Рациональное разнообразие

В математике называется рациональным многообразием алгебраическое многообразие над данным полем K , которое бирационально эквивалентно проективному пространству некоторой размерности K. над Это означает, что его функциональное поле изоморфно

$K(U_{1},\dots ,U_{d}),$

поле всех рациональных функций для некоторого множества $\{U_{1},\dots ,U_{d}\}$ неопределенностей , где d — размерность многообразия.

и

Пусть V — аффинное алгебраическое многообразие размерности d, определенное простым идеалом I = ⟨ f ₁ , ..., f _k ⟩ в $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$. Если V рационально в то ​ _, ​ ​ _​ ​ $K(U_{1},\dots ,U_{d})$ такой, что $f_{i}(g_{1}/g_{0},\ldots ,g_{n}/g_{0})=0.$ Другими словами, у нас есть рациональная параметризация $x_{i}={\frac {g_{i}}{g_{0}}}(u_{1},\ldots ,u_{d})$ сорта.

И наоборот, такая рациональная параметризация индуцирует полевой гомоморфизм поля функций V в $K(U_{1},\dots ,U_{d})$. Но этот гомоморфизм не обязательно на . Если такая параметризация существует, то многообразие называется унирациональным . Из теоремы Люрота (см. ниже) следует, что унирациональные кривые рациональны. Из теоремы Кастельнуово также следует, что в нулевой характеристике каждая унирациональная поверхность рациональна.

Вопросы

Вопрос о рациональности ли данное расширение поля спрашивает, является рациональным в том смысле, что оно (с точностью до изоморфизма) является функциональным полем рационального многообразия; такие расширения полей также описываются как чисто трансцендентные . Точнее, вопрос о рациональности расширения поля $K\subset L$ это: это $L$ изоморфно полю рациональных функций над $K$ в числе неопределенностей, заданных степенью трансцендентности ?

Существует несколько различных вариантов этого вопроса, обусловленных тем, как поля $K$ и $L$ построены.

Например, пусть $K$ будь полем, и пусть

$\{y_{1},\dots ,y_{n}\}$

неопределенны над K и пусть L — поле, порожденное над K. ими Рассмотрим конечную группу $G$ перестановка этих неопределенных над K . Согласно стандартной теории Галуа , множество точек этой действия группы является подполем неподвижных $L$, обычно обозначается $L^{G}$. Вопрос о рациональности $K\subset L^{G}$ называется проблемой Нётер и спрашивает, является ли это поле неподвижных точек чисто трансцендентным расширением K .В статье ( Нётер, 1918 ) по теории Галуа она изучила проблему параметризации уравнений с заданной группой Галуа, которую она свела к «проблеме Нётер». (Она впервые упомянула об этой проблеме в ( Нётер, 1913 ), где она приписала эту проблему Э. Фишеру.) Она показала, что это верно для n = 2, 3 или 4. Р. Г. Свон ( 1969 ) нашел контрпример к теории Нётер. задача, где n = 47 и G циклическая группа порядка 47.

Теорема Люрота

Основная статья: теорема Люрота

Знаменитый случай — проблема Люрота , которую Якоб Люрот решил в девятнадцатом веке. Проблема Люрота касается подрасширений L из K ( X ), рациональных функций в единственном X. неопределенном Любое такое поле либо равно K также рационально, т.е. L = K ( F ) для некоторой рациональной функции F. , либо В геометрических терминах это означает, что непостоянное рациональное отображение проективной прямой на кривую C может возникнуть только тогда, когда C также имеет род 0. Этот факт можно геометрически прочитать из формулы Римана – Гурвица .

Хотя теорему Люрота часто считают неэлементарным результатом, уже давно известны несколько элементарных кратких доказательств. Эти простые доказательства используют только основы теории поля и лемму Гаусса для примитивных многочленов (см., например, ).

Унирациональность

Унирациональное многообразие V над полем K — это многообразие, в котором доминирует рациональное многообразие, так что его функциональное поле K ( V ) лежит в чистом трансцендентном поле конечного типа (которое можно выбрать как имеющее конечную степень над K ( V ), если К бесконечно). Решение проблемы Люрота показывает, что для алгебраических кривых рациональное и унирациональное одно и то же, а из теоремы Кастельнуово следует, что для комплексных поверхностей унирациональное подразумевает рациональное, поскольку обе характеризуются исчезновением как арифметического рода , так и второго плюрирода . Зарисский нашел несколько примеров ( поверхностей Зарисского ) в характеристике p > 0, которые являются унирациональными, но не рациональными. Клеменс и Гриффитс (1972) показали, что тройка кубов в целом не является рациональным многообразием, предоставив для трех измерений пример того, что унирациональность не подразумевает рациональность. В их работе использовался промежуточный якобиан . Исковских и Манин (1971) показали, что все неособые квартические тройки иррациональны, хотя некоторые из них унирациональны. Артин и Мамфорд (1972) обнаружили некоторые унирациональные трехмерные многообразия с нетривиальным кручением в их третьей группе когомологий, из чего следует, что они нерациональны.

