Кубическая поверхность

В математике кубическая поверхность — это поверхность в трёхмерном пространстве, определяемая одним полиномиальным уравнением степени 3. Кубические поверхности являются фундаментальными примерами в алгебраической геометрии . Теория упрощается за счет работы в проективном пространстве , а не в аффинном пространстве , поэтому кубические поверхности обычно рассматриваются в проективном трехмерном пространстве. $\mathbf {P} ^{3}$. Теория также становится более единообразной, если сосредоточиться на поверхностях комплексных чисел , а не на действительных числах ; Обратите внимание, что комплексная поверхность имеет действительную размерность 4. Простым примером является кубическая поверхность Ферма.

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0$

в $\mathbf {P} ^{3}$. Многие свойства кубических поверхностей в более общем смысле справедливы и для поверхностей дель Пеццо .

Гладкая кубическая поверхность (поверхность Клебша)

Рациональность кубических поверхностей

Центральной особенностью гладких кубических поверхностей X над алгебраически замкнутым полем является то, что все они рациональны , как показал Альфред Клебш в 1866 году. То есть существует взаимно однозначное соответствие, определяемое рациональными функциями, между проективной плоскостью $\mathbf {P} ^{2}$ минус подмножество меньшей размерности и X минус подмножество меньшей размерности. В более общем смысле, каждая неприводимая кубическая поверхность (возможно, особая) над алгебраически замкнутым полем рациональна, если только она не является проективным конусом над кубической кривой. В этом отношении кубические поверхности значительно проще гладких поверхностей степени не ниже 4 в $\mathbf {P} ^{3}$, которые никогда не являются рациональными. В нулевой характеристике гладкие поверхности степени не ниже 4 в $\mathbf {P} ^{3}$ даже не являются неуправляемыми .

Более убедительно Клебш показал, что каждая гладкая кубическая поверхность в $\mathbf {P} ^{3}$ замкнутым полем изоморфно разрушению над алгебраически $\mathbf {P} ^{2}$ в 6 баллов. В результате каждая гладкая кубическая поверхность над комплексными числами диффеоморфна связной сумме $\mathbf {CP} ^{2}\#6(-\mathbf {CP} ^{2})$, где знак минус означает изменение ориентации . И наоборот, взрыв $\mathbf {P} ^{2}$ в 6 точках изоморфна кубической поверхности тогда и только тогда, когда точки находятся в общем положении, что означает, что никакие три точки не лежат на прямой и все 6 не лежат на конике . Как комплексное многообразие (или алгебраическое многообразие ), поверхность зависит от расположения этих шести точек.

27 линий на кубической поверхности

Большинство доказательств рациональности кубических поверхностей начинаются с поиска линии на поверхности. (В контексте проективной геометрии линия в $\mathbf {P} ^{3}$ изоморфен $\mathbf {P} ^{1}$.) Точнее, Артур Кэли и Джордж Салмон показали в 1849 году, что каждая гладкая кубическая поверхность над алгебраически замкнутым полем содержит ровно 27 прямых. Это отличительная особенность кубик: гладкая поверхность квадрики (степени 2) покрыта непрерывным семейством линий, в то время как большинство поверхностей степени не ниже 4 в $\mathbf {P} ^{3}$ не содержать строк. Другой полезный метод поиска 27 линий включает исчисление Шуберта , которое вычисляет количество линий, используя теорию пересечения грассманиана линий на $\mathbf {P} ^{3}$.

Поскольку коэффициенты гладкой комплексной кубической поверхности меняются, 27 линий движутся непрерывно. В результате замкнутый контур в семействе гладких кубических поверхностей определяет перестановку 27 линий. Группа перестановок 27 прямых , возникающих таким образом, называется группой монодромии семейства кубических поверхностей. Замечательное открытие XIX века заключалось в том, что группа монодромии не является ни тривиальной, ни всей симметрической группой. $S_{27}$; это группа порядка 51840 , действующая транзитивно на множестве прямых. Эта группа постепенно была признана ( Эли Картаном (1896), Артуром Коблом (1915–17) и Патриком дю Валем (1936)) как группа Вейля типа $E_{6}$, группа, порожденная размышлениями о 6-мерном вещественном векторном пространстве, связанная с группой Ли. $E_{6}$ размерности 78.

