27 (число)

← 26 27 28 →
← 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 → Список номеров ; Целые числа ; ← 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 →
Кардинал	двадцать семь
Порядковый номер	27-е
Факторизация	3 3
Делители	1, 3, 9, 27
Греческая цифра	ΚΖ´
Римская цифра	XXVII
Двоичный	11011 2
тройной	1000 3
Сенарий	43 6
Восьмеричный	33 8
Двенадцатеричный	23 12
Шестнадцатеричный	1Б 16

27 ( двадцать семь ; римская цифра XXVII ) — натуральное число, следующее за 26 и перед 28 .

Математика [ править ]

Двадцать семь это куб 3 – , или тройка тетрадных. $^{2}3=3^{3}=3\times 3\times 3$ , делящийся на количество простых чисел ниже него ( девять ).

Первое нетривиальное десятиугольное число — 27. ^[1]

27 имеет аликвотную сумму 13 ^[2] (шестое простое число) в аликвотной последовательности $(27,13,1,0)$ только одного составного числа, корнями которого являются 13- аликвотное дерево. ^[3]

Сумма первых четырех составных чисел равна $4+6+8+9=27$ , ^[4] а сумма первых четырех простых чисел равна $2+3+5+7=17$ , ^[5] с 7 — четвертым индексированным простым числом. ^[6]^[а]

В гипотезе Коллатца (т.е. $3n+1$ задача), для достижения 1 начального значения 27 требуется 3 × 37 = 111 шагов, что больше, чем для любого меньшего числа. ^[10]^[б]

27 также является четвертым совершенным числом , как и все степени 3 , с соседними членами 15 и 39, которые в сумме дают двойное число 27. ^[13]^[с]

Простой обратный магический квадрат, основанный на кратных ${\tfrac {1}{7}}$ в $6\times 6$ квадрат имеет магическую константу 27.

Включая нулевой мотив, существует 27 различных мотивов гиперграфа . ^[14]

ровно двадцать семь прямых На гладкой кубической поверхности , ^[15] которые дают основу фундаментального представления алгебры Ли $\mathrm {E_{6}}$ . ^[16]^[17]

Единственная простая формально вещественная йордановая алгебра , исключительная йордановая алгебра самосопряженных 3 на 3 размера матриц кватернионов , 27-мерна; ^[18] ее группа автоморфизмов представляет собой 52-мерную исключительную алгебру Ли. $\mathrm {F_{4}} .$ ^[19]

Имеется двадцать семь спорадических групп , если нестрогая группа лиева типа $\mathrm {T}$ (с неприводимым представлением , вдвое превышающим $\mathrm {F_{4}}$ в 104 измерениях) ^[20] включено. ^[21]

В теореме Робина для гипотезы Римана двадцать семь целых чисел не выполняются. $\sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n$ для ценностей $n\leq 5040,$ где $\gamma$ – постоянная Эйлера–Машерони ; эта гипотеза верна тогда и только тогда, когда это неравенство справедливо для любого большего $n.$ ^[22]^[23]^[24]

Зависит от базы [ править ]

В десятичной системе 27 — это первое составное число, не кратное ни одной из своих цифр, а также:

третье число Смита ^[25] и шестнадцатый номер Харшада , ^[26]
единственное положительное целое число, которое в три раза превышает сумму своих цифр,
равен сумме чисел между его цифрами включительно: $2+3+4+5+6+7=27$ .

Также в десятичной системе счисления, если циклически чередовать цифры трехзначного числа, кратного 27, новое число также будет кратно 27. Например, 378, 783 и 837 делятся на 27.

Подобным же образом любое число, кратное 27, можно отразить и поставить через ноль для каждого числа, кратного 27 (т. е. 27 и 702, 54 и 405, а также 378 и 80703 кратны 27).
Любое число, кратное 27, со вставленными «000» или «999» дает еще одно число, кратное 27 (20007, 29997, 50004 и 59994 — все числа, кратные 27).

В семеричном числе (по основанию шесть) можно легко проверить делимость на 43 (десятичное число 27), проверив, соответствуют ли последние три цифры числа 000, 043, 130, 213, 300, 343, 430 или 513.

