Сверхсильное приближение
Сверхсильная аппроксимация — это обобщение сильной аппроксимации в алгебраических группах G , позволяющее получить результаты о спектральных пробелах . Спектр, о котором идет речь, представляет собой спектр матрицы Лапласа, связанной с семейством частных дискретной группы Γ; и разрыв - это разрыв между первым и вторым собственными значениями (нормировка так, чтобы первое собственное значение соответствовало постоянным функциям как собственным векторам). Здесь Г — подгруппа рациональных точек группы G , но не обязательно должна быть решеткой : это может быть так называемая тонкая группа . Рассматриваемый «разрыв» представляет собой нижнюю границу (абсолютную константу) разности этих собственных значений.
Следствием и эквивалентом этого свойства, потенциально справедливого для плотных по Зарисскому подгрупп Γ специальной линейной группы над целыми числами и в более общих классах алгебраических групп G , является то, что последовательность графов Кэли для редукций Γ p по модулю простых чисел p , относительно любого фиксированного множества S в Γ, которое является симметричным множеством и порождающим набором , является семейством расширителей . [1]
В этом контексте «сильная аппроксимация» - это утверждение, что S при сокращении генерирует полную группу точек G над простыми полями с p элементами, когда p достаточно велико. Это эквивалентно связности графов Кэли (когда p достаточно велико) или тому, что локально постоянные функции на этих графах постоянны, так что собственное пространство для первого собственного значения является одномерным. Таким образом, сверхсильное приближение является конкретным количественным улучшением этих утверждений.
Фон
[ редактировать ]Свойство является аналогом свойства Каждана (T) в дискретной теории групп и был введен Александром Любоцким . [2] Для данного семейства нормальных подгрупп N конечного индекса в Γ одна эквивалентная формулировка состоит в том, что графы Кэли групп Γ/ N , все относительно фиксированного симметричного набора образующих S , образуют семейство расширителей. [3] Поэтому сверхсильное приближение является формулировкой свойства , где подгруппы N являются ядрами редукции по модулю достаточно больших простых чисел p .
Гипотеза Любоцкого-Вейсса утверждает (для специальных линейных групп и приведения простых чисел), что результат разложения такого типа верен независимо от выбора S . Для приложений также важно иметь результаты, в которых модуль не ограничивается простым числом. [4]
Доказательства сверхсильного приближения
[ редактировать ]Результаты по сверхсильной аппроксимации были получены с использованием методов приближенных подгрупп и скорости роста в конечных простых группах. [5]
Примечания
[ редактировать ]- ^ ( Брёйяр и О, 2014 , страницы x, 343)
- ^ Любоцкий, Алекс (2005). «Что такое... собственность ?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 52 (6): 626–627. MR 2147485 .
- ^ Александр Любоцкий (1 января 1994 г.). Дискретные группы, расширяющиеся графы и инвариантные меры . Спрингер. п. 49. ИСБН 978-3-7643-5075-8 .
- ^ ( Брёйяр и О, 2014 , страницы 3-4)
- ^ ( Брёйяр и О, 2014 , стр. xi)
Ссылки
[ редактировать ]- Брейяр, Эммануэль; О, Хи, ред. (2014). Тонкие группы и сверхсильное приближение . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-03685-7 .
- Мэтьюз, ЧР; Васерштейн, Л.Н.; Вайсфейлер, Б. (1984). «Конгруэнтные свойства плотных по Зарисскому подгрупп. I.». Учеб. Лондонская математика. Соц . Серия 3. 48 (3): 514–532. дои : 10.1112/plms/s3-48.3.514 . МР 0735226 .