Элементарная абелева группа

В математике , особенно в теории групп , элементарная абелева группа — это абелева группа , в которой все элементы, кроме единицы, имеют одинаковый порядок. Этот общий порядок должен быть простым числом , а элементарные абелевы группы, в которых общий порядок равен p, представляют собой особый вид p -группы . ^[1]^[2] Группу, для которой p = 2 (т. е. элементарную абелеву 2-группу), иногда называют булевой группой . ^[3]

Каждая элементарная абелева p -группа является векторным пространством над простым полем с p элементами, и наоборот, каждое такое векторное пространство является элементарной абелевой группой.В силу классификации конечно порожденных абелевых групп или в силу того факта, что каждое векторное пространство имеет базис , каждая конечная элементарная абелева группа должна иметь вид ( Z / p Z ) ^н для n — неотрицательное целое число (иногда называемое рангом группы ). Здесь Z / p Z обозначает циклическую группу порядка p (или, что то же самое, целые числа по модулю p ), а обозначение верхнего индекса означает n -кратное прямое произведение групп . ^[2]

В общем случае (возможно, бесконечная) элементарная абелева p -группа является прямой суммой циклических групп порядка p . ^[4] (Обратите внимание, что в конечном случае прямое произведение и прямая сумма совпадают, но в бесконечном случае это не так.)

Примеры и свойства

Элементарная абелева группа ( Z /2 Z ) ² имеет четыре элемента: {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} . Сложение производится покомпонентно, принимая результат по модулю 2. Например, (1,0) + (1,1) = (0,1) . Фактически это четверка Клейна .
В группе, порожденной симметричной разностью на (не обязательно конечном) множестве, каждый элемент имеет порядок 2. Любая такая группа обязательно абелева, поскольку, поскольку каждый элемент является обратным самому себе, xy = ( xy ) ⁻¹ = и ⁻¹х ⁻¹ = ух . Такая группа (также называемая булевой группой) обобщает пример четырех групп Клейна на произвольное количество компонентов.
( З / п З ) ^н генерируется n элементами, а n — наименьшее возможное количество генераторов. В частности, набор { e ₁ , ..., } _en , где ei _{-м компоненте и} имеет 1 в i 0 в остальных местах, является минимальным порождающим набором.
Каждая конечная элементарная абелева группа имеет достаточно простое конечное представление .

(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{n}\cong \langle e_{1},\ldots ,e_{n}\mid e_{i}^{p}=1,\ e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}\rangle

Структура векторного пространства

Предположим , V $\cong$ ( З / п З ) ^н — конечная элементарная абелева группа. Поскольку Z / p Z $\cong$ F _p , конечное поле из p элементов, имеем V = ( Z / p Z ) ^н $\cong$ Ф _п^н, следовательно, V можно рассматривать как n -мерное векторное пространство над полем F _p . Заметим, что элементарная абелева группа, вообще говоря, не имеет выделенного базиса: выбор изоморфизма V ${\overset {\cong }{\to }}$ ( З / п З ) ^н соответствует выбору базиса.

Внимательному читателю может показаться, что F _p^н имеет больше структуры, чем группа V , в частности, что она имеет скалярное умножение в дополнение к сложению (вектор/группа). Однако V как абелева группа имеет уникальную структуру Z - модуля , где действие Z соответствует повторному сложению, и эта структура Z -модуля согласуется со скалярным умножением F _p . То есть c ⋅ g = g + g + ... + g ( c раз), где c в F _p (рассматриваемый как целое число с 0 ≤ c < p ) дает V естественную структуру F _p -модуля.

Группа автоморфизмов

Поскольку конечномерное векторное пространство V имеет базис { e ₁ , ..., e _n }, как описано в примерах, если мы возьмем { v ₁ , ..., v _n } как любые n элементов V , тогда с помощью линейной алгебры что отображение T ( e _i ) = vi _{мы получаем ,} однозначно продолжается до линейного преобразования V . Каждый такой T можно рассматривать как групповой гомоморфизм из V в V ( эндоморфизм ), а также любой эндоморфизм V можно рассматривать как линейное преобразование V как векторного пространства.

Если мы ограничим наше внимание автоморфизмами V , мы имеем Aut( V ) = { T : V → V | ker T = 0 } = GL _n ( F _p ), общая линейная группа обратимых матриц размера n × n на F _p .

Группа автоморфизмов GL( V ) = GL _n ( F _p ) действует транзитивно на V \ {0} (как это верно для любого векторного пространства). Фактически это характеризует элементарные абелевы группы среди всех конечных групп: если G — конечная группа с единицей e такая, что Aut( G ) действует транзитивно на G \ {e} , то G элементарна абелева. (Доказательство: если Aut( G ) действует транзитивно на G\{e} , то все неединичные элементы группы G имеют одинаковый (обязательно простой) порядок. Тогда G является p -группой. Отсюда следует, что G имеет нетривиальный центр , который обязательно инвариантен относительно всех автоморфизмов и, таким образом, равен всему G .)

Обобщение на высшие порядки

Также может представлять интерес выйти за рамки компонентов простого порядка и перейти к порядку простой степени. Предположим, что элементарная абелева группа G имеет тип ( p , p ,..., p ) для некоторого простого числа p . Гомоциклическая группа ^[5] (ранга n ) является абелевой группой типа ( m , m ,..., m ), т.е. прямым произведением n изоморфных циклических групп порядка m , из которых группы типа ( p ^к, п ^к,..., п ^к) являются частным случаем.

Связанные группы

Дополнительные специальные группы являются расширениями элементарных абелевых групп с помощью циклической группы порядка p и аналогичны группе Гейзенберга .

См. также

Ссылки

^ Ханс Дж. Зассенхаус (1999) [1958]. Теория групп . Курьерская корпорация. п. 142. ИСБН 978-0-486-16568-4 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ОН Роуз (2009). Курс конечных групп . Springer Science & Business Media. п. 88. ИСБН 978-1-84882-889-6 .
^ Стивен Гивант; Пол Халмос (2009). Введение в булеву алгебру . Springer Science & Business Media. п. 6. ISBN 978-0-387-40293-2 .
^ Л. Фукс (1970). Бесконечные абелевы группы. Том I. Академическая пресса. п. 43. ИСБН 978-0-08-087348-0 .
^ Горенштейн, Дэниел (1968). «1,2». Конечные группы . Нью-Йорк: Харпер и Роу. п. 8. ISBN 0-8218-4342-7 .

[Zassenhaus-1] Ханс Дж. Зассенхаус (1999) [1958]. Теория групп . Курьерская корпорация. п. 142. ИСБН 978-0-486-16568-4 .

[Rose2009-2] Перейти обратно: ^а ^б ОН Роуз (2009). Курс конечных групп . Springer Science & Business Media. п. 88. ИСБН 978-1-84882-889-6 .

[GivantHalmos2009-3] Стивен Гивант; Пол Халмос (2009). Введение в булеву алгебру . Springer Science & Business Media. п. 6. ISBN 978-0-387-40293-2 .

[4] Л. Фукс (1970). Бесконечные абелевы группы. Том I. Академическая пресса. п. 43. ИСБН 978-0-08-087348-0 .

[5] Горенштейн, Дэниел (1968). «1,2». Конечные группы . Нью-Йорк: Харпер и Роу. п. 8. ISBN 0-8218-4342-7 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]