Обобщенная группа диэдра

В математике обобщенные группы диэдра — это семейство групп с алгебраической структурой, аналогичной структуре групп диэдра . К ним относятся конечные группы диэдра, бесконечная группа диэдра и ортогональная группа O (2). Группы диэдра играют важную роль в теории групп , геометрии и химии .

Определение

Для любой абелевой группы H обозначаемая обобщенная группа диэдра H , Dih( H ), является полупрямым произведением H и Z ₂ , причем Z ₂ действует на H путем инвертирования элементов. Т.е., $\mathrm {Dih} (H)=H\rtimes _{\phi }Z_{2}$ где φ(0) — тождество, а φ(1) — инверсия.

Таким образом мы получаем:

( час ₁ , 0) * ( час ₂ , т ₂ ) знак равно ( час ₁ + час ₂ , т ₂ )

( час ₁ , 1) * ( час ₂ , т ₂ ) знак равно ( час ₁ - час ₂ , 1 + т ₂ )

для всех h ₁ , h ₂ в H и t ₂ в Z ₂ .

(Записывая Z ₂ мультипликативно, мы имеем ( h ₁ , t ₁ ) * ( h ₂ , t ₂ ) = ( h ₁ + t ₁ h ₂ , t ₁ t ₂ ) .)

Обратите внимание, что ( h , 0) * (0,1) = ( h ,1), т.е. сначала инверсия, а затем операция в H . Также (0, 1) * ( час , т ) = (- час , 1 + т ); действительно (0,1) инвертирует h и переключает t между «нормальным» (0) и «инвертированным» (1) (эта комбинированная операция является обратной).

Подгруппа Dih( H ) элементов ( h , 0) является нормальной подгруппой индекса 2 , изоморфной H , а все элементы ( h , 1) являются своими обратными.

Классы сопряжения :

множества {( h ,0 ), (− h ,0 )}
множества {( h + k + k , 1) | k в H }

Таким образом, для каждой подгруппы M группы H соответствующий набор элементов ( m ,0) также является нормальной подгруппой. У нас есть:

Дыхание( Ч ) / М = Дыхание ( Ч / М )

Примеры

Dih _n = Dih( Z _n ) ( группы диэдра )
- Для четного n существует два множества {( h + k + k , 1) | k в H }, и каждая порождает нормальную подгруппу типа Dih _{n/ 2} . Как подгруппы группы изометрии множества вершин правильного n -угольника они различны: все отражения в одной подгруппе имеют две неподвижные точки, а в другой подгруппе их нет (повороты обоих одинаковы). Однако они изоморфны как абстрактные группы.
- Для нечетного n существует только один набор {( h + k + k , 1) | k в H }
Dih _∞ = Dih( Z ) ( бесконечная группа диэдра ); существует два множества {( h + k + k , 1) | k в H }, и каждая порождает нормальную подгруппу типа Dih _∞ . Как подгруппы группы изометрии Z, они различны: все отражения в одной подгруппе имеют фиксированную точку, зеркала находятся в целых числах, а в другой подгруппе нет, зеркала находятся между ними (переносы обоих - это то же: по четным числам). Однако они изоморфны как абстрактные группы.
Дыхание (С ¹), или ортогональная группа O(2, R ), или O(2): группа изометрий круга или , что то же самое, группа изометрий в 2D, которые сохраняют начало координат фиксированным. Вращения образуют группу кругов S ¹или, что эквивалентно, SO(2, R ), также пишется SO(2) и R / Z ; это также мультипликативная группа комплексных чисел с абсолютным значением 1. В последнем случае одним из отражений (порождающим другие) является комплексное сопряжение . Собственных нормальных подгрупп с отражениями не существует. Дискретные нормальные подгруппы являются циклическими группами порядка n для всех натуральных чисел n . Факторгруппы изоморфны одной и той же группе Dih(S ¹).
Дыхание ( Р ^н ): группа изометрий R ^н состоящий из всех переводов и инверсий во всех точках; для n = 1 это евклидова группа E(1) ; при n > 1 группа Dih( R ^н ) является собственной подгруппой E( n ), т. е. не содержит всех изометрий.
H может быть любой подгруппой R ^н, например, дискретная подгруппа; в этом случае, если она простирается в n направлениях, это решетка .
- Дискретные подгруппы Dih( R ² ), содержащие переводы в одном направлении, относятся к фризовой группы. типу $\infty \infty$ и 22 $\infty$ .
- Дискретные подгруппы Dih( R ² ), которые содержат переводы в двух направлениях, относятся к группе обоев типа p1 и p2.
- Дискретные подгруппы Dih( R ³ содержащие трансляции в трех направлениях, являются пространственными группами триклинной ) , кристаллической системы .

Характеристики

Dih( H ) абелева, причем полупрямое произведение является прямым произведением тогда и только тогда, когда все элементы H являются своими обратными, т. е. элементарной абелевой 2-группой :

Дыхание( Z ₁ ) = Дыхание ₁ = Z ₂
Dih( Z ₂ ) = Dih ₂ = Z ₂ × Z ₂ ( четверка Клейна )
Дыхание(Дыхание ₂ ) = Дыхание ₂ × Z ₂ = Z ₂ × Z ₂ × Z ₂

и т. д.

Топология

Дыхание ( Р ^н ) и ее диэдральные подгруппы являются несвязными топологическими группами . Дих( р ^н ) состоит из двух связности компонент : единичной компоненты , изоморфной R ^н, и компонент с отражениями. Аналогично O(2) состоит из двух связных компонентов: единичного компонента, изоморфного группе окружностей, и компонента с отражениями.

Для группы Dih _∞ можно выделить два случая:

Dih _∞ как группа изометрий Z
Dih _∞ как двумерная группа изометрий, порожденная вращением на иррациональное количество оборотов, и отражением

Обе топологические группы полностью несвязны , но в первом случае (одноэлементные) компоненты открыты, а во втором — нет. Кроме того, первая топологическая группа является замкнутой подгруппой Dih( R ), а вторая не является замкнутой подгруппой O(2).

Ссылки