Jump to content

Приближение в алгебраических группах

В теории алгебраических групп аппроксимационные теоремы являются расширением китайской теоремы об остатках на алгебраические группы G над глобальными полями k .

Эйхлер (1938) доказал сильную аппроксимацию для некоторых классических групп.Сильная аппроксимация была установлена ​​в 1960-х и 1970-х годах для полупростых односвязных алгебраических групп над глобальными полями . Результаты для числовых полей принадлежат Кнезеру ( 1966 ) и Платонову ( 1969 ); случай функционального поля над конечными полями принадлежит Маргулису ( 1977 ) и Прасаду ( 1977 ). В случае числового поля Платонов также доказал родственный результат о локальных полях, называемый гипотезой Кнезера – Титса .

Формальные определения и свойства

[ редактировать ]

Пусть G — линейная алгебраическая группа над глобальным полем k , а A — кольцо аделей поля k . Если S — непустое конечное множество мест из k , то мы пишем A С для кольца S -аделей и A S для произведения пополнений k s , для s в конечном множестве S . При любом выборе G S ( k ) вкладывается в G ( AS ) и G ( A С ).

Вопрос, задаваемый в слабом имеет ли вложение G ( k ) в G ( AS приближении, заключается в том , ) плотный образ. Если группа G связна и k -рациональна, то она удовлетворяет слабой аппроксимации относительно любого множества S ( Платонов и Рапинчук 1994 , с.402). В более общем смысле, для любой связной группы G существует конечное множество T конечных точек k такое, что G удовлетворяет слабой аппроксимации относительно любого множества S , которое не пересекается с T ( Платонов и Рапинчук 1994 , стр.415). В частности, если k — поле алгебраических чисел, то любая связная группа G удовлетворяет слабой аппроксимации относительно множества S = S бесконечных мест.

Вопрос, задаваемый в сильном приближении, состоит в том, будет ли вложение G ( k ) в G ( A С ) имеет плотный образ, или, что то же самое, множество

G ( k ) G ( A S

плотное подмножество в G ( A ). Основная теорема сильной аппроксимации ( Кнезер 1966 что неразрешимая линейная алгебраическая группа G над глобальным полем k имеет сильную аппроксимацию для конечного множества S тогда и только тогда, когда ее радикал N унипотентен , , стр.188) утверждает , G / N односвязен, и каждая почти простая компонента H группы G / N имеет некомпактную компоненту H s для некоторого s из S (зависящего от H ).

Доказательства сильной аппроксимации основывались на Хассе для алгебраических групп, который для групп типа Е8 принципе был доказан лишь несколько лет спустя.

Слабая аппроксимация справедлива для более широкого класса групп, включая присоединенные группы и внутренние формы групп Шевалле , показывая, что свойство сильной аппроксимации является ограничительным.

См. также

[ редактировать ]
  • Эйхлер, Мартин (1938), «Деления классов общего сравнения идеалов простых алгебр над полями алгебраических чисел и их L-рядами». , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 179 : 227–251, doi : 10.1515/crll.1938.179.227 , ISSN   0075-4102.
  • Кнезер, Мартин (1966), «Сильное приближение», Алгебраические группы и разрывные подгруппы (Proc. Sympos. Pure Math., Боулдер, Колорадо, 1965) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 187–196, MR   0213361
  • Маргулис Г.А. (1977), “Коограниченные подгруппы в алгебраических группах над локальными полями”, Академия наук СССР. Функциональный анализ и его приложения , 11 (2): 45–57, 95, ISSN   0374-1990 , МР   0442107
  • Platonov, V. P. (1969), "The problem of strong approximation and the Kneser–Tits hypothesis for algebraic groups", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 33 : 1211–1219, ISSN  0373-2436 , MR  0258839
  • Платонов Владимир; Рапинчук, Андрей (1994), Алгебраические группы и теория чисел. (Перевод с русского оригинала 1991 года Рэйчел Роуэн.) , Чистая и прикладная математика, т. 1, с. 139, Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc., ISBN.  0-12-558180-7 , МР   1278263
  • Прасад, Гопал (1977), «Сильная аппроксимация для полупростых групп над функциональными полями», Annals of Mathematics , Second Series, 105 (3): 553–572, doi : 10.2307/1970924 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970924 , МР   0444571
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 76a43703fd0b7169838ea9b59183d643__1678691820
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/76/43/76a43703fd0b7169838ea9b59183d643.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Approximation in algebraic groups - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)