Максимальная подгруппа

В математике термин «максимальная подгруппа» используется для обозначения немного разных вещей в разных областях алгебры .

В теории групп максимальная подгруппа H группы G не является собственной подгруппой , такой что ни одна собственная подгруппа K содержит H строго. Другими словами, H — максимальный элемент частично упорядоченного множества подгрупп группы G , не равных G . Максимальные подгруппы представляют интерес из-за их прямой связи с перестановочными представлениями группы G. примитивными Они также хорошо изучены для целей теории конечных групп : см., например, подгруппу Фраттини , пересечение максимальных подгрупп.

В теории полугрупп максимальная подгруппа полугруппы S — это подгруппа (то есть подполугруппа, образующая группу при операции полугруппы) группы S , которая не содержится должным образом в другой подгруппе S. группы Обратите внимание, что здесь нет требования, чтобы максимальная подгруппа была собственной, поэтому, если S на самом деле является группой, то ее единственной максимальной подгруппой (как полугруппой) является S. сама Рассмотрение подгрупп и, в частности, максимальных подгрупп полугрупп часто позволяет применить теоретико-групповые методы в теории полугрупп. существует взаимно однозначное соответствие Между идемпотентными элементами полугруппы и максимальными подгруппами полугруппы : каждый идемпотентный элемент является единичным элементом единственной максимальной подгруппы.

Существование максимальной подгруппы

Любая собственная подгруппа конечной группы содержится в некоторой максимальной подгруппе, поскольку собственные подгруппы при включении образуют конечное частично упорядоченное множество . Однако существуют бесконечные абелевы группы , не содержащие максимальных подгрупп, например группа Прюфера .

Максимальная

Аналогично, нормальная подгруппа N группы G называется максимальной нормальной подгруппой (или максимальной собственной нормальной подгруппой) группы G , если N < G и не существует нормальной подгруппы K группы G такой, что N < K < G . Имеем следующую теорему:

Теорема : Нормальная подгруппа N группы G является максимальной нормальной подгруппой тогда и только тогда, фактор G / N прост когда .

Диаграммы Хассе

Эти диаграммы Хассе показывают решетки подгрупп симметрической группы S ₄ , группы диэдра D ₄ и C ₂ ³ , третья прямая степень циклической группы C ₂ .
Максимальные подгруппы связаны с самой группой (поверх диаграммы Хассе) ребром диаграммы Хассе.

Максимальными подгруппами S 4 являются A 4 , три D 4 и четыре S 3 . (Сравните: подгруппы S 4 )

Максимальными подгруппами группы D 4 являются C 4 и две C 2 2 .

Максимальные подгруппы C 2 3 семь C 2 2 .