В десятичном представлении 27 находится на двадцать восьмой (и двадцать девятой) цифре после запятой в числе $π$ :

3.141\;592\;653\;589\;793\;238\;462\;643\;383\;{\color {red}27}9\ldots

Если начать отсчет с нуля, то 27 станет второй самоопределяющейся строкой после 6 из немногих известных. ^[27]^[28]

В науке [ править ]

Луна . вращается вокруг Земли в том же направлении, что и Земля, но в 27 (27,3) раза медленнее
27 км — окружность БАКа , расположенного в ЦЕРНе в Мейрене , Швейцария.
Атомный номер кобальта .
Считается, что темная материя составляет 27% Вселенной. ^[29]
27 — количество костей в руке человека . ^[30]

Астрономия [ править ]

Объект Мессье M27 , магнитудой 7,5 планетарная туманность в созвездии Лисички , также известном как Туманность Гантель .
Объект Нового общего каталога NGC 27 , спиральная галактика в созвездии Андромеды .
Число Сароса серии солнечных затмений , которые начались 9 марта 1993 г. до н.э. и закончились 16 апреля 713 г. до н.э. ^[31] Продолжительность 27-й серии Сароса составила 1280,1 года и содержала 72 солнечных затмения. Далее, число Сароса серии лунных затмений , которая началась 28 июля 1926 г. до н.э. и закончилась 23 января 411 г. до н.э. ^[32] Продолжительность 27-й серии Сароса составила 1532,5 года и содержала 86 лунных затмений.

Электроника [ править ]

типа 27 Вакуумная лампа (клапан) , триод, представленный в 1927 году, была первой лампой, производившейся серийно для коммерческого использования и оснащенной катодом косвенного нагрева . Это сделало ее первой электронной лампой, которая могла работать в качестве детектора в с питанием от переменного тока радиоприемниках . До появления модели 27 домашние радиоприемники питались от трех или более аккумуляторных батарей с напряжением от 3 до 135 вольт.

В языке и литературе [ править ]

Количество букв испанского алфавита . ^[33]
Количество книг в Новом Завете .
Число поколений от Давида до Христа по Евангелию от Матфея . (Мф 1,1-17)
Число жалоб на Декларацию независимости США .
Число ратифицированных поправок к Конституции США .
До 1835 года английский алфавит состоял из 27 букв: после «Z» 27-й буквой алфавита был амперсанд (&).
Общее количество букв еврейского алфавита (22 правильные буквы и 5 конечных согласных).
Альтернативное название «Охота» книги Уильяма Диля .
Номер узника аббата Фариа в книге «Граф Монте-Кристо» .
В Стивена Кинга романе «Оно » оно каждые 27 лет возвращается в Дерри .
война под предводительством Антихриста начнется в 1999 году и продлится 27 лет По мнению Нострадамуса, .

В астрологии [ править ]

27 накшатр или лунных особняков в индуистской астрологии.

В спорте [ править ]

Значение всех цветов в снукере в сумме составляет 27.
Количество аутов в обычном бейсбольном матче для каждой команды на всех уровнях взрослых, включая профессиональную игру, составляет 27.
« Нью-Йорк Янкиз» выиграли 27 чемпионатов Мировой серии , больше, чем любая команда MLB .

В других областях [ править ]

Двадцать семь — это также:

А-27 — американский штурмовик.
Код для международных прямых телефонных звонков в Южную Африку .
Название сигарет Marlboro Blend № 27.
Номер французского департамента Eure .
Текущее количество стран Европейского Союза по состоянию на 2024 год.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ В то время как сводный индекс 27 равен 17 ^[7] ( двоюродный брат до 13), ^[8] 7 — это простой индекс числа 17. ^[6]
Сумма 27 + 17 + 7 = 53 представляет собой шестнадцатое индексированное простое число (где 4 ² = 16 ).
Хотя 7 — четвертое простое число, четвертое составное число — 9 = 3. ², что также является составным индексом 16. ^[9]
^
С другой стороны,
- Сокращенная . последовательность Коллатца из 27, подсчитывающая количество простых чисел на своей траектории, 41 равна ^[11]
  Это количество представляет собой тринадцатое простое число, которое также эквивалентно сумме членов аликвотного дерева (27, 13, 1, 0). ^[3]^[2]
- Следующие два больших числа в гипотезе Коллатца, требующие более 111 шагов для возврата к 1, — это 54 и 55.
- В частности, четырнадцатое простое число 43 требует двадцати семи шагов, чтобы достичь 1.
Шестая пара простых чисел-близнецов — (41, 43), ^[12] чьи соответствующие простые индексы образуют сумму 27.
^ Также 36 = 6 ² представляет собой сумму PTN 39 – 15 = 24 и 3 + 9 = 12. В этой последовательности 111 является седьмым PTN.

