Группа Брауэра

В математике группа Брауэра поля , K — это абелева группа элементы которой являются эквивалентности Мориты классами центральных простых алгебр над K с добавлением, заданным тензорным произведением алгебр. Его определил алгебраист Рихард Брауэр .

Группа Брауэра возникла в результате попыток классифицировать алгебры с делением над полем. Его также можно определить в терминах когомологий Галуа . В более общем смысле группа Брауэра схемы определяется в терминах алгебр Азумая или, что то же самое, с использованием проективных расслоений .

Строительство

Центральная простая алгебра (ЦСА) над полем K — это конечномерная ассоциативная K -алгебра A что A — простое кольцо и центр A такая , равен K . Обратите внимание, что CSA, как правило, не являются алгебрами с делением, хотя CSA можно использовать для классификации алгебр с делением.

Например, комплексные числа C образуют CSA над собой, но не над R (центром является сам C , следовательно, он слишком велик, чтобы быть CSA над R ). Конечномерные тела с центром R (что означает, что размерность над R конечна) являются действительными числами и кватернионами по теореме Фробениуса , в то время как любое кольцо матриц над вещественными числами или кватернионами – M( n , R ) или M ( n , H ) – является CSA над вещественными числами, но не является алгеброй с делением (если n > 1).

Мы получаем отношение эквивалентности на CSA над K с помощью теоремы Артина–Веддерберна ( M фактически, части Веддерберна), чтобы выразить любой CSA как n , D ) для некоторой алгебры с делением D. ( Если мы посмотрим только на D то есть если мы наложим отношение эквивалентности, отождествляющее M( m , D ) с M( n , D ) для всех положительных целых чисел m и n , мы получим отношение эквивалентности Брауэра на CSA над K. , Элементами группы Брауэра являются классы Брауэровской эквивалентности CSA над K .

Учитывая центральные простые алгебры A и B можно рассматривать , их тензорное произведение A ⊗ B как K -алгебру (см. тензорное произведение R-алгебр ). Оказывается, это всегда центрально просто. Удобный способ убедиться в этом — использовать характеризацию: центральная простая алгебра A над K — это K которая становится кольцом матриц, мы расширяем поле скаляров до алгебраического замыкания K. когда -алгебра , Этот результат также показывает, что размерность центральной простой алгебры A как K -векторного пространства всегда равна квадрату. Степень A измерения . определяется как квадратный корень из его

В результате классы изоморфизма CSA над K образуют моноид относительно тензорного произведения, совместимый с эквивалентностью Брауэра, а все классы Брауэра обратимы : инверсия алгебры A задается ее противоположной алгеброй A. ^на ( противоположное кольцо с тем же действием со стороны K , поскольку образ K → A находится в центре A ). Явно для CSA A имеем A ⊗ A ^на = М( п ² , K ) , где n степень A над K .

Группа Брауэра любого поля является периодической группой . Более подробно определим период центральной простой алгебры A над K как ее порядок как элемента группы Брауэра. Определите индекс A эквивалентна как степень тела алгебры, которая Брауэра A . Тогда период A делит индекс A (и, следовательно, конечен).

Примеры

• В следующих случаях каждая конечномерная центральная алгебра с телом над полем K сама является K , так что группа Брауэра Br( K ) тривиальна :
  • K — алгебраически замкнутое поле .
  • K — конечное поле ( теорема Веддерберна ). Эквивалентно, каждое конечное тело коммутативно.
  • К — поле функций алгебраической кривой над алгебраически замкнутым полем ( теорема Цена ). В более общем смысле группа Брауэра исчезает для любого C1 _поля .
  • K — алгебраическое расширение Q , содержащее все корни из единицы .
• Группа Брауэра Br( R ) поля R действительных чисел является циклической группой второго порядка. Есть только две неизоморфные действительные алгебры с делением с центром : сама R и кватернионов алгебра H. R Поскольку H ⊗ H ≅ M(4, R ) , класс H имеет второй порядок в группе Брауэра.
• Пусть K — неархимедово локальное поле , что означает, что K полно при дискретном нормировании с конечным полем вычетов. Тогда Br( K ) изоморфен Q / Z .

