Темп роста (теория групп)

В математическом предмете геометрической теории групп скорость роста группы описывает , по отношению к симметричному порождающему набору насколько быстро растет группа. Каждый элемент в группе можно записать как произведение образующих, а скорость роста подсчитывает количество элементов, которые можно записать как произведение длины n .

Определение

Предположим, что G — конечно порожденная группа; и T — конечный симметричный набор образующих (симметричный означает, что если $x\in T$ затем $x^{-1}\in T$).Любой элемент $x\in G$ может быть выражено словом в Т - алфавите

$x=a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{k}{\text{ where }}a_{i}\in T.$

Рассмотрим подмножество всех элементов G , которое можно выразить таким словом длины ≤ n

$B_{n}(G,T)=\{x\in G\mid x=a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{k}{\text{ where }}a_{i}\in T{\text{ and }}k\leq n\}.$

Этот набор представляет собой просто замкнутый шар радиуса n в словесной метрике d на G относительно порождающего набора T :

$B_{n}(G,T)=\{x\in G\mid d(x,e)\leq n\}.$

Более геометрически, $B_{n}(G,T)$ - это набор вершин графа Кэли относительно T , которые находятся на расстоянии n от единицы.

Учитывая две неубывающие положительные функции a и b, можно сказать, что они эквивалентны ( $a\sim b$), если существует константа C такая, что для всех натуральных чисел n ,

$a(n/C)\leq b(n)\leq a(Cn),\,$

например $p^{n}\sim q^{n}$ если $p,q>1$.

Тогда скорость роста группы G можно определить как соответствующий класс эквивалентности функции

$\#(n)=|B_{n}(G,T)|,$

где $|B_{n}(G,T)|$ обозначает количество элементов в наборе $B_{n}(G,T)$. Хотя функция $\#(n)$ зависит от набора образующих T, ее скорость роста не зависит (см. ниже), и поэтому скорость роста дает инвариант группы.

Слово метрика d и, следовательно, множества $B_{n}(G,T)$ зависят от генераторного набора T . Однако любые две такие метрики билипшицевы эквивалентны в следующем смысле: для конечных симметричных порождающих множеств E , F существует положительная константа C такая, что

${1 \over C}\ d_{F}(x,y)\leq d_{E}(x,y)\leq C\ d_{F}(x,y).$

Как непосредственное следствие этого неравенства мы получаем, что темпы роста не зависят от выбора генераторной установки.

и

Если

$\#(n)\leq C(n^{k}+1)$

для некоторых $C,k<\infty$ мы говорим, что G имеет полиномиальную скорость роста .Инфимум $k_{0}$ таких k называется порядком полиномиального роста .По теореме Громова группа полиномиального роста является практически нильпотентной группой , т. е. имеет нильпотентную подгруппу конечного индекса . В частности, порядок полиномиального роста $k_{0}$ должно быть натуральным числом и фактически $\#(n)\sim n^{k_{0}}$.

Если $\#(n)\geq a^{n}$ для некоторых $a>1$ мы говорим, что G имеет роста экспоненциальную скорость .Любая конечно порожденная группа G имеет не более чем экспоненциальный рост, т.е. для некоторого $b>1$ у нас есть $\#(n)\leq b^{n}$.

Если $\#(n)$ растет медленнее, чем любая экспоненциальная функция , G имеет субэкспоненциальную скорость роста . Любая такая группа является приемлемой .

Примеры

• Свободная группа конечного ранга $k>1$ имеет экспоненциальный темп роста.
• Конечная группа рост, то есть полиномиальный рост порядка 0, и сюда входят фундаментальные группы многообразий , которых универсальное покрытие компактно . имеет постоянный
• Если M — замкнутое отрицательной кривизны риманово многообразие , то его фундаментальная группа $\pi _{1}(M)$ имеет экспоненциальный темп роста. Джон Милнор доказал это, используя тот факт, что слово метрика на $\pi _{1}(M)$ квазиизометрично ​ универсальному накрытию M ​ .
• Свободная абелева группа $\mathbb {Z} ^{d}$ имеет полиномиальную скорость роста порядка d .
• Дискретная группа Гейзенберга $H_{3}$ имеет полиномиальную скорость роста порядка 4. Этот факт является частным случаем общей теоремы Хаймана Басса и Ива Гиварха , которая обсуждается в статье о теореме Громова .
• Группа фонарщиков растет в геометрической прогрессии.
• Существование групп с промежуточным ростом , т.е. субэкспоненциальным, а не полиномиальным, было открыто в течение многих лет. Вопрос был задан Милнором в 1968 году, и наконец, на него положительно ответил Ростислав Григорчук в 1984 году. В этой области до сих пор остаются открытые вопросы, и полная картина того, какие порядки роста возможны, а какие нет, отсутствует.
• Группы треугольников включают в себя бесконечное множество конечных групп (сферические, соответствующие сфере), три группы квадратичного роста (евклидовы, соответствующие евклидовой плоскости) и бесконечное множество групп экспоненциального роста (гиперболические, соответствующие гиперболической плоскости). самолет).

См. также

• Связи с изопериметрическими неравенствами

Ссылки

• Милнор Дж. (1968). «Заметка о кривизне и фундаментальной группе» . Журнал дифференциальной геометрии . 2 : 1–7. дои : 10.4310/jdg/1214501132 .
• Григорчук Р.И. (1984). «Степени роста конечно порожденных групп и теория инвариантных средних». Изв. Акад. Наук СССР сер. Мат. (на русском языке). 48 (5): 939–985.

Дальнейшее чтение

• Ростислав Григорчук и Игорь Пак (2006). «Группы среднего роста: введение для начинающих». arXiv : math.GR/0607384 .