Теорема Фробениуса (вещественные алгебры с делением)

В математике , точнее в абстрактной алгебре , теорема Фробениуса , доказанная Фердинандом Георгом Фробениусом в 1877 году, характеризует конечномерные ассоциативные алгебры с делением над действительными числами . Согласно теореме каждая такая алгебра изоморфна одному из следующих:

$R$ (действительные числа)
$C$ ( комплексные числа )
$H$ ( кватернионы ).

Эти алгебры имеют действительную размерность $1, 2$ и $4$ соответственно. трёх алгебр $R$ и $C$ коммутативны Из этих , а $H$ — нет.

Доказательство [ править ]

Основными ингредиентами следующего доказательства являются теорема Кэли-Гамильтона и основная теорема алгебры .

Введение некоторых обозначений [ править ]

Пусть $D$ — рассматриваемая алгебра с делением.
Пусть $n$ — размерность $D$ .
Мы отождествляем действительные кратные $1$ с $R$ .
Когда мы пишем $a \leq 0$ для элемента $a$ из $D$ , мы подразумеваем, что $содержится$ в $R.$ a
Мы можем рассматривать $D$ как конечномерное $R$ - векторное пространство . Любой элемент $d$ из $D$ определяет эндоморфизм D $.$ путем умножения слева, мы отождествляем $d$ с этим эндоморфизмом можно говорить о следе d $Поэтому$ , а его характеристике — и минимальных полиномах .
Для любого $z$ в $C$ определите следующий действительный квадратичный многочлен :

Q(z;x)=x^{2}-2\operatorname {Re} (z)x+|z|^{2}=(x-z)(x-{\overline {z}})\in \mathbf {R} [x].

Заметим, что

z \in C ∖ R

то

Q (z; x)

неприводима , над

R.

если

Претензия [ править ]

Ключ к аргументу заключается в следующем.

Требовать. Множество

V

всех элементов

a

из

D

таких, что

a 2 \leq 0

— векторное подпространство в

D

размерности

n - 1

. Более того,

D = R \oplus V

как

R

-векторные пространства, откуда следует, что

V

порождает

D

как алгебру.

Доказательство утверждения: выберите $a$ в $D$ с характеристическим полиномом $p (x)$ . По основной теореме алгебры мы можем написать

p(x)=(x-t_{1})\cdots (x-t_{r})(x-z_{1})(x-{\overline {z_{1}}})\cdots (x-z_{s})(x-{\overline {z_{s}}}),\qquad t_{i}\in \mathbf {R} ,\quad z_{j}\in \mathbf {C} \setminus \mathbf {R} .

Мы можем переписать $p (x)$ в терминах многочленов $Q (z; x)$ :

p(x)=(x-t_{1})\cdots (x-t_{r})Q(z_{1};x)\cdots Q(z_{s};x).

Поскольку $z j \in C ∖ R$ все многочлены $Q (z j; x)$ неприводимы над $R.$ , По теореме Кэли–Гамильтона $p (a) = 0$ , а поскольку $D$ является алгеброй с делением, отсюда следует, что либо $a - t i = 0$ для некоторого $i$ , либо $Q (z j; a) = 0$ для некоторого $j$ . Первый случай означает, что $a$ вещественно. Во втором случае отсюда следует, что $Q (z j; x)$ является минимальным полиномом $a$ . Поскольку $p (x)$ имеет те же комплексные корни , что и минимальный многочлен, и поскольку он веществен, из этого следует, что

p(x)=Q(z_{j};x)^{k}=\left(x^{2}-2\operatorname {Re} (z_{j})x+|z_{j}|^{2}\right)^{k}

Поскольку $p (x)$ является характеристическим многочленом $a,$ коэффициент при $x 2к - 1$ в $p (x)$ есть $tr(a)$ с точностью до знака. Следовательно, мы читаем из приведенного выше уравнения: $tr(a) = 0$ тогда и только тогда, когда $Re(z j) = 0$ , другими словами, $tr(a) = 0$ тогда и только тогда, когда $a 2 = -| z j | 2 < 0$ .