Ту же группу порядка 51840 можно описать в комбинаторных терминах как группу автоморфизмов графа . из 27 строк с вершиной для каждой линии и ребром всякий раз, когда встречаются две линии Этот граф был проанализирован в 19 веке с использованием таких подграфов, как конфигурация двойной шестерки Шлефли . Дополнительный граф (с ребром, когда две прямые не пересекаются) известен как граф Шлефли .

Граф Шлефли

Многие задачи о кубических поверхностях можно решить с помощью комбинаторики. $E_{6}$ корневая система . Например, 27 линий можно отождествить с весами фундаментального представления группы Ли. $E_{6}$. Возможные наборы особенностей, которые могут возникнуть на кубической поверхности, можно описать в терминах подсистем $E_{6}$ корневая система. Одно из объяснений этой связи состоит в том, что $E_{6}$ решетка возникает как ортогональное дополнение к антиканоническому классу $-K_{X}$ в группе Пикарда $\operatorname {Pic} (X)\cong \mathbf {Z} ^{7}$, с его формой пересечения (исходящей из теории пересечения кривых на поверхности). Для гладкой комплексной кубической поверхности решетку Пикара можно также отождествить с когомологий группой $H^{2}(X,\mathbf {Z} )$.

Точка Эккардта — это точка, в которой встречаются 3 из 27 линий. Большинство кубических поверхностей не имеют точки Эккардта, но такие точки встречаются в подмножестве коразмерности -1 семейства всех гладких кубических поверхностей.

Учитывая отождествление кубической поверхности на X и разрушения $\mathbf {P} ^{2}$ в 6 точках общего положения 27 линий на X можно рассматривать как: 6 исключительных кривых, созданных раздутием, бирациональные преобразования 15 линий через пары из 6 точек в $\mathbf {P} ^{2}$и бирациональные преобразования шести коник, содержащих все точки из шести, кроме одной. Данную кубическую поверхность можно рассматривать как раздутие $\mathbf {P} ^{2}$ более чем одним способом (фактически, 72 различными способами), и поэтому описание в виде раздутия не выявляет симметрию между всеми 27 линиями.

Связь между кубическими поверхностями и $E_{6}$ корневая система обобщает связь между всеми поверхностями дель Пеццо и корневыми системами. Это одна из многих классификаций ADE по математике. Продолжая эти аналогии, Вера Серганова и Алексей Скоробогатов установили прямую геометрическую связь между кубическими поверхностями и группой Ли. $E_{6}$.

В физике 27 линий можно отождествить с 27 возможными зарядами М-теории на шестимерном торе (6 импульсов, 15 мембран , 6 пятибран ), и тогда группа E ₆ естественным образом действует как группа U-дуальности . Это отображение между поверхностями дель Пеццо и М-теорией на торах известно как загадочная двойственность .

Специальные кубические поверхности

Гладкая комплексная кубическая поверхность в $\mathbf {P} ^{3}$ с наибольшей группой автоморфизмов является кубическая поверхность Ферма, определенная формулой

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0.$

Его группа автоморфизмов является расширением $3^{3}:S_{4}$, порядка 648.

Следующей наиболее симметричной гладкой кубической поверхностью является поверхность Клебша , котораяможет быть определен в $\mathbf {P} ^{4}$ по двум уравнениям

$x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=0.$

Его группой автоморфизмов является симметрическая группа $S_{5}$, порядка 120. После сложной линейной замены координат поверхность Клебша также можно определить уравнением

$x^{2}y+y^{2}z+z^{2}w+w^{2}x=0$

в $\mathbf {P} ^{3}$.