Ссылки [ править ]

^ «A001107 Слоана: 10-угольные (или десятиугольные) числа» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 мая 2016 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001065 (Сумма собственных делителей (или кратных частей) n: сумма делителей n, меньших n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 октября 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, NJA , изд. (11 января 1975 г.). «Аликвотные последовательности» . Математика вычислений . 29 (129). Фонд OEIS: 101–107 . Проверено 31 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A151742 (Составные числа, представляющие собой сумму четырех последовательных составных чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 ноября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007504 (Сумма первых n простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 ноября 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000040 (Простые числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002808 (Составные числа: числа n вида x*y для x > 1 и y > 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A046132 (Больший член p+4 двоюродных простых чисел (p, p+4).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002808 (Составные числа: числа n вида x*y для x > 1 и y > 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 ноября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A112695 (количество шагов, необходимых для достижения 4,2,1 в гипотезе Коллатца 3*n+1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A286380 (a(n) — это минимальное количество итераций приведенной функции Коллатца R, необходимое для получения 1. Функция R (A139391) определяется как R(k), равная (3k+1)/2^r, с как можно большим r.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 ноября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A077800 (Список простых чисел-близнецов {p, p+2}.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 ноября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A082897 (Совершенные числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 ноября 2023 г.
^ Ли, Геон; Ко, Джихун; Шин, Киджунг (2020). «Мотивы гиперграфа: концепции, алгоритмы и открытия». В Балазинской, Магдалена; Чжоу, Сяофан (ред.). 46-я Международная конференция по очень большим базам данных . Труды Фонда VLDB. Том. 13. Цифровая библиотека ACM . стр. 2256–2269. arXiv : 2003.01853 . дои : 10.14778/3407790.3407823 . ISBN 9781713816126 . OCLC 1246551346 . S2CID 221779386 .
^ Баэз, Джон Карлос (15 февраля 2016 г.). «27 линий на кубической поверхности» . Блоги АМС . Американское математическое общество . Проверено 31 октября 2023 г.
^ Ашбахер, Майкл (1987). «27-мерный модуль для Е ₆ .I». Математические изобретения . 89 . Гейдельберг, Германия: Springer : 166–172. Бибкод : 1987InMat..89..159A . дои : 10.1007/BF01404676 . МР 0892190 . S2CID 121262085 . Збл 0629.20018 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A121737 (Размеры неприводимых представлений простой алгебры Ли типа E6 над комплексными числами, перечислены в порядке возрастания.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 октября 2023 г.
^ Кац, Виктор Григорьевич (1977). «Классификация простых Z-градуированных супералгебр Ли и простых йордановых супералгебр». Связь в алгебре . 5 (13). Тейлор и Фрэнсис : 1380. doi : 10.1080/00927877708822224 . МР 0498755 . S2CID 122274196 . Збл 0367.17007 .
^ Баэз, Джон Карлос (2002). «Октонионы» . Бюллетень Американского математического общества . 39 (2). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 189–191. дои : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X . МР 1886087 . S2CID 586512 . Збл 1026.17001 .
^ Любек, Франк (2001). «Наименьшие степени представлений исключительных групп лиева типа» . Связь в алгебре . 29 (5). Филадельфия, Пенсильвания: Тейлор и Фрэнсис : 2151. doi : 10.1081/AGB-100002175 . МР 1837968 . S2CID 122060727 . Збл 1004.20003 .
^ Хартли, Майкл И.; Хюльпке, Александр (2010). «Многогранники, полученные из спорадических простых групп» . Вклад в дискретную математику . 5 (2). Альберта, Калифорния: Университета Калгари Факультет математики и статистики : 27. doi : 10.11575/cdm.v5i2.61945 . ISSN 1715-0868 . МР 2791293 . S2CID 40845205 . Збл 1320.51021 .
^ Экслер, Кристиан (2023). «О неравенстве Робина» . Журнал Рамануджана . 61 (3). Гейдельберг, GE: Springer : 909–919. arXiv : 2110.13478 . Бибкод : 2021arXiv211013478A . дои : 10.1007/s11139-022-00683-0 . S2CID 239885788 . Збл 1532.11010 .
^ Робин, Гай (1984). «Большие значения функции суммы делителей и гипотеза Римана» (PDF) . Журнал чистой и прикладной математики . Девятая серия (на французском языке). 63 (2): 187–213. ISSN 0021-7824 . МР 0774171 . Збл 0516.10036 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A067698 (Положительные целые числа, такие, что сигма(n) больше или равна exp(gamma) * n * log(log(n)).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 октября 2023 г.
^ «А006753 Слоана: числа Смита» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 мая 2016 г.
^ «А005349 Слоана: числа Нивена (или Харшада)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 мая 2016 г.
^ Дэйв Андерсен. «Страница Pi-поиска» . ангио.нет . Проверено 31 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A064810 (Самопомещающиеся строки внутри Pi: числа n такие, что строка n находится в позиции n десятичных цифр числа Pi, где 1 — это 0-я цифра.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 октября 2023 г.
^ «Темная энергия, темная материя | Управление научной миссии» . science.nasa.gov . Проверено 8 ноября 2020 г.
^ Стив Дженкинс, Кости (2010), ISBN 978-0-545-04651-0
^ «Каталог солнечных затмений Сароса 27» . Веб-сайт НАСА по затмению . НАСА . Проверено 27 февраля 2022 г.
^ «Каталог лунных затмений на Саросе 27» . Веб-сайт НАСА по затмению . НАСА . Проверено 27 февраля 2022 г.
^ «Руководство по грамматике испанского диктанта» . Испанский Дикт . Проверено 19 августа 2020 г.

