Принцип Хассе
В математике , Гельмута Хассе , локально-глобальный принцип также известный как принцип Хассе , представляет собой идею о том, что можно найти целочисленное решение уравнения используя китайскую теорему об остатках для объединения решений по модулю степеней каждого отдельного простого числа . Это решается путем изучения уравнения в пополнениях рациональных чисел : действительных чисел и p -адических чисел . Более формальная версия принципа Хассе гласит, что некоторые типы уравнений имеют рациональное решение тогда и только тогда, когда они имеют решение в действительных числах и в p -адических числах для каждого простого числа p .
Интуиция [ править ]
Учитывая полиномиальное уравнение с рациональными коэффициентами, если оно имеет рациональное решение, то это также дает вещественное решение и p -адическое решение, поскольку рациональные числа встраиваются в действительные числа и p -адические числа: глобальное решение дает локальные решения для каждого простого числа. . Принцип Хассе спрашивает, когда можно сделать обратное, или, скорее, спрашивает, в чем состоит препятствие: когда вы можете объединить решения для действительных и p -адических чисел, чтобы получить решение для рациональных чисел: когда локальные решения могут быть объединены, чтобы сформировать глобальное решение?
Это можно задать для других колец или полей : например, целых чисел или числовых полей . Для числовых полей вместо вещественных чисел и p -адиков используются сложные вложения и -адики, для первичных идеалов .
Формы, представляющие 0 [ править ]
Квадратичные формы [ править ]
Теорема Хассе -Минковского утверждает, что локально-глобальный принцип справедлив для задачи представления 0 квадратичными формами над рациональными числами (что является ; результатом Минковского) и, в более общем смысле, над любым числовым полем (как доказал Хассе), когда используются все необходимые условия соответствующего локального поля . Теорема Хассе о циклических расширениях утверждает, что локально-глобальный принцип применим к условию относительной нормы для циклического расширения числовых полей.
Кубические формы [ править ]
Контрпример Эрнста С. Зельмера показывает, что теорема Хассе – Минковского не может быть распространена на формы степени 3: кубическое уравнение 3 x 3 + 4 года 3 + 5 з 3 = 0 имеет решение в действительных числах и во всех p-адических полях, но не имеет нетривиального решения, в котором x , y и z — рациональные числа. [1]
Роджер Хит-Браун показал [2] что каждая кубическая форма над целыми числами по крайней мере в 14 переменных представляет 0, что улучшает более ранние результаты Давенпорта . [3] Поскольку каждая кубическая форма над p-адическими числами с не менее чем десятью переменными представляет 0, [2] локально-глобальный принцип тривиально выполняется для кубических форм над рациональными числами по крайней мере от 14 переменных.
Ограничиваясь неособыми формами, можно добиться большего: Хит-Браун доказал, что каждая неособая кубическая форма над рациональными числами по крайней мере с 10 переменными представляет 0, [4] таким образом тривиально устанавливая принцип Хассе для этого класса форм. Известно, что результат Хита-Брауна является наилучшим в том смысле, что существуют неособые кубические формы над рациональными числами от 9 переменных, не представляющими ноль. [5] Однако Хули показал, что принцип Хассе справедлив для представления 0 неособыми кубическими формами над рациональными числами по крайней мере с девятью переменными. [6] Давенпорт, Хит-Браун и Хули использовали метод круга Харди – Литтлвуда в своих доказательствах . По идее Манина , препятствия к выполнению принципа Хассе для кубических форм могут быть связаны с теорией группы Брауэра ; это препятствие Брауэра-Манина , которое полностью объясняет несоблюдение принципа Хассе для некоторых классов разнообразия. Однако Скоробогатов показал, что препятствие Брауэра–Манина не может объяснить все недостатки принципа Хассе. [7]
Формы высшей степени [ править ]
Контрпримеры Фудзивары и Судо показывают, что теорема Хассе-Минковского не расширяется до форм степени 10 n + 5, где n — неотрицательное целое число. [8]
С другой стороны, теорема Берча показывает, что если d — любое нечетное натуральное число, то существует число N ( d ) такое, что любая форма степени d в более чем N ( d ) переменных представляет 0: принцип Хассе тривиально выполняется.