–

Другая важная интерпретация группы Брауэра поля K состоит в том, что она классифицирует проективные многообразия над K которые становятся изоморфными проективному пространству над алгебраическим замыканием поля K. , Такое многообразие называется многообразием Севери–Брауэра , и существует взаимно однозначное соответствие между классами изоморфизма многообразий Севери–Брауэра размерности - 1 над K и центральными простыми алгебрами степени n над K. n

Например, многообразия Севери–Брауэра размерности 1 представляют собой в точности гладкие коники на проективной плоскости над K . Для поля K характеристики, отличной от 2, каждая коника над K изоморфна одной из коник вида ax ² + по ² = г ² для некоторых ненулевых элементов a и b из K . Соответствующей центральной простой алгеброй является алгебра кватернионов

$(a,b)=K\langle i,j\rangle /(i^{2}=a,j^{2}=b,ij=-ji).$

Коника изоморфна проективной прямой P ¹ над K тогда и только тогда, когда соответствующая алгебра кватернионов изоморфна матричной алгебре M(2, K ).

Циклические алгебры

Для положительного целого числа n пусть K — поле, в котором n обратимо, такое, что K содержит примитивный корень n-й степени из единицы ζ . Для ненулевых элементов a и b из K соответствующая циклическая алгебра является центральной простой алгеброй степени n над K , определяемой формулой

$(a,b)_{\zeta }=K\langle u,v\rangle /(u^{n}=a,v^{n}=b,uv=\zeta vu).$

Циклические алгебры — наиболее понятные центральные простые алгебры. (Когда n не обратимо в K или K не имеет примитивного корня n-й степени из единицы, аналогичная конструкция дает циклическую алгебру ( χ , a ) , связанную с циклическим Z / n -расширением χ поля K и ненулевым элементом a К. ​ ​ )

Теорема Меркурьева –Суслина в алгебраической K-теории имеет сильное следствие относительно группы Брауэра. А именно, для положительного целого числа n пусть K — поле, в котором n обратимо, такое, что K содержит примитивный корень n-й степени из единицы. Тогда подгруппа группы Брауэра группы K , убитая n, порождается циклическими алгебрами степени n . Эквивалентно, любая алгебра с делением периода, делящего n, эквивалентна Брауэру тензорному произведению циклических алгебр степени n . Даже для простого числа p существуют примеры, показывающие, что алгебра с телом периода p не обязательно должна быть фактически изоморфна тензорному произведению циклических алгебр степени p .

Это основная открытая проблема (поднятая Альбертом ), является ли каждая алгебра простой степени над полем циклической. Это верно, если степень равна 2 или 3, но проблема широко открыта для простых чисел не ниже 5. Известные результаты относятся только к специальным классам полей. Например, если K — глобальное поле или локальное поле , то тело любой степени над K является циклическим по Альберту – Брауэру – Хассе – Нётер . «Многомерный» результат в том же направлении был доказан Солтманом: если K — поле степени трансцендентности 1 над локальным полем Q _p , то каждая алгебра простой степени l ≠ p над K является циклической.

Проблема с индексом периода

Для любой центральной простой алгебры A над полем K период A делит индекс A , и эти два числа имеют одинаковые простые множители. состоит Проблема индекса периода в том, чтобы ограничить индекс через период для полей K. интересующих Например, если A — центральная простая алгебра над локальным или глобальным полем, то Альберт – Брауэр – Хассе – Нётер показал, что индекс A равен периоду A .

Для центральной простой алгебры A над полем K степени трансцендентности n над алгебраически замкнутым полем предполагается, что ind( A ) делит per( A ) ^{п -1} . Это верно для n ≤ 2 , причем случай n = 2 является важным достижением де Йонга , усиленным в положительной характеристике де Йонгом-Старром и Либлихом.

Теория полей классов

Группа Брауэра играет важную роль в современной формулировке теории полей классов . Если K _v — неархимедово локальное поле, локальная теория полей классов дает канонический изоморфизм inv _v : Br( K _v ) → Q / Z , инвариант Хассе .

