Разрешимая группа

В математике , более конкретно в области теории групп , разрешимая группа или разрешимая группа — это группа , которая может быть построена из абелевых групп с использованием расширений . Эквивалентно, разрешимая группа — это группа, производный ряд которой заканчивается тривиальной подгруппой .

Мотивация

Исторически слово «разрешимая» возникло из теории Галуа и доказательства общей неразрешимости уравнений пятой степени . В частности, полиномиальное уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда соответствующая группа Галуа разрешима. (заметим, что эта теорема справедлива только для характеристики 0). Это означает, что связанный с полиномом $f\in F[x]$ есть башня расширения полей

$F=F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq \cdots \subseteq F_{m}=K$

такой, что

1. $F_{i}=F_{i-1}[\alpha _{i}]$ где $\alpha _{i}^{m_{i}}\in F_{i-1}$, так $\alpha _{i}$ является решением уравнения $x^{m_{i}}-a$ где $a\in F_{i-1}$
2. $F_{m}$ содержит поле разделения для $f(x)$

Пример

Например, наименьшее расширение поля Галуа $\mathbb {Q}$ содержащий элемент

$a={\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}$

дает разрешимую группу. Он имеет связанные расширения полей

$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)$

дающая разрешимую группу расширений Галуа, содержащую следующие композиционные факторы :

• $\mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}})} \right/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2$ с групповым действием $f\left(\pm {\sqrt {2}}\right)=\mp {\sqrt {2}},\ f^{2}=1$и минимальный полином $x^{2}-2$.
• $\mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})} \right/\mathbb {Q({\sqrt {2}})} )\cong \mathbb {Z} /2$ с групповым действием $g\left(\pm {\sqrt {3}}\right)=\mp {\sqrt {3}},\ g^{2}=1$и минимальный полином $x^{2}-3$.
• $\mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\right)\cong \mathbb {Z} /4$ с групповым действием $h^{n}\left(e^{2im\pi /5}\right)=e^{2(n+1)mi\pi /5},\ 0\leq n\leq 3,\ h^{4}=1$и минимальный полином $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=(x^{5}-1)/(x-1)$ содержащий 5 ^й корни единства, исключающие $1$.
• $\mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\right)\cong \mathbb {Z} /5$ с групповым действием $j^{l}(a)=e^{2li\pi /5}a,\ j^{5}=1$и минимальный полином $x^{5}-\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)$.

, где $1$ это тождественная перестановка. Все определяющие групповые действия изменяют одно расширение, сохраняя при этом все остальные расширения неизменными. Например, элементом этой группы является групповое действие $fgh^{3}j^{4}$. Общий элемент в группе можно записать как $f^{a}g^{b}h^{n}j^{l},\ 0\leq a,b\leq 1,\ 0\leq n\leq 3,\ 0\leq l\leq 4$ всего 80 элементов.

Стоит отметить, что эта группа сама по себе не является абелевой . Например:

$hj(a)=h(e^{2i\pi /5}a)=e^{4i\pi /5}a$

$jh(a)=j(a)=e^{2i\pi /5}a$

Фактически в этой группе $jh=hj^{3}$. Разрешимая группа изометрична $(\mathbb {C} _{5}\rtimes _{\varphi }\mathbb {C} _{4})\times (\mathbb {C} _{2}\times \mathbb {C} _{2}),\ \mathrm {where} \ \varphi _{h}(j)=hjh^{-1}=j^{2}$, определяемый с помощью полупрямого произведения и прямого произведения циклических групп . В разрешимой группе $\mathbb {C} _{4}$ не является нормальной подгруппой.

Определение

Группа G называется разрешимой, если она имеет субнормальный ряд которого , все фактор-группы (фактор-группы) абелевы , т. е. если существуют подгруппы

$1=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft G_{k}=G$

это означает, что j _{−1 нормальна} в −1 G j _, такая что G _j   / G _{j G} является абелевой группой для j = 1, 2, ..., k .

Или, что то же самое, если его производный ряд , нисходящий нормальный ряд

$G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots ,$

где каждая подгруппа является коммутатором предыдущей, в конечном итоге достигает тривиальной подгруппы G . Эти два определения эквивалентны, поскольку для каждой группы H и каждой нормальной подгруппы N в H фактор H / N абелев тогда и только тогда, когда N включает в себя коммутант H. группы Наименьшее n такое, что G ^{( н )} = 1 называется производной длиной разрешимой группы G .

, что разрешимая группа — это группа с композиционным рядом, все факторы которой являются циклическими группами простого порядка Для конечных групп эквивалентное определение состоит в том . Это эквивалентно, поскольку конечная группа имеет конечную композиционную длину, а каждая простая абелева группа является циклической простого порядка. Теорема Джордана –Гёльдера гарантирует, что если один композиционный ряд обладает этим свойством, то все композиционные ряды также будут обладать этим свойством. Для группы Галуа многочлена эти циклические группы соответствуют корням (радикалам) n-й степени над некоторым полем . Эквивалентность не обязательно справедлива для бесконечных групп: например, поскольку каждая нетривиальная подгруппа Z группы целых чисел добавляемой изоморфна самой Z , она не имеет композиционного ряда, но имеет нормальный ряд {0, Z } с его единственным фактор-группа, изоморфная Z , доказывает, что она действительно разрешима.