Теорема Альберта-Брауэра-Хассе-Нётер [ править ]
Теорема Альберта -Брауэра-Хассе-Нётер устанавливает локально-глобальный принцип расщепления центральной простой алгебры A над полем алгебраических чисел K . Он утверждает, что если A распадается по каждому пополнению K v, то оно изоморфно матричной алгебре над K .
Принцип Хассе алгебраических для групп
Принцип Хассе для алгебраических групп гласит, что если G — односвязная алгебраическая группа, определенная над глобальным полем k , то отображение
является инъективным, где произведение находится по всем позициям s числа k .
Принцип Хассе для ортогональных групп тесно связан с принципом Хассе для соответствующих квадратичных форм.
Кнезер (1966) и несколько других проверяли принцип Хассе, проводя доказательства в каждом конкретном случае для каждой группы. Последним случаем была группа Е 8 , которая была завершена Черноусовым (1989) лишь спустя много лет после остальных случаев.
Принцип Хассе для алгебраических групп использовался при доказательстве гипотезы Вейля для чисел Тамагавы и теоремы сильной аппроксимации .
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Эрнст С. Зельмер (1951). «Диофантово уравнение ax 3 + по 3 + Чешский 3 = 0" . Acta Mathematica . 85 : 203–362. doi : 10.1007/BF02395746 .
- ^ Перейти обратно: а б Д-р Хит-Браун (2007). «Кубические формы от 14 переменных». Изобретать. Математика . 170 (1): 199–230. Бибкод : 2007InMat.170..199H . дои : 10.1007/s00222-007-0062-1 . S2CID 16600794 .
- ^ Х. Давенпорт (1963). «Кубические формы от шестнадцати переменных». Труды Королевского общества А. 272 (1350): 285–303. Бибкод : 1963RSPSA.272..285D . дои : 10.1098/rspa.1963.0054 . S2CID 122443854 .
- ^ Д-р Хит-Браун (1983). «Кубические формы от десяти переменных». Труды Лондонского математического общества . 47 (2): 225–257. дои : 10.1112/plms/s3-47.2.225 .
- ^ Л. Дж. Морделл (1937). «Замечание о неопределенных уравнениях с несколькими переменными». Журнал Лондонского математического общества . 12 (2): 127–129. дои : 10.1112/jlms/s1-12.1.127 .
- ^ К. Хули (1988). «О ненарных кубических формах». Журнал чистой и прикладной математики . 386 :32–98.
- ^ Алексей Н. Скоробогатов (1999). «За препятствием Манин». Изобретать. Математика . 135 (2): 399–424. arXiv : alg-geom/9711006 . Бибкод : 1999InMat.135..399S . дои : 10.1007/s002220050291 . S2CID 14285244 .
- ^ М. Фудзивара ; М. Судо (1976). «Некоторые формы нечетной степени, для которых принцип Хассе не работает» . Тихоокеанский математический журнал . 67 (1): 161–169. дои : 10.2140/pjm.1976.67.161 .
Ссылки [ править ]
- Черноусов В.И. (1989), "Принцип Хассе для групп типа Е8", Сов. матем. Докл. , 39 : 592–596, МР 1014762
- Кнезер, Мартин (1966), «Принцип Хассе для H¹ односвязных групп», Алгебраические группы и разрывные подгруппы (Proc. Sympos. Pure Math., Боулдер, Колорадо, 1965) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 159–163, МР 0220736
- Серж Ланг (1997). Обзор диофантовой геометрии . Спрингер-Верлаг . стр. 100-1 250 –258. ISBN 3-540-61223-8 .
- Алексей Скоробогатов (2001). Торсоры и рациональные точки . Кембриджские трактаты по математике. Том. 144. Кембридж: Кембриджский университет. Нажимать. стр. 1–7, 112 . ISBN 0-521-80237-7 .
Внешние ссылки [ править ]
- «Принцип Хассе» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Статья PlanetMath. Архивировано 13 марта 2004 г. в Wayback Machine.
- Суиннертон-Дайер, Диофантовы уравнения: прогресс и проблемы , онлайн-заметки
- Дж. Франклин, Глобальное и локальное , Mathematical Intelligencer 36 (4) (декабрь 2014 г.), 4–9.