Итак, $V$ — это подмножество всех $a$ с $tr(a) = 0$ . В частности, это векторное подпространство. V имеет Тогда из теоремы о ранге-пустоте следует, что $размерность$ n $- 1,$ оно является ядром поскольку $\operatorname {tr} :D\to \mathbf {R}$ . Поскольку $R$ и $V$ не пересекаются (т.е. удовлетворяют $\mathbf {R} \cap V=\{0\}$ ), а их размерности в сумме равны $n$ , мы имеем $D = R \oplus V$ .

Финиш [ править ]

Для $a, b$ в $V$ определим $B (a, b) = (- ab - ba)/2$ . Ввиду тождества $(a + b) 2 - а 2 - б 2 = ab + ba$ , отсюда следует, что $B (a, b)$ веществен. Кроме того, $поскольку 2 \leq 0$ , мы имеем: $B (a, a) > 0$ для $a \neq 0$ . Таким образом, $является$ положительно определенной симметричной билинейной формой , другими словами, скалярным произведением на $V.$ B

Пусть $W$ — подпространство $V$ , порождающее $D$ как алгебру и минимальное по этому свойству. Пусть $e1 ... en —$ ортонормированный базис W $B.$ относительно $,$ , Тогда ортонормированность означает, что:

e_{i}^{2}=-1,\quad e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}.

Если $k 0$ , то $D$ изоморфен $R.$ =

Если $k = 1$ , то $D$ порождается $1$ и $e 1$ с учетом соотношения $e 21 = -1$ . Следовательно, он изоморфен $C$ .

Если $k 2$ , то выше было показано, что $порождается$ 1 $, e1 =, e2 D$ с учетом соотношений

e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1,\quad e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1},\quad (e_{1}e_{2})(e_{1}e_{2})=-1.

Именно такие соотношения существуют для $H$ .

Если $k > 2$ , то $D$ не может быть телом. Предположим, что $k > 2$ . Определим $u = e 1 e 2 e k$ и рассмотрим $u 2 =(е 1 е 2 е k)*(е 1 е 2 е k)$ . Переставляя элементы этого выражения и применяя соотношения ортонормированности между базисными элементами, находим, что $u 2 = 1$ . Если бы $D$ была делением алгебры, $0 = u 2 - 1 = (u - 1)(u + 1)$ влечет $u = \pm1$ , что, в свою очередь, означает: $e k = \mp e 1 e 2$ и, следовательно, $e 1, ..., e k -1$ порождает $D$ . Это противоречит минимальности $W$ .

Замечания и связанные результаты [ править ]

Тот факт, что $D$ порождается $e 1, ..., ek D$ с учетом приведенных выше соотношений, означает, что $является$ алгеброй Клиффорда группы $R н$ . Последний шаг показывает, что единственными вещественными алгебрами Клиффорда, которые являются алгебрами с делением, являются $Cℓ 0, Кℓ 1$ и $Сℓ 2$ .
Как следствие, единственными коммутативными алгебрами с делением $R$ и $C.$ являются Также обратите внимание, что $H$ не является $C$ -алгеброй. это было так, то H должен $C$ содержать $Если бы$ , но центром $H$ является $R.$ центр
Эта теорема тесно связана с теоремой Гурвица , которая утверждает, что единственными вещественными нормированными алгебрами с делением являются $R, C, H$ и (неассоциативная) $O.$ алгебра
Понтрягинский вариант. Если $D$ — связное , локально тело то $D = R, C$ или $H.$ компактное

Ссылки [ править ]

Рэй Э. Арц (2009) Скалярные алгебры и кватернионы , Теорема 7.1 «Классификация Фробениуса», страница 26.
Фердинанд Георг Фробениус (1878) « О линейных заменах и билинейных формах », Журнал чистой и прикладной математики 84: 1–63 ( Журнал Крелля ). Перепечатано в сборнике статей , том I, стр. 343–405.
Юрий Бахтурин (1993) Основные структуры современной алгебры , Kluwer Acad. Паб. стр. 30–2 ISBN 0-7923-2459-5 .
Леонард Диксон (1914) Линейные алгебры , Издательство Кембриджского университета . См. §11 «Алгебра вещественных кватернионов: ее уникальное место среди алгебр», страницы 10–12.
RS Palais (1968) «Классификация алгебр с действительным делением» American Mathematical Monthly 75:366–8.
Lev Semenovich Pontryagin , Topological Groups , page 159, 1966.