Примеры

Абелевы группы

Основным примером разрешимых групп являются абелевы группы. Они тривиально разрешимы, поскольку субнормальный ряд образуется только самой группой и тривиальной группой. Но неабелевы группы могут быть разрешимыми, а могут и не быть разрешимыми.

Нильпотентные группы

В более общем смысле все нильпотентные группы разрешимы. В частности, конечные p -группы разрешимы, поскольку все конечные p -группы нильпотентны.

Группы кватернионов

В частности, группа кватернионов является разрешимой группой, заданной расширением группы

$1\to \mathbb {Z} /2\to Q\to \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2\to 1$

где ядро $\mathbb {Z} /2$ это подгруппа, порожденная $-1$.

Расширения группы

Расширения групп образуют прототипические примеры разрешимых групп. То есть, если $G$ и $G'$ разрешимые группы, то любое расширение

$1\to G\to G''\to G'\to 1$

определяет разрешимую группу $G''$. Фактически, все разрешимые группы могут быть образованы из таких расширений групп.

Неабелева группа, ненильпотентная

Небольшим примером разрешимой ненильпотентной группы является симметрическая группа S ₃ . Фактически, поскольку наименьшая простая неабелева группа — это A ₅ ( альтернирующая группа степени 5), отсюда следует, что каждая группа с порядком меньше 60 разрешима.

Конечные группы нечетного порядка

Теорема Фейта–Томпсона утверждает, что каждая конечная группа нечетного порядка разрешима. В частности, из этого следует, что если конечная группа проста, то она либо является простой циклической группой, либо имеет четный порядок.

Непример

Группа S ₅ неразрешима — она имеет композиционный ряд {E, A ₅ , S ₅ } (а теорема Йордана–Гёльдера утверждает, что любой другой композиционный ряд эквивалентен этому), что дает фактор-группы, изоморфные A ₅ и С ₂ ; и A ₅ не абелева. Обобщая этот аргумент в сочетании с тем фактом, что An _— нормальная, максимальная, неабелева простая подгруппа группы для _Sn n > 4, мы видим, что неразрешима _Sn для n > 4. Это ключевой шаг в доказательство того, что для любого n > 4 существуют многочлены степени n , не разрешимые в радикалах ( теорема Абеля–Руффини ). Это свойство также используется в теории сложности при доказательстве теоремы Баррингтона .

Подгруппы GL ₂

Рассмотрим подгруппы

$B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*\\0&*\end{bmatrix}}\right\}{\text{, }}U=\left\{{\begin{bmatrix}1&*\\0&1\end{bmatrix}}\right\}$ из $GL_{2}(\mathbb {F} )$

для какого-то поля $\mathbb {F}$. Тогда групповой фактор $B/U$ можно найти, взяв произвольные элементы из $B,U$, перемножая их вместе, и выясняя, какую структуру это дает. Так

${\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&ad+b\\0&c\end{bmatrix}}$

Обратите внимание на определяющее условие $GL_{2}$ подразумевает $ac\neq 0$, следовательно $\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\subset B$ является подгруппой (это матрицы, где $b=0$). Для фиксированного $a,b$, линейное уравнение $ad+b=0$ подразумевает $d=-b/a$, который является произвольным элементом в $\mathbb {F}$ с $b\in \mathbb {F}$. Поскольку мы можем взять любую матрицу из $B$ и умножим его на матрицу

${\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}$

с $d=-b/a$, мы можем получить диагональную матрицу в $B$. Это показывает факторгруппу $B/U\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }$.

Примечание

Обратите внимание, что это описание дает разложение $B$ как $\mathbb {F} \rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })$ где $(a,c)$ действует на $b$ к $(a,c)(b)=ab$. Это подразумевает $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$. Кроме того, матрица вида

${\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}$

соответствует элементу $(b)\times (a,c)$ в группе.

Подгруппы Бореля

Для линейной алгебраической группы $G$ определяется Борелевская подгруппа как замкнутая, связная и разрешимая в $G$, и является максимально возможной подгруппой с этими свойствами (обратите внимание, что первые два являются топологическими свойствами). Например, в $GL_{n}$ и $SL_{n}$ группы верхнетреугольных или нижнетреугольных матриц являются двумя борелевскими подгруппами. В приведенном выше примере подгруппа $B$ в $GL_{2}$, является борелевской подгруппой.

Подгруппа Бореля в GL ₃

В $GL_{3}$ есть подгруппы

$B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}U_{1}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*\\0&1&*\\0&0&1\end{bmatrix}}\right\}$

Уведомление $B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }$, следовательно, группа Бореля имеет вид

$U\rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })$

произведении простых линейных

В группе товаров $GL_{n}\times GL_{m}$ подгруппа Бореля может быть представлена ​​матрицами вида

${\begin{bmatrix}T&0\\0&S\end{bmatrix}}$

где $T$ это $n\times n$ верхняя треугольная матрица и $S$ это $m\times m$ верхняя треугольная матрица.

