Внутренняя форма

В математике — внутренняя форма алгебраической группы. $G$ над полем $K$ это еще одна алгебраическая группа $H$ такой, что существует изоморфизм $\phi$ между $G$ и $H$ определено более ${\overline {K}}$ (это означает, что $H$ это $K$-форма ​ $G$) и, кроме того, для любого автоморфизма Галуа $\sigma \in \mathrm {Gal} ({\overline {K}}/K)$ автоморфизм $\phi ^{-1}\circ \phi ^{\sigma }$ является внутренним автоморфизмом $G({\overline {K}})$ (т.е. сопряжение элементом $G({\overline {K}})$).

Благодаря переписке между $K$-формы и когомологии Галуа $H^{1}(\mathrm {Gal} ({\overline {K}}/K),\mathrm {Aut} (G))$ это означает, что $H$ связан с элементом подмножества $H^{1}(\mathrm {Gal} ({\overline {K}}/K),\mathrm {Inn} (G))$ где $\mathrm {Inn} (G)$ является подгруппой внутренних автоморфизмов $G$.

Быть внутренними формами друг друга — это отношение эквивалентности на множестве $K$-формы данной алгебраической группы.

Форма, которая не является внутренней, называется внешней формой . На практике, чтобы проверить, является ли группа внутренней или внешней формой, нужно посмотреть на действие группы Галуа. $\mathrm {Gal} ({\overline {K}}/K)$ на Дынкина диаграмме $G$ (вызванный его действием на $G({\overline {K}})$, сохраняющее любой тор и, следовательно, действующее на корни). Две группы являются внутренними формами друг друга тогда и только тогда, когда действия, которые они определяют, одинаковы.

Например, $\mathbb {R}$-формы $\mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )$ являются собой и унитарными группами $\mathrm {SU} (2,1)$ и $\mathrm {SU} (3)$. Последние два являются внешними формами $\mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )$, и они являются внутренними формами друг друга.

Ссылки

• Титс, Жак (1966), «Классификация алгебраических полупростых групп», у Бореля, Армана ; Мостоу, Джордж Д. (ред.), Алгебраические группы и разрывные подгруппы (Proc. Sympos. Pure Math., Боулдер, Колорадо, 1965) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 33–62, ISBN  978-0-8218-1409-3 , МР   0224710