Узловая кубическая поверхность Кэли

Среди сингулярных комплексных кубических поверхностей узловая кубическая поверхность Кэли является единственной поверхностью с максимальным числом узлов , 4:

$wxy+xyz+yzw+zwx=0.$

Его группа автоморфизмов $S_{4}$, порядка 24.

Реальные кубические поверхности

В отличие от сложного случая, пространство гладких кубических поверхностей над действительными числами не связно в классической топологии (основанной на топологии R ) . Ее связные компоненты (иными словами, классификация гладких вещественных кубических поверхностей с точностью до изотопии ) были определены Людвигом Шлефли (1863 г.), Феликсом Клейном (1865 г.) и Х. Г. Цойтеном (1875 г.). А именно, существует 5 изотопических классов гладких вещественных кубических поверхностей X в $\mathbf {P} ^{3}$, отличающийся топологией пространства вещественных точек $X(\mathbf {R} )$. Пространство вещественных точек диффеоморфно либо $W_{7},W_{5},W_{3},W_{1}$, или несвязное объединение $W_{1}$ и 2-сфера, где $W_{r}$ обозначает связную сумму r копий вещественной проективной плоскости $\mathbf {RP} ^{2}$. Соответственно, количество вещественных строк, содержащихся в X, равно 27, 15, 7, 3 или 3.

Гладкая вещественная кубическая поверхность рациональна над R тогда и только тогда, когда ее пространство вещественных точек связно, то есть в первых четырех из пяти предыдущих случаев.

Среднее количество реальных строк на X равно $6{\sqrt {2}}-3$ когда определяющий полином для X выбирается случайным образом из гауссовского ансамбля, индуцированного скалярным произведением Бомбьери .

Пространство модулей кубических поверхностей

Две гладкие кубические поверхности изоморфны как алгебраические многообразия тогда и только тогда, когда они эквивалентны некоторому линейному автоморфизму $\mathbf {P} ^{3}$. Геометрическая теория инвариантов дает пространство модулей кубических поверхностей с одной точкой для каждого класса изоморфизма гладких кубических поверхностей. Это пространство модулей имеет размерность 4. Точнее, это открытое подмножество взвешенного проективного пространства P (12345) Салмона и Клебша (1860). В частности, это рациональная четверка.

Конус кривых

Линии на кубической поверхности X над алгебраически замкнутым полем могут быть описаны внутренне, без ссылки на вложение X в $\mathbf {P} ^{3}$: это в точности (−1)-кривые на X , то есть кривые, изоморфные $\mathbf {P} ^{1}$ которые имеют самопересечение −1. Кроме того, классы прямых в решетке Пикара X (или, что то же самое, группа классов дивизоров ) являются в точности элементами u из Pic( X ) такими, что $u^{2}=-1$ и $-K_{X}\cdot u=1$. (При этом используется ограничение гиперплоского линейного расслоения O(1) на $\mathbf {P} ^{3}$ до X — антиканоническое линейное расслоение $-K_{X}$, по формуле присоединения .)

Для любого проективного многообразия X конус кривых означает выпуклый конус, натянутый на все кривые из X (в вещественном векторном пространстве $N_{1}(X)$ 1-циклов по модулю числовой эквивалентности, или в группе гомологий $H_{2}(X,\mathbf {R} )$ если базовым полем являются комплексные числа). Для кубической поверхности конус кривых состоит из 27 линий. В частности, это рациональный многогранный конус в $N_{1}(X)\cong \mathbf {R} ^{7}$ с большой группой симметрии — группой Вейля $E_{6}$. Аналогичное описание конуса кривых имеется для любой поверхности дель Пеццо.

Кубические поверхности над полем

Гладкая кубическая поверхность X над полем k, не являющимся алгебраически замкнутым, не обязательно должна быть рациональной над k . существуют гладкие кубические поверхности. В крайнем случае над рациональными числами Q (или p-адическими числами) $\mathbf {Q} _{p}$) без рациональных точек , и в этом случае X заведомо нерационально. Если X ( k ) непусто, то X по крайней мере унирационально над k , согласно Бениамино Сегре и Яношу Коллару . Для бесконечного k унирациональность означает, что множество k -рациональных точек плотно по Зарисскому в X .

