Экстра-специальная группа

В теории групп , разделе абстрактной алгебры , экстраспециальные группы являются аналогами группы Гейзенберга над конечными полями , размер которых является простым числом. Для каждого простого числа p и натурального числа n существует ровно две (с точностью до изоморфизма) экстраспециальные группы порядка p. ^{1+2 н} . часто встречаются экстраспециальные группы централизаторах инволюций В . Обычная теория характера экстраспециальных групп хорошо изучена.

Определение

Напомним, что конечная группа называется p -группой , если ее порядок равен степени простого числа p .

p - группа G называется экстраспециальной, если ее центр Z циклический порядка p , а фактор G / Z является нетривиальной элементарной абелевой p -группой.

Экстраспециальные группы порядка p ^{1+2 н} часто обозначаются символом p ^{1+2 н} . Например, 2 ¹⁺²⁴ обозначает экстраспециальную группу порядка 2 ²⁵ .

Классификация

Каждая экстраспециальная p -группа имеет порядок p ^{1+2 н} для некоторого натурального числа n и обратно для каждого такого числа существует ровно две экстраспециальные группы с точностью до изоморфизма. Центральный продукт двух экстраспециальных p -групп является экстраспециальным, и каждую экстраспециальную группу можно записать как центральный продукт экстраспециальных групп порядка p. ³ . Это сводит классификацию экстраспециальных групп к классификации экстраспециальных групп порядка p. ³ . Классификация часто представляется по-разному в двух случаях p нечетно и p = 2, но возможно и единообразное представление.

р нечетный

Существуют две экстраспециальные группы порядка p ³ , которые для нечетного p имеют вид

• Группа треугольных матриц 3x3 над полем с p элементами, с единицами на диагонали. Эта группа имеет показатель p для p нечетного (но показатель 4, если p = 2).
• Полупрямое произведение циклической группы порядка p ² циклической группой порядка p, действующей на ней нетривиально. Эта группа имеет показатель p ² .

Если n — целое положительное число, существуют две экстраспециальные группы порядка p. ^{1+2 н} , которые для нечетного p имеют вид

• Центральный продукт n экстраспециальных групп порядка p ³ , все показатели степени p . Эта экстраспециальная группа также имеет показатель p .
• Центральный продукт n экстраспециальных групп порядка p ³ , хотя бы один из показателей p ² . Эта экстраспециальная группа имеет показатель p ² .

Две экстраспециальные группы порядка p ^{1+2 н} легче всего отличить по тому, что один содержит все элементы порядка не выше p , а другой — элементы порядка p. ² .

р = 2

Существуют две экстраспециальные группы порядка 8 = 2. ³ , которые даны

• Группа диэдра D ₈ порядка 8, которая также может быть задана любой из двух конструкций из предыдущего раздела для p = 2 (при p нечетном они дают разные группы, но при p = 2 они дают одну и ту же группу). В этой группе есть 2 элемента четвертого порядка.
• Группа кватернионов Q8 _{порядка 8} , имеющая 6 элементов порядка 4.

Если n — целое положительное число, существуют две экстраспециальные группы порядка 2. ^{1+2 н} , которые даны

• Центральный продукт n экстраспециальных групп порядка 8, нечетное число из которых являются группами кватернионов. Соответствующая квадратичная форма (см. ниже) имеет Arf-инвариант 1.
• Центральный продукт n экстраспециальных групп порядка 8, четное число из которых являются группами кватернионов. Соответствующая квадратичная форма (см. ниже) имеет Arf-инвариант 0.

Две экстраспециальные группы G порядка 2 ^{1+2 н} легче всего отличить следующим образом. Если Z — центр, то G / Z — векторное пространство над полем с двумя элементами. Он имеет квадратичную форму q , где q равно 1, если подъем элемента имеет порядок 4 в G , и 0 в противном случае. Тогда инвариант Арфа этой квадратичной формы можно использовать для различения двух экстраспециальных групп. Эквивалентно, можно различать группы, подсчитав количество элементов порядка 4.

Все р

Единообразное представление экстраспециальных групп порядка p ^{1+2 н} можно дать следующим образом. Определите две группы:

• $M(p)=\langle a,b,c:a^{p}=b^{p}=1,c^{p}=1,ba=abc,ca=ac,cb=bc\rangle$
• $N(p)=\langle a,b,c:a^{p}=b^{p}=c,c^{p}=1,ba=abc,ca=ac,cb=bc\rangle$

M ( p ) и N ( p ) — неизоморфные экстраспециальные группы порядка p. ³ с центром порядка p, порожденным c . Две неизоморфные экстраспециальные группы порядка p ^{1+2 н} являются центральными произведениями либо n копий M ( p ), либо n -1 копий M ( p ) и 1 копии N ( p ). Это частный случай классификации р -групп с циклическими центрами и простыми производными подгруппами, приведенной в ( Ньюман, 1960 ).

Теория персонажей

Если G — экстраспециальная группа порядка p ^{1+2 н} , то его неприводимые комплексные представления задаются следующим образом:

• Есть ровно п ^{2 н} неприводимые представления размерности 1. Центр Z действует тривиально, а представления как раз соответствуют представлениям абелевой группы G / Z .
• Существует ровно p − 1 неприводимых представлений размерности p. ^н . Один из них имеется для каждого нетривиального характера х центра, на котором центр действует как умножение на х. Значения символов задаются p ^н χ на Z и 0 для элементов, не входящих Z. в
• Если неабелева p -группа G имеет меньше p ² − p нелинейных неприводимых характеров минимальной степени, он экстраспециальный.

Примеры

Централизатор инволюции в конечной простой группе довольно часто содержит нормальную экстраспециальную подгруппу. Например, централизатор инволюции типа 2Б в группе монстров имеет структуру 2 ¹⁺²⁴ .Co ₁ , что означает, что он имеет нормальную экстраспециальную подгруппу порядка 2. ¹⁺²⁴ , а фактор является одной из групп Конвея .

Обобщения

Группы, у которых центр , производная подгруппа и подгруппа Фраттини равны, называются специальными группами . Бесконечные специальные группы, производная подгруппа которых имеет порядок p, также называются экстраспециальными группами. Классификация счетных бесконечных экстраспециальных групп очень похожа на конечный случай ( Newman 1960 ), но для больших мощностей даже основные свойства групп зависят от деликатных вопросов теории множеств, некоторые из которых раскрыты в ( Shelah & Steprāns 1987 ). . Нильпотентные группы , центр которых циклический, а производная подгруппа имеет порядок p и классы сопряженных элементов которых не более чем счетно бесконечны, классифицированы в ( Newman 1960 ). Конечные группы, производная подгруппа которых имеет порядок p, классифицированы в ( Blackburn 1999 ).

Ссылки

• Блэкберн, Саймон Р. (1999), «Группы простого степенного порядка с производной подгруппой простого порядка», Journal of Algebra , 219 (2): 625–657, doi : 10.1006/jabr.1998.7909 , ISSN   0021-8693 , MR   1706841
• Горенштейн, Д. (1980), Конечные группы , Нью-Йорк: Челси, ISBN  978-0-8284-0301-6 , МР   0569209
• Ньюман, М.Ф. (1960), «Об одном классе нильпотентных групп», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 10 : 365–375, doi : 10.1112/plms/s3-10.1.365 , ISSN   0024-6115 , MR   0120278
• Шела, Сахарон ; Степранс, Юрис (1987), «Экстраспециальные p-группы», Анналы чистой и прикладной логики , 34 (1): 87–97, doi : 10.1016/0168-0072(87)90041-8 , ISSN   0168-0072 , MR   0887554