Теорема Альберта – Брауэра – Хассе – Нётер

В теории алгебраических чисел теорема Альберта -Брауэра-Хассе-Нётер утверждает, что центральная простая алгебра над полем алгебраических чисел K , которая распадается по каждому пополнению K _v, является матричной алгеброй над K . Теорема является примером локально-глобального принципа в теории алгебраических чисел . приводит к полному описанию конечномерных алгебр с делением над полями алгебраических чисел в терминах их локальных инвариантов . Это было независимо доказано Рихардом Брауэром , Гельмутом Хассе , Эмми Нётер и Авраамом Адрианом Альбертом .

Формулировка теоремы

Пусть A — центральная простая алгебра ранга d над полем алгебраических чисел K . Предположим, что для любого v A нормирования распадается по соответствующему локальному полю K _v :

A\otimes _{K}K_{v}\simeq M_{d}(K_{v}).

Тогда A изоморфна матричной алгебре M _d ( K ).

Приложения

Используя теорию группы Брауэра , можно показать, что две центральные простые алгебры A и B над полем алгебраических чисел K изоморфны над K тогда и только тогда, когда их пополнения A _v и B _v изоморфны над пополнением K _v для любого v .

Вместе с теоремой Грюнвальда-Ванга из теоремы Альберта-Брауэра-Хассе-Нётер следует, что каждая центральная простая алгебра над полем алгебраических чисел является циклической , т. е. может быть получена явной конструкцией из расширения циклического поля L / K .

См. также

Ссылки

Альберт, А.А .; Хассе, Х. (1932), «Определение всех алгебр с нормальным делением над полем алгебраических чисел», Trans. амер. Математика. Соц. , 34 (3): 722–726, doi : 10.1090/s0002-9947-1932-1501659-x , Збл 0005.05003
Брауэр, Р .; Хассе, Х. ; Нётер, Э. 1932), «Доказательство основной теоремы теории алгебр», pure Math . ( J.
Фенстер, Д.Д.; Швермер, Дж. (2005), «Деликатное сотрудничество: Адриан Альберт и Гельмут Хассе и основная теорема в алгебрах с делением», Архив истории точных наук , 59 (4): 349–379, doi : 10.1007/s00407-004- 0093-6
Пирс, Ричард (1982), Ассоциативные алгебры , Тексты для аспирантов по математике , вып. 88, Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag , ISBN. 0-387-90693-2 , Збл 0497.16001
Райнер И. (2003), Максимальные порядки , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, том. 28, Издательство Оксфордского университета , с. 276, ISBN 0-19-852673-3 , Збл 1024.16008
Рокетт, Питер (2005), «Теорема Брауэра-Хассе-Нётер в исторической перспективе» (PDF) , Труды класса математических и естественных наук Гейдельбергской академии наук , 15 , CiteSeerX 10.1.1.72.4101 , MR 2222818 , Збл 1060.01009 , получено 5 июля 2009 г. Пересмотренная версия — Рокетт, Питер (2013), Вклад в историю теории чисел в 20-м веке , Наследие европейской математики, Цюрих: Европейское математическое общество , стр. 1–76, ISBN 978-3-03719-113-2 , Збл 1276.11001
Альберт, Нэнси Э. (2005), «А. ³ и его алгебра, iUniverse, ISBN 978-0-595-32817-8

Примечания