Абсолютная группа Галуа поля k переставляет 27 строк X над алгебраическим замыканием ${\overline {k}}$ k группы (через некоторую подгруппу группы Вейля $E_{6}$). Если некоторая орбита этого действия состоит из непересекающихся прямых, то X — раздутие «более простой» поверхности дель Пеццо над k в замкнутой точке. В противном случае X имеет номер Пикара 1. (Группа Пикара X является подгруппой геометрической группы Пикара. $\operatorname {Pic} (X_{\overline {k}})\cong \mathbf {Z} ^{7}$.) В последнем случае Сегре показал, что X никогда не бывает рациональным. Более строго Юрий Манин доказал утверждение бирациональной жесткости: две гладкие кубические поверхности с числом Пикара 1 над полем k бирациональны совершенным тогда и только тогда, когда они изоморфны. Например, эти результаты дают множество кубических поверхностей над Q , которые являются унирациональными, но не рациональными.

Особые кубические поверхности

В отличие от гладких кубических поверхностей, содержащих 27 линий, сингулярные кубические поверхности содержат меньше линий. Более того, их можно классифицировать по типу особенности, возникающей в их нормальной форме. Эти особенности классифицируются с помощью диаграмм Дынкина .

Классификация

Нормальная сингулярная кубическая поверхность $X$ в ${\textbf {P}}_{\mathbb {C} }^{3}$ с местными координатами $[x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}]$ называется нормальной формой, если она задается формулой $F=x_{3}f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})-f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2})=0$. В зависимости от типа особенности $X$ содержит, она изоморфна проективной поверхности в ${\textbf {P}}^{3}$ предоставлено $F=x_{3}f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})-f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2})=0$ где $f_{2},f_{3}$ такие, как в таблице ниже. Это означает, что мы можем получить классификацию всех особых кубических поверхностей. Параметры следующей таблицы следующие: $a,b,c$ представляют собой три отдельных элемента $\mathbb {C} \setminus \{0,1\}$, параметры $d,e$ находятся в $\mathbb {C} \setminus \{0,-1\}$ и $u$ является элементом $\mathbb {C} \setminus \{0\}$. Обратите внимание, что существуют две разные особые кубические поверхности с особенностью $D_{4}$.

Классификация особых кубических поверхностей по типу особенности скрывать

Сингулярность	$f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})$	$f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2})$
$A_{1}$	$x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}$	$(x_{0}-ax_{1})(-x_{0}+(b+1)x_{1}-bx_{2})(x_{1}-cx_{2})$
$2A_{1}$	$x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}$	$(x_{0}-2x_{1}+x_{2})(x_{0}-ax_{1})(x_{1}-bx_{2})$
$A_{1}A_{2}$	$x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}$	$(x_{0}-x_{1})(-x_{1}+x_{2})(x_{0}-(a+1)x_{1}+ax_{2})$
$3A_{1}$	$x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}$	$x_{0}x_{2}(x_{0}-(a+1)x_{1}+ax_{2})$
$A_{1}A_{3}$	$x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}$	$(x_{0}-x_{1})(-x_{1}+x_{2})(x_{0}-2x_{1}+x_{2})$
$2A_{1}A_{2}$	$x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}$	$x_{1}^{2}(x_{0}-x_{1})$
$4A_{1}$	$x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}$	$(x_{0}-x_{1})(x_{1}-x_{2})x_{1}$
$A_{1}A_{4}$	$x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}$	$x_{0}^{2}x_{1}$
$2A_{1}A_{3}$	$x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}$	$x_{0}x_{1}^{2}$
$A_{1}2A_{2}$	$x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}$	$x_{1}^{3}$
$A_{1}A_{5}$	$x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}$	$x_{0}^{3}$
$A_{2}$	$x_{0}x_{1}$	$x_{2}(x_{0}+x_{1}+x_{2})(dx_{0}+ex_{1}+dex_{2})$
$2A_{2}$	$x_{0}x_{1}$	$x_{2}(x_{1}+x_{2})(-x_{1}+dx_{2})$
$3A_{2}$	$x_{0}x_{1}$	$x_{2}^{3}$
$A_{3}$	$x_{0}x_{1}$	$x_{2}(x_{0}+x_{1}+x_{2})(x_{0}-ux_{1})$
$A_{4}$	$x_{0}x_{1}$	$x_{0}^{2}x_{2}+x_{1}^{3}-x_{1}x_{2}^{2}$
$A_{5}$	$x_{0}x_{1}$	$x_{0}^{3}+x_{1}^{3}-x_{1}x_{2}^{2}$
$D_{4}(1)$	$x_{0}^{2}$	$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$
$D_{4}(2)$	$x_{0}^{2}$	$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}$
$D_{5}$	$x_{0}^{2}$	$x_{0}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}$
$E_{6}$	$x_{0}^{2}$	$x_{0}x_{2}^{2}+x_{1}^{3}$
${\tilde {E}}_{6}$	$0$	$x_{1}^{2}x_{2}-x_{0}(x_{0}-x_{2})(x_{0}-ax_{2})$

