Инвариант Хассе алгебры

В математике инвариант Хассе алгебры — это инвариант, присоединенный к классу Брауэра алгебр над полем . Концепция названа в честь Гельмута Хассе . Инвариант играет роль в локальной теории полей классов .

Локальные поля

Пусть K — локальное поле со нормировкой v и D -алгебра — K . Мы можем предположить, что D — тело с центром K степени n . Оценка v может быть расширена до D , например, путем совместимого расширения ее до каждого коммутативного подполя D : группа значений этой оценки равна (1 n ) Z. /

Существует коммутативное подполе L в D которое неразветвлено над K и D расщепляется над L. , Поле L но все такие расширения сопряжены по теореме Скулема-Нётер , которая далее показывает, что любой автоморфизм L индуцируется сопряжением в D. не уникально , Возьмем γ в D такой, что сопряжение с помощью γ индуцирует автоморфизм Фробениуса L / K , и пусть v (γ) = k / n . Тогда k / n по модулю 1 является инвариантом D. Хассе Это зависит только от класса Брауэра D .

Таким образом, инвариант Хассе представляет собой отображение, определенное на группе Брауэра локального поля K , в делимую группу Q / Z . Каждый класс в группе Брауэра представлен классом в группе Брауэра неразветвленного расширения L / K степени n , которую по теореме Грюнвальда–Ванга и теореме Альберта–Брауэра–Хассе–Нётер можно считать циклической алгеброй ( L ,φ,π ^к ) для некоторого k mod n , где φ — отображение Фробениуса , а π — униформизатор. Инвариантное отображение присоединяет элемент k / n к классу mod 1. Это демонстрирует инвариантное отображение как гомоморфизм

${\underset {L/K}{\operatorname {inv} }}:\operatorname {Br} (L/K)\rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .$

Инвариантное отображение расширяется до Br( K ), представляя каждый класс некоторым элементом Br( L / K ), как указано выше.

Для неархимедова локального поля инвариантное отображение является групповым изоморфизмом .

В случае поля R действительных чисел существует два класса Брауэра, представленные алгеброй R и кватернионов алгеброй H. самой Удобно приписать нулевой инвариант классу R , а инвариант 1/2 по модулю 1 — классу кватернионов.

В случае поля C комплексных чисел единственным классом Брауэра является тривиальный класс с нулевым инвариантом.

Глобальные поля

Для глобального поля K , учитывая центральную простую алгебру D над K , тогда для каждого нормирования v поля K мы можем рассмотреть расширение скаляров D _v = D ⊗ K _v. Расширение D _v расщепляется для всех, кроме конечного числа v , так что локальный инвариант D v _почти всегда равен нулю. Группа Брауэра Br( K ) укладывается в точную последовательность

$0\rightarrow {\textrm {Br}}(K)\rightarrow \bigoplus _{v\in S}{\textrm {Br}}(K_{v})\rightarrow \mathbf {Q} /\mathbf {Z} \rightarrow 0,$

где S — множество всех оценок K , а правая стрелка — сумма локальных инвариантов. Инъективность левой стрелки является содержанием теоремы Альберта-Брауэра-Хассе-Нётер . Точность в среднесрочной перспективе – это важный факт глобальной теории полей классов .

Ссылки

• Гилле, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 101. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-86103-9 . Збл   1137.12001 .
• Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и дополнительные темы . Спрингер. стр. 100-1 231–238. ISBN  978-0-387-72487-4 . Збл   1130.12001 .
• Серр, Жан-Пьер (1967). «VI. Теория полей локальных классов». в Касселсе, JWS ; Фрелих, А. (ред.). Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза . Лондон: Академическая пресса. стр. 128–161. Збл   0153.07403 .
• Серр, Жан-Пьер (1979). Локальные поля . Тексты для аспирантов по математике . Том. 67. Перевод Гринберга, Марвин Джей . Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-90424-7 . Збл   0423.12016 .

Дальнейшее чтение

• Шац, Стивен С. (1972). Проконечные группы, арифметика и геометрия . Анналы математических исследований. Том. 67. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN  0-691-08017-8 . МР   0347778 . Збл   0236.12002 .