Дальнейшее чтение [ править ]

Уэллс, Д. Словарь любопытных и интересных чисел Penguin, Лондон: Penguin Group. (1987), с. 106.

Внешние ссылки [ править ]

Премьер-любопытство! 27 с Prime Pages
Тайна числа 27 — Большая коллекция из 27 связанных между собой мелочей и фактов.
Проект 27 - коллекция наблюдений 27-ми в кино, на телевидении, в культуре и искусстве.

[10] В то время как сводный индекс 27 равен 17 ^[7] ( двоюродный брат до 13), ^[8] 7 — это простой индекс числа 17. ^[6]
Сумма 27 + 17 + 7 = 53 представляет собой шестнадцатое индексированное простое число (где 4 ² = 16 ).
Хотя 7 — четвертое простое число, четвертое составное число — 9 = 3. ², что также является составным индексом 16. ^[9]

[14] С другой стороны,
Сокращенная . последовательность Коллатца из 27, подсчитывающая количество простых чисел на своей траектории, 41 равна ^[11]
Это количество представляет собой тринадцатое простое число, которое также эквивалентно сумме членов аликвотного дерева (27, 13, 1, 0). ^[3]^[2]
Следующие два больших числа в гипотезе Коллатца, требующие более 111 шагов для возврата к 1, — это 54 и 55.
В частности, четырнадцатое простое число 43 требует двадцати семи шагов, чтобы достичь 1.
Шестая пара простых чисел-близнецов — (41, 43), ^[12] чьи соответствующие простые индексы образуют сумму 27.

[3] Сокращенная . последовательность Коллатца из 27, подсчитывающая количество простых чисел на своей траектории, 41 равна ^[11]
Это количество представляет собой тринадцатое простое число, которое также эквивалентно сумме членов аликвотного дерева (27, 13, 1, 0). ^[3]^[2]

[4] Следующие два больших числа в гипотезе Коллатца, требующие более 111 шагов для возврата к 1, — это 54 и 55.

[5] В частности, четырнадцатое простое число 43 требует двадцати семи шагов, чтобы достичь 1.

[16] Также 36 = 6 ² представляет собой сумму PTN 39 – 15 = 24 и 3 + 9 = 12. В этой последовательности 111 является седьмым PTN.

[1] «A001107 Слоана: 10-угольные (или десятиугольные) числа» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 мая 2016 г.

[AliSum-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001065 (Сумма собственных делителей (или кратных частей) n: сумма делителей n, меньших n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 октября 2023 г.

[AliSeq-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, NJA , изд. (11 января 1975 г.). «Аликвотные последовательности» . Математика вычислений . 29 (129). Фонд OEIS: 101–107 . Проверено 31 октября 2023 г.

[4] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A151742 (Составные числа, представляющие собой сумму четырех последовательных составных чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 ноября 2023 г.

[5] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007504 (Сумма первых n простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 ноября 2023 г.

[Prime#s-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000040 (Простые числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 октября 2023 г.

[7] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002808 (Составные числа: числа n вида x*y для x > 1 и y > 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 октября 2023 г.

[8] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A046132 (Больший член p+4 двоюродных простых чисел (p, p+4).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 октября 2023 г.

[9] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002808 (Составные числа: числа n вида x*y для x > 1 и y > 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 ноября 2023 г.

[11] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A112695 (количество шагов, необходимых для достижения 4,2,1 в гипотезе Коллатца 3*n+1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 октября 2023 г.

[12] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A286380 (a(n) — это минимальное количество итераций приведенной функции Коллатца R, необходимое для получения 1. Функция R (A139391) определяется как R(k), равная (3k+1)/2^r, с как можно большим r.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 ноября 2023 г.

[13] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A077800 (Список простых чисел-близнецов {p, p+2}.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 ноября 2023 г.

[15] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A082897 (Совершенные числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 ноября 2023 г.