В нормальной форме, когда кубическая поверхность $X$ содержит хотя бы один $A_{1}$ сингулярность, она будет иметь $A_{1}$ сингулярность в $[0:0:0:1]$.

Линии на особых кубических поверхностях

Согласно классификации особых кубических поверхностей, в следующей таблице показано количество линий , содержащихся на каждой поверхности.

Линии на особых кубических поверхностях скрывать

Сингулярность	$A_{1}$	$2A_{1}$	$A_{1}A_{2}$	$3A_{1}$	$A_{1}A_{3}$	$2A_{1}A_{2}$	$4A_{1}$	$A_{1}A_{4}$	$2A_{1}A_{3}$	$A_{1}2A_{2}$	$A_{1}A_{5}$	$A_{2}$	$2A_{2}$	$3A_{2}$	$A_{3}$	$A_{4}$	$A_{5}$	$D_{4}$	$D_{5}$	$E_{6}$	${\tilde {E}}_{6}$
Количество линий	21	16	11	12	7	8	9	4	5	5	2	15	7	3	10	6	3	6	3	1	$\infty$

Группы автоморфизмов особых кубических поверхностей без параметров

Автоморфизм поверхности нормальной сингулярной кубической $X$ является ограничением автоморфизма проективного пространства ${\textbf {P}}^{3}$ к $X$. Такие автоморфизмы сохраняют особые точки. Более того, они не переставляют местами особенности разных типов. Если поверхность содержит две особенности одного типа, автоморфизм может переставлять их местами. Совокупность автоморфизмов на кубической поверхности образует группу , так называемую группу автоморфизмов . В следующей таблице показаны все группы автоморфизмов особых кубических поверхностей без параметров.

Группы автоморфизмов особых кубических поверхностей без параметров скрывать

Сингулярность	Группа автоморфизмов $X$
$A_{1}A_{3}$	$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$
$2A_{1}A_{2}$	$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$
$4A_{1}$	$\Sigma _{4}$, симметрическая группа порядка $4!$
$A_{1}A_{4}$	$\mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}$
$2A_{1}A_{3}$	$\mathbb {C} ^{\times }\rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$
$A_{1}2A_{2}$	$\mathbb {C} ^{\times }\rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$
$A_{1}A_{5}$	$\mathbb {C} \rtimes \mathbb {C} ^{\times }$
$3A_{2}$	$(\mathbb {C} )^{2}\rtimes \Sigma _{3}$
$A_{4}$	$\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$
$A_{5}$	$(\mathbb {C} \rtimes \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )\rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$
$D_{4}(1)$	$\mathbb {C} ^{\times }\rtimes \Sigma _{3}$
$D_{4}(2)$	$\Sigma _{3}$
$D_{5}$	$\mathbb {C} ^{\times }$
$E_{6}$	$\mathbb {C} \rtimes \mathbb {C} ^{\times }$

