Приближение в алгебраических группах

В теории алгебраических групп аппроксимационные теоремы являются расширением китайской теоремы об остатках на алгебраические группы G над глобальными полями k .

История

Эйхлер (1938) доказал сильную аппроксимацию для некоторых классических групп.Сильная аппроксимация была установлена в 1960-х и 1970-х годах для полупростых односвязных алгебраических групп над глобальными полями . Результаты для числовых полей принадлежат Кнезеру ( 1966 ) и Платонову ( 1969 ); случай функционального поля над конечными полями принадлежит Маргулису ( 1977 ) и Прасаду ( 1977 ). В случае числового поля Платонов также доказал родственный результат о локальных полях, называемый гипотезой Кнезера – Титса .

Формальные определения и свойства

Пусть G — линейная алгебраическая группа над глобальным полем k , а A — кольцо аделей поля k . Если S — непустое конечное множество мест из k , то мы пишем A ^С для кольца S -аделей и A _S для произведения пополнений k _s , для s в конечном множестве S . При любом выборе G S ( k ) вкладывается в G ( AS ₎ и G ( A ^С).

Вопрос, задаваемый в слабом имеет ли вложение G ( k ) в G ( AS _{приближении, заключается в том ,} ) плотный образ. Если группа G связна и k -рациональна, то она удовлетворяет слабой аппроксимации относительно любого множества S ( Платонов и Рапинчук 1994 , с.402). В более общем смысле, для любой связной группы G существует конечное множество T конечных точек k такое, что G удовлетворяет слабой аппроксимации относительно любого множества S , которое не пересекается с T ( Платонов и Рапинчук 1994 , стр.415). В частности, если k — поле алгебраических чисел, то любая связная группа G удовлетворяет слабой аппроксимации относительно множества S = S _∞ бесконечных мест.

Вопрос, который задается в сильном приближении, заключается в том, будет ли вложение G ( k ) в G ( A ^С) имеет плотный образ, или, что то же самое, множество

г ( k ) г ( А _S )

— плотное подмножество в G ( A ). Основная теорема сильной аппроксимации ( Кнезер 1966 что неразрешимая линейная алгебраическая группа G над глобальным полем k имеет сильную аппроксимацию для конечного множества S тогда и только тогда, когда ее радикал N унипотентен , , стр.188) утверждает , G / N односвязен, и каждая почти простая компонента H группы G / N имеет некомпактную компоненту H _s для некоторого s из S (зависящего от H ).

Доказательства сильной аппроксимации основывались на Хассе для алгебраических групп, который для групп типа Е8 _{принципе} был доказан лишь несколько лет спустя.

Слабая аппроксимация справедлива для более широкого класса групп, включая присоединенные группы и внутренние формы групп Шевалле , показывая, что свойство сильной аппроксимации является ограничительным.

См. также

Сверхсильное приближение

Ссылки

Эйхлер, Мартин (1938), «Деления классов общего сравнения идеалов простых алгебр над полями алгебраических чисел и их L-рядами». , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 179 : 227–251, doi : 10.1515/crll.1938.179.227 , ISSN 0075-4102.
Кнезер, Мартин (1966), «Сильное приближение», Алгебраические группы и разрывные подгруппы (Proc. Sympos. Pure Math., Боулдер, Колорадо, 1965) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 187–196, MR 0213361
Маргулис Г. А. (1977), "Коограниченные подгруппы в алгебраических группах над локальными полями", Академия наук СССР. Функциональный анализ и его приложения , 11 (2): 45–57, 95, ISSN 0374-1990 , MR 0442107
Platonov, V. P. (1969), "The problem of strong approximation and the Kneser–Tits hypothesis for algebraic groups", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 33 : 1211–1219, ISSN 0373-2436 , MR 0258839
Платонов Владимир; Рапинчук, Андрей (1994), Алгебраические группы и теория чисел. (Перевод с русского оригинала 1991 года Рэйчел Роуэн.) , Чистая и прикладная математика, т. 1, с. 139, Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc., ISBN. 0-12-558180-7 , МР 1278263
Прасад, Гопал (1977), «Сильная аппроксимация для полупростых групп над функциональными полями», Annals of Mathematics , Second Series, 105 (3): 553–572, doi : 10.2307/1970924 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970924 , МР 0444571