Подгруппа Фраттини

В математике , особенно в теории групп , подгруппа Фраттини. $\Phi (G)$ группы G $G$ является пересечением всех максимальных группы $.$ подгрупп В случае, когда $G$ не имеет максимальных подгрупп, например, тривиальной группы { e } или группы Прюфера , она определяется формулой $\Phi (G)=G$ . Он аналогичен радикалу Джекобсона в теории колец , и интуитивно его можно рассматривать как подгруппу «малых элементов» (см. характеристику «негенератора» ниже). Он назван в честь Джованни Фраттини , который определил эту концепцию в статье, опубликованной в 1885 году. ^[1]

Некоторые факты

$\Phi (G)$ равен множеству всех или непорождающих элементов G $.$ необразующих Негенерирующий элемент $G$ — это элемент, который всегда можно удалить из порождающего набора ; то есть элемент a из $G$ такой, что всякий раз, когда $X$ является порождающим набором $G$ , содержащим a , $X\setminus \{a\}$ также является порождающим набором $G$ .
$\Phi (G)$ всегда является характеристической подгруппой группы $G$ ; это всегда нормальная подгруппа группы $G.$ в частности ,
Если $G$ конечна, то $\Phi (G)$ является нильпотентным .
Если $G$ — конечная p -группа , то $\Phi (G)=G^{p}[G,G]$ . Таким образом, подгруппа Фраттини — это наименьшая (по включению) нормальная подгруппа N такая, что факторгруппа $G/N$ — элементарная абелева группа , т. е изоморфна прямой сумме циклических групп порядка . p . Более того, если факторгруппа $G/\Phi (G)$ (также называемый фактором Фраттини G $)$ имеет порядок $p^{k}$ , то k — наименьшее количество генераторов для $G$ (т. е. наименьшая мощность набора порождающих для $G$ ). В частности, конечная p -группа является циклической тогда и только тогда, когда ее фактор Фраттини цикличен (порядка p ). Конечная p -группа является элементарной абелевой тогда и только тогда, когда ее подгруппа Фраттини является тривиальной группой , $\Phi (G)=\{e\}$ .
Если $H$ и $K$ конечны, то $\Phi (H\times K)=\Phi (H)\times \Phi (K)$ .

Примером группы с нетривиальной подгруппой Фраттини является циклическая группа $G$ порядка $p^{2}$ , где p — простое число, порожденное a , скажем, ; здесь, $\Phi (G)=\left\langle a^{p}\right\rangle$ .

См. также

Ссылки

^ Фраттини, Джованни (1885). «О создании оперативных групп» (PDF) . Accademia dei Lincei, Отчеты . (4). Я : 281–285, 455–457. ЖФМ 17.0097.01 .

Холл, Маршалл (1959). Теория групп . Нью-Йорк: Макмиллан. (См. главу 10, особенно раздел 10.4.)

[1] Фраттини, Джованни (1885). «О создании оперативных групп» (PDF) . Accademia dei Lincei, Отчеты . (4). Я : 281–285, 455–457. ЖФМ 17.0097.01 .

[1]