Z-группы

Любая конечная группа, p -силовские подгруппы которой цикличны, является полупрямым произведением двух циклических групп, в частности разрешимой. Такие группы называются Z-группами .

Значения OEIS

Числа разрешимых групп порядка n (начинаются с n = 0)

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, 2, 2, 1, 15, 2, 2, 5, 4, 1, 4, 1, 51, 1, 2, 1, 14, 1, 2, 2, 14, 1, 6, 1, 4, 2, 2, 1, 52, 2, 5, 1, 5, 1, 15, 2, 13, 2, 2, 1, 12, 1, 2, 4, 267, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 50, ... ( последовательность A201733 в OEIS )

Порядки неразрешимых групп:

60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 660, 672, 720, 780, 840, 900, 960, 1008, 1020, 1080, 1140, 1176, 1200, 1260, 1320, 1344, 1380, 1440, 1500, ... (последовательность A056866 в OEIS )

Свойства

Разрешимость замкнута относительно ряда операций.

• Если G разрешима и H — подгруппа G , то H разрешима.
• Если G разрешима и существует гомоморфизм G ; на H , то H разрешима эквивалентно (по первой теореме об изоморфизме ), если G разрешима, а N — нормальная подгруппа в G , то G / N разрешима.
• Предыдущие свойства можно расширить до следующего свойства «три по цене двух»: G разрешимо тогда и только тогда, когда и N , и G / N . разрешимы
• В частности, если G и H разрешимы, то и прямое произведение G × H разрешимо.

Разрешимость замкнута при расширении группы :

• Если H и G / H разрешимы, то разрешима и G ; в частности, если N и H разрешимы, их полупрямое произведение . разрешимо и

Также закрыто под венком изделие:

• Если G и H разрешимы и X является G -множеством, то сплетение G также и H относительно X разрешимо.

Для любого положительного целого числа N разрешимые группы производной длины не более N образуют подмногообразие многообразия групп, поскольку они замкнуты относительно взятия гомоморфных образов, подалгебр и (прямых) произведений . Прямое произведение последовательности разрешимых групп с неограниченной производной длиной неразрешимо, поэтому класс всех разрешимых групп не является многообразием.

Теорема Бернсайда

Основная статья: теорема Бернсайда

Теорема Бернсайда утверждает, что если — конечная группа порядка G p ^а д ^б где p и q — простые числа , а a и b — целые неотрицательные числа , то G разрешима.

Связанные понятия

Сверхразрешимые группы

Основная статья: сверхразрешимая группа

В целях усиления разрешимости группа G называется сверхразрешимой (или сверхразрешимой ), если она имеет инвариантный нормальный ряд, все факторы которого циклические. Поскольку нормальный ряд по определению имеет конечную длину, несчетные группы не являются сверхразрешимыми. Фактически, все сверхразрешимые группы конечно порождены , а абелева группа является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда она конечно порождена. Знакопеременная группа A ₄ является примером конечной разрешимой группы, не являющейся сверхразрешимой.

Если мы ограничимся конечно порожденными группами, мы можем рассмотреть следующее расположение классов групп:

циклическая < абелева < нильпотентная < сверхразрешимая < полициклическая < разрешимая < конечно порожденная группа .

Виртуально разрешимые группы

Группа G называется виртуально разрешимой , если она имеет разрешимую подгруппу конечного индекса. Это похоже на практически абелеву . Очевидно, что все разрешимые группы виртуально разрешимы, поскольку можно просто выбрать саму группу с индексом 1.

Гипоабелев

Разрешимая группа — это группа, производный ряд которой достигает тривиальной подгруппы на конечном этапе. Для бесконечной группы конечный производный ряд может не стабилизироваться, но трансфинитный производный ряд всегда стабилизируется. Группа, трансфинитный производный ряд которой достигает тривиальной группы, называется гипоабелевой группой , а каждая разрешимая группа — гипоабелевой группой. Первый ординал α такой, что G ^{( а )} = Г ^{( а +1)} называется (трансфинитной) производной длиной группы G , и было показано, что каждый ординал является производной длиной некоторой группы ( Мальцев, 1949 ).

p-разрешимая

Конечная группа является p-разрешимой для некоторого простого числа p, если каждый фактор композиционного ряда является p-группой или имеет порядок, простой с p. Конечная группа разрешима тогда и только тогда, когда она p-разрешима для любого p.

См. также

• Проразрешимая группа

Ссылки

• Мальцев А.И. (1949), "Обобщенные нильпотентные алгебры и ассоциированные с ними группы", Матем. Сборник , Новая серия, 25 (67): 347–366, МР   0032644
• Ротман, Джозеф Дж. (1995), Введение в теорию групп , Тексты для аспирантов по математике, том. 148 (4-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-94285-8

Внешние ссылки

• Последовательность OEIS A056866 (Порядки неразрешимых групп)
• Разрешимые группы как итерированные расширения