Практически
В математике , особенно в области абстрактной алгебры , изучающей бесконечные группы , наречие фактически используется для изменения свойства так, что оно должно выполняться только для подгруппы с конечным индексом . Учитывая свойство P, группа G называется виртуально P, если существует подгруппа конечного индекса. такой, что H обладает свойством P.
Обычно это используется в случаях, когда P абелева , нильпотентна , разрешима или свободна . Например, виртуально разрешимые группы являются одной из двух альтернатив в альтернативе Титса , в то время как теорема Громова утверждает, что конечно порожденные группы с полиномиальным ростом являются в точности конечно порожденными практически нильпотентными группами.
Эта терминология также используется, когда P — это просто еще одна группа. То есть, если G и H — группы, то практически H является , если G имеет подгруппу K конечного индекса в G такую, K изоморфна что H G .
В частности, группа практически тривиальна тогда и только тогда, когда она конечна. Две группы практически равны тогда и только тогда, когда они соизмеримы .
Примеры
[ редактировать ]Практически абелева
[ редактировать ]Следующие группы практически абелевы.
- Любая абелева группа.
- Любой полупрямой продукт где N абелева, а H конечна. (Например, любая обобщенная группа диэдра .)
- Любой полупрямой продукт где N конечно, а H абелева.
- Любая конечная группа (поскольку тривиальная подгруппа абелева).
Практически нильпотентный
[ редактировать ]- Любая группа практически абелева.
- Любая нильпотентная группа.
- Любой полупрямой продукт где N нильпотентен, а H конечен.
- Любой полупрямой продукт где N конечно, а H нильпотентно.
Теорема Громова утверждает, что конечно порожденная группа практически нильпотентна тогда и только тогда, когда она имеет полиномиальный рост.
Практически полициклический
[ редактировать ]Практически бесплатно
[ редактировать ]- Любая бесплатная группа .
- Любая практически циклическая группа.
- Любой полупрямой продукт где N свободен, а H конечен.
- Любой полупрямой продукт где N конечно, а H свободно.
- Любой бесплатный продукт , где H и K конечны. (Например, модульная группа .)
следует Из теоремы Столлинга , что любая виртуально свободная группа без кручения свободна.
Другие
[ редактировать ]Бесплатная группа на 2 генераторах практически для любого как следствие теоремы Нильсена-Шрайера и формулы индекса Шрайера .
Группа виртуально связан как имеет индекс 2.
Ссылки
[ редактировать ]- Шнебели, Ганс Рудольф (1978). «О виртуальных свойствах и расширениях групп». Математический журнал . 159 : 159–167. дои : 10.1007/bf01214488 . Збл 0358.20048 .