[17] Ли, Геон; Ко, Джихун; Шин, Киджунг (2020). «Мотивы гиперграфа: концепции, алгоритмы и открытия». В Балазинской, Магдалена; Чжоу, Сяофан (ред.). 46-я Международная конференция по очень большим базам данных . Труды Фонда VLDB. Том. 13. Цифровая библиотека ACM . стр. 2256–2269. arXiv : 2003.01853 . дои : 10.14778/3407790.3407823 . ISBN 9781713816126 . OCLC 1246551346 . S2CID 221779386 .

[18] Баэз, Джон Карлос (15 февраля 2016 г.). «27 линий на кубической поверхности» . Блоги АМС . Американское математическое общество . Проверено 31 октября 2023 г.

[19] Ашбахер, Майкл (1987). «27-мерный модуль для Е ₆ .I». Математические изобретения . 89 . Гейдельберг, Германия: Springer : 166–172. Бибкод : 1987InMat..89..159A . дои : 10.1007/BF01404676 . МР 0892190 . S2CID 121262085 . Збл 0629.20018 .

[20] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A121737 (Размеры неприводимых представлений простой алгебры Ли типа E6 над комплексными числами, перечислены в порядке возрастания.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 октября 2023 г.

[21] Кац, Виктор Григорьевич (1977). «Классификация простых Z-градуированных супералгебр Ли и простых йордановых супералгебр». Связь в алгебре . 5 (13). Тейлор и Фрэнсис : 1380. doi : 10.1080/00927877708822224 . МР 0498755 . S2CID 122274196 . Збл 0367.17007 .

[22] Баэз, Джон Карлос (2002). «Октонионы» . Бюллетень Американского математического общества . 39 (2). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 189–191. дои : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X . МР 1886087 . S2CID 586512 . Збл 1026.17001 .

[23] Любек, Франк (2001). «Наименьшие степени представлений исключительных групп лиева типа» . Связь в алгебре . 29 (5). Филадельфия, Пенсильвания: Тейлор и Фрэнсис : 2151. doi : 10.1081/AGB-100002175 . МР 1837968 . S2CID 122060727 . Збл 1004.20003 .

[24] Хартли, Майкл И.; Хюльпке, Александр (2010). «Многогранники, полученные из спорадических простых групп» . Вклад в дискретную математику . 5 (2). Альберта, Калифорния: Университета Калгари Факультет математики и статистики : 27. doi : 10.11575/cdm.v5i2.61945 . ISSN 1715-0868 . МР 2791293 . S2CID 40845205 . Збл 1320.51021 .

[25] Экслер, Кристиан (2023). «О неравенстве Робина» . Журнал Рамануджана . 61 (3). Гейдельберг, GE: Springer : 909–919. arXiv : 2110.13478 . Бибкод : 2021arXiv211013478A . дои : 10.1007/s11139-022-00683-0 . S2CID 239885788 . Збл 1532.11010 .

[26] Робин, Гай (1984). «Большие значения функции суммы делителей и гипотеза Римана» (PDF) . Журнал чистой и прикладной математики . Девятая серия (на французском языке). 63 (2): 187–213. ISSN 0021-7824 . МР 0774171 . Збл 0516.10036 .

[27] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A067698 (Положительные целые числа, такие, что сигма(n) больше или равна exp(gamma) * n * log(log(n)).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 октября 2023 г.

[28] «А006753 Слоана: числа Смита» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 мая 2016 г.

[29] «А005349 Слоана: числа Нивена (или Харшада)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 мая 2016 г.

[30] Дэйв Андерсен. «Страница Pi-поиска» . ангио.нет . Проверено 31 октября 2023 г.

[31] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A064810 (Самопомещающиеся строки внутри Pi: числа n такие, что строка n находится в позиции n десятичных цифр числа Pi, где 1 — это 0-я цифра.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 октября 2023 г.

[32] «Темная энергия, темная материя | Управление научной миссии» . science.nasa.gov . Проверено 8 ноября 2020 г.

[33] Стив Дженкинс, Кости (2010), ISBN 978-0-545-04651-0

[34] «Каталог солнечных затмений Сароса 27» . Веб-сайт НАСА по затмению . НАСА . Проверено 27 февраля 2022 г.

[35] «Каталог лунных затмений на Саросе 27» . Веб-сайт НАСА по затмению . НАСА . Проверено 27 февраля 2022 г.

[36] «Руководство по грамматике испанского диктанта» . Испанский Дикт . Проверено 19 августа 2020 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[а]

[10]

[б]

[13]

[с]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[7]

[8]

[9]

[11]

[12]