Центральный продукт

В математике , особенно в области теории групп , центральным продуктом является один из способов создания группы из двух меньших групп. Центральный продукт подобен прямому продукту , но в центральном продукте две изоморфные центральные подгруппы меньших групп сливаются в одну центральную подгруппу продукта. Центральные продукты представляют собой важную конструкцию и могут использоваться, например, для классификации экстраспециальных групп .

Определение

Существует несколько связанных, но различных понятий центрального продукта. Подобно прямому произведению , существуют как внутренние, так и внешние характеристики, а также существуют вариации того, насколько строго контролируется пересечение факторов.

Группа G является внутренним центральным произведением двух подгрупп H , K, если

G порождается H и K.
Каждый элемент H коммутирует с каждым элементом K . ( Горенштейн 1980 , стр. 29)

Иногда более строгие требования, $H\cap K$ точно равен центру, как в ( Leedham-Green & McKay 2002 , стр. 32). Подгруппы H и K тогда называются центральными факторами группы G .

Внешний центральный продукт строится из двух групп H и K , двух подгрупп $H_{1}\leq Z(H)$ и $K_{1}\leq Z(K)$ и групповой изоморфизм $\theta \colon H_{1}\to K_{1}$ . Внешний центральный продукт представляет собой частное прямого продукта $H\times K$ по нормальной подгруппе

N=\{(h,k):h\in H_{1},k\in K_{1},{\text{ and }}\theta (h)\cdot k=1\}

,

( Горенштейн 1980 , стр. 29). более строгие требования H ₁ = Z( H ) и K ₁ = Z( K Иногда налагаются ), как в ( Leedham-Green & McKay 2002 , стр. 32).

Внутренний центральный продукт изоморфен внешнему центральному продукту, причем H ₁ = K ₁ = H ∩ K и θ тождественно. Внешний центральный продукт — это внутренний центральный продукт образов H × 1 и 1 × K в факторгруппе. $(H\times K)/N$ . Это показано для каждого определения в ( Gorenstein 1980 , стр. 29) и ( Leedham-Green & McKay 2002 , стр. 32–33).

факторами H и K. Обратите внимание, что внешний центральный продукт обычно не определяется только Тип изоморфизма центрального произведения будет зависеть от изоморфизма θ . Однако он четко определен в некоторых примечательных ситуациях, например, когда H и K являются конечными дополнительными специальными группами и $H_{1}=Z(H)$ и $K_{1}=Z(K)$ .

Примеры

Группа Паули является центральным произведением циклической группы. $C_{4}$ и группа диэдра $D_{4}$ .
Каждая дополнительная специальная группа является центральным произведением дополнительных специальных групп порядка p. ³.
Слой конечной группы, т. е. подгруппа, порожденная всеми субнормальными квазипростыми подгруппами , является центральным произведением квазипростых групп в смысле Горенштейна.

Приложения

Теория представления центральных продуктов очень похожа на теорию представления прямых продуктов и поэтому хорошо понята ( Горенштейн 1980 , гл. 3.7).

Центральные произведения встречаются во многих структурных леммах, таких как ( Горенштейн 1980 , стр. 350, лемма 10.5.5), которая используется в Джорджа Глаубермана результате о том, что конечные группы, допускающие четверку Клейна автоморфизмов без неподвижных точек, разрешимы .

В определенном контексте тензорного произведения модулей Ли (и других родственных структур) группа автоморфизмов содержит центральный продукт групп автоморфизмов каждого фактора ( Аранда-Орна 2022 , $\S$ 4).

Ссылки

Горенштейн, Дэниел (1980), Конечные группы , Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-0301-6 , МР 0569209
Лидхэм-Грин, Чехия ; Маккей, Сьюзен (2002), Структура групп простого степенного порядка , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, том. 27, Издательство Оксфордского университета , ISBN 978-0-19-853548-5 , г-н 1918951
Аранда-Орна, Диего (2022), О конструкции Фолкнера для обобщенных йордановых суперпар , Линейная алгебра и ее приложения, том. 646, стр. 1–28.