Сверхразрешимая группа

В математике группа ) , называется сверхразрешимой (или сверхразрешимой если она имеет инвариантный нормальный ряд , в котором все факторы являются циклическими группами . Сверхразрешимость сильнее понятия разрешимости .

Определение

Пусть G — группа . G сверхразрешима, если существует нормальный ряд

$\{1\}=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{s-1}\triangleleft H_{s}=G$

такая, что каждая факторгруппа $H_{i+1}/H_{i}\;$ является циклическим, и каждый $H_{i}$ это нормально в $G$.

Напротив, для разрешимой группы определение требует, чтобы каждое частное было абелевым . С другой стороны, полициклическая группа должна иметь субнормальный ряд с каждым фактор-циклическим, но нет требования, чтобы каждый $H_{i}$ быть нормальным в $G$. Поскольку каждая конечная разрешимая группа является полициклической, это можно рассматривать как одно из ключевых отличий между определениями. На конкретном примере чередующаяся группа по четырем точкам: $A_{4}$, разрешима, но не сверхразрешима.

Основные свойства

Некоторые факты о сверхразрешимых группах:

• Сверхразрешимые группы всегда полицикличны и, следовательно, разрешимы .
• Любая конечно порожденная нильпотентная группа сверхразрешима.
• Любая метациклическая группа сверхразрешима.
• Коммутант сверхразрешимой группы нильпотентен.
• Подгруппы и факторгруппы сверхразрешимых групп сверхразрешимы.
• Конечная сверхразрешимая группа имеет инвариантный нормальный ряд, каждый фактор которого цикличен простого порядка.
• Фактически, простые числа можно выбирать в хорошем порядке: для каждого простого числа p и для π множества простых чисел, больших p, конечная сверхразрешимая группа имеет уникальную холлову π -подгруппу . Такие группы иногда называют упорядоченными силовскими башенными группами.
• Любая группа бесквадратного порядка и каждая группа с циклическими силовскими подгруппами ( Z-группа ) сверхразрешимы.
• Всякое неприводимое комплексное представление конечной сверхразрешимой группы мономиально, т. е. индуцировано линейным характером подгруппы. Другими словами, каждая конечная сверхразрешимая группа является мономиальной группой .
• Каждая максимальная подгруппа в сверхразрешимой группе имеет простой индекс .
• Конечная группа является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда каждая максимальная подгруппа имеет простой индекс.
• Конечная группа является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда каждая максимальная цепочка подгрупп имеет одинаковую длину. Это важно для тех, кто интересуется решеткой подгрупп группы, и иногда его называют условием цепи Йордана – Дедекинда .
• Более того, конечная группа является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда ее решетка подгрупп является сверхразрешимой решеткой , что является существенным усилением условия цепочки Йордана-Дедекинда.
• По теореме Баума каждая сверхразрешимая конечная группа имеет алгоритм ДПФ, работающий за время O ( n log n ).

Ссылки

• Шенкман, Евгений. Теория групп . Воин, 1975 год.
• Шмидт, Роланд. Решетки подгрупп групп . де Грюйтер, 1994.
• Кит Конрад, ПОДГРУППА СЕРИИ II, Раздел 4 , http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/subgpseries2.pdf