Случай глобального поля K (например, числового поля ) рассматривается в теории полей глобальных классов . Если D — центральная простая алгебра над K и v — место в K , то D ⊗ K _v — центральная простая алгебра над K _v , пополнение K в v . Это определяет гомоморфизм группы Брауэра группы K в группу Брауэра группы K _v . Данная центральная простая алгебра D расщепляется для всех, кроме конечного числа v , так что образ D при почти всех таких гомоморфизмах равен 0. Группа Брауэра Br( K ) вписывается в точную последовательность , построенную Хассе:

$0\rightarrow {\textrm {Br}}(K)\rightarrow \bigoplus _{v\in S}{\textrm {Br}}(K_{v})\rightarrow \mathbf {Q} /\mathbf {Z} \rightarrow 0,$

где S — множество всех мест K , а правая стрелка — сумма локальных инвариантов; группа Брауэра действительных чисел отождествляется с (1/2) Z / Z . Инъективность левой стрелки является содержанием теоремы Альберта-Брауэра-Хассе-Нётер .

Тот факт, что сумма всех локальных инвариантов центральной простой алгебры над K равна нулю, является типичным законом взаимности . Например, применение этого к алгебре кватернионов ( a , b ) над Q дает квадратичный закон взаимности .

Когомологии Галуа

Для произвольного поля K группу Брауэра можно выразить через когомологии Галуа следующим образом:

${\textrm {Br}}(K)\cong H^{2}(K,G_{\text{m}}),$

где Gm _{обозначает} мультипликативную группу рассматриваемую как алгебраическую группу над K. , Более конкретно, указанная группа когомологий означает H ² (Гал( К _с / К ), К _с ^* ) где K _s обозначает сепарабельное замыкание K , .

Изоморфизм группы Брауэра с группой когомологий Галуа можно описать следующим образом. Группа автоморфизмов алгебры размера n × n матриц — это проективная линейная группа PGL( n ). Поскольку все центральные простые алгебры над K становятся изоморфными матричной алгебре над сепарабельным замыканием K , множество классов изоморфизма центральных простых алгебр степени n над K можно отождествить с множеством когомологий Галуа H ¹ ( К , ПГЛ( п )) . Класс центральной простой алгебры в H ² ( K , G _m ) — образ своего класса в H ¹ при граничном гомоморфизме

$H^{1}(K,\operatorname {PGL} (n))\rightarrow H^{2}(K,G_{\text{m}})$

связанный с короткой точной последовательностью 1 → G _m → GL( n ) → PGL( n ) → 1 .

схемы

Группа Брауэра была обобщена с полей на кольца Ауслендером Гольдманом и . коммутативные Гротендик пошел дальше, определив группу Брауэра для любой схемы .

Есть два способа определить группу Брауэра схемы X : использовать либо алгебры Азумая над X либо проективные расслоения над X. , Второе определение включает в себя проективные расслоения, локально тривиальные в этальной топологии , а не обязательно в топологии Зарисского . В частности, проективное расслоение считается нулевым в группе Брауэра тогда и только тогда, когда оно является проективизацией некоторого векторного расслоения.

Когомологическая группа Брауэра квазикомпактной схемы X определяется как периодическая подгруппа этальной группы когомологий H ² ( Икс , г _м ) . (Вся группа H ² ( X , G _m ) оно является кручением не обязательно должно быть кручением, хотя для регулярных схем X . ) Группа Брауэра всегда является подгруппой когомологической группы Брауэра. Габбер показал, что группа Брауэра равна когомологической группе Брауэра для любой схемы с обильным линейным расслоением (например, для любой квазипроективной схемы над коммутативным кольцом).

Вся группа Х. ² ( X , Gm ₎ можно рассматривать как классификацию гербов над X со структурной Gm _{группой} .

Для гладких проективных многообразий над полем группа Брауэра является бирациональным инвариантом. Это было плодотворно. Например, когда X также рационально связен над комплексными числами, группа Брауэра X изоморфна периодической подгруппе когомологий сингулярной группы H. ³ ( X , Z ) , который, следовательно, является бирациональным инвариантом. Артин и Мамфорд использовали это описание группы Брауэра, чтобы дать первый пример унирационального многообразия X над C , которое не является стабильно рациональным (т. е. ни одно произведение X с проективным пространством не является рациональным).