Для любого поля K размерности не менее 2 является унирациональной , Янош Коллар что гладкая кубическая гиперповерхность если она имеет точку, определенную над K. доказал в 2000 году , Это улучшение многих классических результатов, начиная со случая кубических поверхностей (которые являются рациональными многообразиями над алгебраическим замыканием). Другими примерами многообразий, унирациональность которых показано, являются многие случаи пространства модулей кривых.

связанное

V Рационально связное многообразие — это проективное алгебраическое многообразие что через каждые две точки проходит образ регулярного отображения из проективной прямой в V. над алгебраически замкнутым полем такое , Эквивалентно, многообразие рационально связно, если каждые две точки соединены рациональной кривой, содержащейся в многообразии.

Это определение отличается от определения связности путей только природой пути, но оно сильно отличается, поскольку единственные алгебраические кривые, которые рационально связаны, являются рациональными.

Всякое рациональное многообразие, включая проективные пространства , рационально связно, но обратное неверно. Таким образом, класс рационально связных многообразий является обобщением класса рациональных многообразий. Унирациональные многообразия рационально связны, но неизвестно, верно ли обратное.

Стабильно рациональные сорта

Многообразие V называется стабильно рациональным, если $V\times \mathbf {P} ^{m}$ рационально для некоторых $m\geq 0$. Таким образом, любое рациональное многообразие по определению стабильно рационально. Примеры, построенные Бовиллем и др. (1985) показывают, однако, что обратное неверно.

Шрайдер (2019) показал, что очень общие гиперповерхности $V\subset \mathbf {P} ^{N+1}$ устойчиво рациональными, если степень V не являются не менее $\log _{2}N+2$.

См. также

• Рациональная кривая
• Рациональная поверхность
• Сорт Севери – Брауэра
• Бирациональная геометрия

Ссылки

• Артин, Майкл ; Мамфорд, Дэвид (1972), «Некоторые элементарные примеры унирациональных многообразий, которые не являются рациональными», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 25 : 75–95, CiteSeerX   10.1.1.121.2765 , doi : 10.1112/plms/s3 -25.1.75 , ISSN   0024-6115 , МР   0321934
• Бовиль, Арно; Коллио-Телен, Жан-Луи; Сансук, Жан-Жак; Суиннертон-Дайер, Питер (1985), «Нерациональные стабильно рациональные многообразия», Annals of Mathematics , Second Series, 121 (2): 283–318, doi : 10.2307/1971174 , JSTOR   1971174 , MR   0786350
• Клеменс, К. Герберт ; Гриффитс, Филлип А. (1972), «Промежуточный якобиан тройного кубического многообразия», Annals of Mathematics , Second Series, 95 (2): 281–356, CiteSeerX   10.1.1.401.4550 , doi : 10.2307/1970801 , ISSN   0003 -486X , JSTOR   1970801 , MR   0302652
• Исковских В.А.; Манин, Ю. И. (1971), «Трехмерные квартики и контрпримеры к задаче Люрота», Математический сборник , Новая Серия, 86 (1): 140–166, Бибкод : 1971SbMat..15..141I , doi : 10.1070/SM1971v015n01ABEH001536 , МР   0291172
• Коллар, Янош ; Смит, Карен Э .; Корти, Алессио (2004), Рациональные и почти рациональные разновидности , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 92, Издательство Кембриджского университета , номер документа : 10.1017/CBO9780511734991 , ISBN.  978-0-521-83207-6 , МР   2062787
• Нётер, Эмми (1913), «Рациональные функциональные тела», Дж. Бер. д. ДМВ , 22 : 316–319 .
• Нётер, Эмми (1918), «Уравнения с предписанной группой», Mathematical Annals , 78 (1–4): 221–229, doi : 10.1007/BF01457099 , S2CID   122353858 .
• Свон, Р.Г. (1969), «Инвариантные рациональные функции и проблема Стинрода», Inventiones Mathematicae , 7 (2): 148–158, Bibcode : 1969InMat...7..148S , doi : 10.1007/BF01389798 , S2CID   121951942
• Мартине, Дж. (1971), «Exp. 372 Контрпример к гипотезе Э. Нётер (по Р. Свону);», Семинар Бурбаки. Полет. 1969/70: Лекции 364–381 , Конспекты лекций по математике, том. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR   0272580
• Шрайдер, Стефан (2019), «Стабильно иррациональные гиперповерхности малых наклонов», Журнал Американского математического общества , 32 (4): 1171–1199, arXiv : 1801.05397 , doi : 10.1090/jams/928 , S2CID   119326067