Инвариант Хассе алгебры
В математике инвариант Хассе алгебры — это инвариант, присоединенный к классу Брауэра алгебр над полем . Концепция названа в честь Гельмута Хассе . Инвариант играет роль в локальной теории полей классов .
Локальные поля [ править ]
Пусть K — локальное поле со нормировкой v и D — K -алгебра. Мы можем предположить, что D — тело с центром K степени n . Оценка v может быть расширена до D , например, путем совместимого расширения ее до каждого коммутативного подполя : группа значений этой оценки равна (1/ n ) Z. D [1]
Существует коммутативное подполе L в D которое неразветвлено над K и D расщепляется над L. , [2] Поле L но все такие расширения сопряжены по теореме Скулема–Нётер , которая далее показывает, что любой автоморфизм L индуцируется сопряжением в D. не уникально , Возьмем γ в D такой, что сопряжение с помощью γ индуцирует автоморфизм Фробениуса L / K , и пусть v (γ) = k / n . Тогда k / n модулю 1 является инвариантом Хассе D. по Это зависит только от класса Брауэра D . [3]
Таким образом, инвариант Хассе представляет собой отображение, определенное на группе Брауэра локального поля K, в делимую группу Q / Z . [3] [4] Каждый класс в группе Брауэра представлен классом в группе Брауэра неразветвленного расширения L / K степени n , [5] которую по теореме Грюнвальда–Ванга и теореме Альберта–Брауэра–Хассе–Нётер можно считать циклической алгеброй ( L ,φ,π к ) для некоторого k mod n , где φ — отображение Фробениуса , а π — униформизатор. [6] элемент k / n Инвариантное отображение присоединяет к классу mod 1. Это демонстрирует инвариантное отображение как гомоморфизм
Инвариантное отображение расширяется до Br( K ), представляя каждый класс некоторым элементом Br( L / K ), как указано выше. [3] [4]
Для неархимедова локального поля инвариантное отображение является групповым изоморфизмом . [3] [7]
В случае поля R действительных чисел существует два класса Брауэра, представленные алгеброй R и кватернионов алгеброй H. самой [8] Удобно приписать нулевой инвариант классу R , а инвариант 1/2 по модулю 1 — классу кватернионов.
В случае поля C комплексных чисел единственным классом Брауэра является тривиальный класс с нулевым инвариантом. [9]
Глобальные поля [ править ]
Для глобального поля K , учитывая центральную простую алгебру D над K, тогда для каждого нормирования v поля K мы можем рассмотреть расширение скаляров D v = D ⊗ K v. Расширение D v расщепляется для всех, кроме конечного числа v , так что локальный инвариант D v почти всегда равен нулю. Группа Брауэра Br( K ) укладывается в точную последовательность [8] [9]
где S — множество всех оценок K , а правая стрелка — сумма локальных инвариантов. Инъективность левой стрелки является содержанием теоремы Альберта-Брауэра-Хассе-Нётер . Точность в среднесрочной перспективе – это важный факт глобальной теории полей классов .
Ссылки [ править ]
- ^ Теплица (1967) стр.137
- ^ Серр (1967), стр. 130,138.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д Серр (1967) стр.138
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Лоренц (2008) стр.232
- ^ Лоренц (2008), стр. 225–226.
- ^ Лоренц (2008) стр.226
- ^ Лоренц (2008) стр.233
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Серр (1979) стр.163
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Гилле и Самуэли (2006) стр.159
- Гилле, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 101. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-86103-9 . Збл 1137.12001 .
- Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и дополнительные темы . Спрингер. стр. 231–238. ISBN 978-0-387-72487-4 . Збл 1130.12001 .
- Серр, Жан-Пьер (1967). «VI. Теория полей локальных классов». в Касселсе, JWS ; Фрелих, А. (ред.). Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза . Лондон: Академическая пресса. стр. 128–161. Збл 0153.07403 .
- Серр, Жан-Пьер (1979). Локальные поля . Тексты для аспирантов по математике . Том. 67. Перевод Гринберга, Марвин Джей . Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-90424-7 . Збл 0423.12016 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Шац, Стивен С. (1972). Проконечные группы, арифметика и геометрия . Анналы математических исследований. Том. 67. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-08017-8 . МР 0347778 . Збл 0236.12002 .