См. также

• Алгебраическая поверхность
• Классификация Энрикеса-Кодайры
• Сорт Фано
• Исчисление Шуберта

Ссылки

• Брюс, JW; Уолл, CTC (1979), «О классификации кубических поверхностей», Журнал Лондонского математического общества , 19 (2): 245–256, doi : 10.1112/jlms/s2-19.2.245 , ISSN   0024-6107 , MR   0533323
• Кэли, Артур (1849), «О тройных касательных плоскостях поверхностей третьего порядка» , Cambridge and Dublin Math. Дж. , 4 : 118–138
• Кэли, Артур (1869), «Мемуары о кубических поверхностях», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 159 , The Royal Society: 231–326, doi : 10.1098/rstl.1869.0010 , ISSN   0080-4614 , JSTOR   108997
• Дегтярев А.И.; Харламов В.М. (2000), «Топологические свойства вещественных алгебраических многообразий: путь Рохлина», Русские математические обзоры , 55 (4): 735–814, arXiv : math/0004134 , doi : 10.1070/RM2000v055n04ABEH000315 , MR   1786731 , 2CID   250775854
• Долгачев, Игорь (2012), Классическая алгебраическая геометрия: современный взгляд , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9781139084437 , ISBN  9781139084437 , МР   2964027
• Робин Хартшорн (1997) [1977]. Алгебраическая геометрия . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-90244-9 . МР   0463157 .
• Хендерсон, Арчибальд (2015) [1911], Двадцать семь линий на кубической поверхности , Кембриджские трактаты по математике, Cambridge University Press , ISBN  978-1107493513 , ЯФМ   42.0661.01
• Хольцер, Стефан; Labs, Оливер (2006), «Иллюстрация классификации реальных кубических поверхностей» (PDF) , Алгебраическая геометрия и геометрическое моделирование , Springer, стр. 119–134, MR   2279847
• Исковских, В.А. (2001) [1994], «Кубическая гиперповерхность» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Коллар, Янош ; Смит, Карен Э .; Корти, Алессио (2004), Рациональные и почти рациональные разновидности , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511734991 , ISBN  978-0-521-83207-6 , МР   2062787 , S2CID   117569533
• Манин, Юрий Иванович (1986), Кубические формы , Математическая библиотека Северной Голландии, вып. 4 (2-е изд.), Амстердам: Северная Голландия, ISBN  978-0-444-87823-6 , МР   0833513
• Рид, Майлз (1988). Бакалавриат по алгебраической геометрии . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-35662-6 . МР   0982494 .
• Шлефли, Людвиг (1863), «О распределении поверхностей третьего порядка по видам в отношении отсутствия или присутствия особых точек и реальности их линий», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 153 , Королевское общество: 193–241, номер домена : 10.1098/rstl.1863.0010 , ISSN   0080-4614 , JSTOR   108795.
• Сегре, Бениамино (1942), Неособые кубические поверхности , Oxford University Press , MR   0008171
• Серганова Вера ; Скоробогатов, Алексей (2007), «Поверхности Дель Пеццо и теория представлений», Алгебра и теория чисел , 1 (4): 393–419, arXiv : math/0611737 , doi : 10.2140/ant.2007.1.393 , MR   2368955
• Силхол, Роберт (1989), Реальные алгебраические поверхности , Конспекты лекций по математике, том. 1392, Springer-Verlag, doi : 10.1007/BFb0088815 , ISBN  3-540-51563-1 , МР   1015720

Внешние ссылки

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Кубическая поверхность» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Линии на кубической поверхности, автор Райан Хобан (Лаборатория экспериментальной геометрии Университета Мэриленда), на основе работы Уильяма Голдмана, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Cubic Surfaces DVD (54 анимации кубических поверхностей, которые можно загрузить отдельно или на DVD)