . «4937775 – Числа Смита» . Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 21 декабря 2021 г.