Сорт Севери – Брауэра

В математике многообразие Севери–Брауэра над полем K — это алгебраическое многообразие V которое становится изоморфным проективному пространству над алгебраическим замыканием поля K. , Многообразия связаны с центральными простыми алгебрами таким образом, что алгебра расщепляется над K тогда и только тогда, когда многообразие имеет рациональную точку над K . Франческо Севери ( 1932 ) изучал эти сорта, и они также названы в честь Рихарда Брауэра из-за их близкого родства с группой Брауэров .

В размерности один многообразия Севери–Брауэра являются кониками . Соответствующие центральные простые алгебры являются алгебрами кватернионов . Алгебра ( a , b ) _K соответствует конике C ( a , b ) с уравнением

$z^{2}=ax^{2}+by^{2}\$

и алгебра ( a , b ) _K расщепляется , то есть ( a , b ) _K изоморфна матричной алгебре над K тогда и только тогда, когда C ( a , b ) имеет точку, определенную над K : это, в свою очередь, эквивалентно тому, что ( a , b ) изоморфна проективной прямой над K. C

Такие многообразия представляют интерес не только в диофантовой геометрии , но и в когомологиях Галуа . Они представляют (по крайней мере, если K — совершенное поле ) классы когомологий Галуа в ЧАС ¹ (G(K ^с /К),ПГЛ _n ), где ПГЛ _n — проективная линейная группа , а n больше размерности на единицу сорт В. ​Как обычно в когомологиях Галуа, мы часто оставляем $G(K^{s}/K)$ подразумевается. Существует короткая точная последовательность

1 → ГЛ ₁ → ГЛ _n → ПГЛ _n → 1

алгебраических групп . Отсюда следует связующий гомоморфизм

ЧАС ¹ (ПГЛ _n ) → Ч ² (ГЛ ₁ )

на уровне когомологий. Здесь Ч ² (GL ₁ ) отождествляется с группой Брауэра группы K , а ядро ​​тривиально, поскольку ЧАС ¹ (GL _n ) = {1} путем расширения теоремы Гильберта 90 . Следовательно, многообразия Севери–Брауэра могут быть точно представлены элементами группы Брауэра, т. е. классами центральных простых алгебр .

Лихтенбаум показал, что если X — многообразие Севери–Брауэра над K , то существует точная последовательность

$0\rightarrow \mathrm {Pic} (X)\rightarrow \mathbb {Z} ~{\stackrel {\delta }{\rightarrow }}~\mathrm {Br} (K)\rightarrow \mathrm {Br} (K)/(X)\rightarrow 0\ .$

Здесь отображение δ соответствующий X. переводит 1 в класс Брауэра ,

Как следствие, мы видим, что если класс X имеет порядок d существует класс дивизоров степени d в группе Брауэра, то на X . Соответствующая линейная система определяет d мерное вложение X над полем разложения L. -

См. также

• Проективный расслоение

Ссылки

• Артин, Майкл (1982), «Многообразия Брауэра-Севери», Группы Брауэра в теории колец и алгебраической геометрии (Wilrijk, 1981) , Конспекты лекций по математике, том. 917, Примечания А. Вершорена, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 194–210, doi : 10.1007/BFb0092235 , ISBN  978-3-540-11216-7 , МР   0657430 , Збл   0536.14006
• «Разнообразие Брауэра – Севери» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Гилле, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006), «Многообразия Севери – Брауэра» , Центральные простые алгебры и когомологии Галуа , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 101, Издательство Кембриджского университета , стр. 114–134, ISBN.  0-521-86103-9 , МР   2266528 , Збл   1137.12001
• Берюи, Грегори (2010), Введение в когомологии Галуа и ее приложения , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 377, Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-73866-0 , Збл   1207.12003
• Якобсон, Натан (1996), Конечномерные алгебры с делением над полями , Берлин: Springer-Verlag , ISBN  3-540-57029-2 , Збл   0874.16002
• Солтман, Дэвид Дж. (1999), Лекции по алгебрам с делением , Серия региональных конференций по математике, том. 94, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  0-8218-0979-2 , Збл   0934.16013
• Севери, Франческо (1932), «Новая область исследований геометрии над поверхностью и алгебраическим многообразием», Мемуары Королевской академии Италии (на итальянском языке), 3 (5), перепечатано в третьем томе собрания его сочинений.

Дальнейшее чтение

• Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998), Книга инволюций , Публикации коллоквиума, том. 44, С предисловием Дж. Титса, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  0-8218-0904-0 , МР   1632779 , Збл   0955.16001

Внешние ссылки

• Разъяснительный документ о происхождении Галуа (PDF)