гипотезой

Артин предположил, что каждая правильная схема над целыми числами имеет конечную группу Брауэра. Это далеко не известно даже в частном случае гладкого проективного многообразия X над конечным полем. Действительно, конечность группы Брауэра для поверхностей в этом случае эквивалентна гипотезе Тейта о дивизорах на X — одной из основных проблем теории алгебраических циклов .

Для регулярной интегральной схемы размерности 2, плоской и собственной над кольцом целых числовых полей и имеющей сечение конечность группы Брауэра эквивалентна конечности группы Тейта–Шафаревича Ш для якобиана разновидность общего слоя (кривая над числовым полем). Конечность Ш — центральная проблема арифметики эллиптических кривых и, в более общем плане, абелевых многообразий .

Брауэра

Пусть X — гладкое проективное многообразие над числовым K. полем Принцип Хассе предсказывает, что если X имеет рациональную точку над всеми пополнениями K _v из K , то X имеет K -рациональную точку. Принцип Хассе справедлив для некоторых специальных классов многообразий, но не в целом. Манин использовал группу Брауэра X для определения препятствия Брауэра-Манина , которое может быть применено во многих случаях, чтобы показать, что X не имеет K -точек, даже если X имеет точки над всеми пополнениями K .

Ссылки

• Коллио-Телен, Жан-Луи (1995), «Бирациональные инварианты, чистота и гипотеза Герстена» (PDF) , K-теория и алгебраическая геометрия: связи с квадратичными формами и алгебрами деления (Санта-Барбара, 1992) , Труды симпозиумов по Чистая математика, вып. 58, Часть 1, Американское математическое общество , стр. 1–64, ISBN.  978-0821803394 , МР   1327280
• де Йонг, Айзе Йохан (2004), «Проблема индекса периода для группы Брауэра алгебраической поверхности», Duke Mathematical Journal , 123 : 71–94, doi : 10.1215/S0012-7094-04-12313-9 , MR   2060023
• де Йонг, Эй Джей «Результат Габбера» (PDF) .
• Фарб, Бенсон ; Деннис, Р. Кейт (1993). Некоммутативная алгебра . Тексты для аспирантов по математике. Том. 144. Шпрингер-Верлаг . ISBN  978-0387940571 . МР   1233388 .
• Гилле, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 101. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-86103-9 . МР   2266528 .
• Гротендик, Александр (1968), «Группа Брауэра, I – III» (PDF) , в Жиро, Жан ; Гротендик, Александр ; Клейман, Стивен Л .; и другие. (ред.), Ten Exposés sur la Cohomologie des Schémas , Advanced Studies in Pure Mathematics, vol. 3, Амстердам: Северная Голландия, стр. 46–66, 67–87, 88–188, МР   0244271
• В.А. Исковских (2001) [1994], к «Группа Брауэра поля k » , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии , Princeton Mathematical Series, vol. 33, Издательство Принстонского университета , ISBN  978-0-691-08238-7 , МР   0559531
• Пирс, Ричард (1982). Ассоциативные алгебры . Тексты для аспирантов по математике . Том. 88. Нью-Йорк – Берлин: Springer-Verlag . ISBN  0-387-90693-2 . МР   0674652 .
• Солтман, Дэвид Дж. (1999). Лекции по разделительной алгебре . Серия региональных конференций по математике. Том. 94. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  0-8218-0979-2 . МР   1692654 .
• Солтман, Дэвид Дж. (2007), «Циклические алгебры над p -адическими кривыми», Journal of Algebra , 314 (2): 817–843, arXiv : math/0604409 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2007.03.003 , МР   2344586 , S2CID   119160155
• Серр, Жан-Пьер (1979). Локальные поля . Тексты для аспирантов по математике . Том. 67. Перевод Гринберга, Марвин Джей . Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-90424-7 . МР   0554237 .
• Тейт, Джон (1994), «Гипотезы об алгебраических циклах в l -адических когомологиях», Мотивы , Труды симпозиумов по чистой математике, том. 55, Часть 1, Американское математическое общество, стр. 71–83, ISBN.  0-8218-1636-5 , МР   1265523