Аргумент Фраттини

В теории групп , разделе математики , аргумент Фраттини является важной леммой в структурной теории конечных групп . Он назван в честь Джованни Фраттини , который использовал его в статье 1885 года при определении подгруппы Фраттини в группе. Этот аргумент был взят Фраттини, как он сам признает, из статьи Альфредо Капелли, датированной 1884 годом. ^{[ 1 ]}

Аргумент Фраттини

Заявление

Если $G$ — конечная группа с нормальной подгруппой $H$ , и если $P$ является силовской p -подгруппой группы $H$ , затем

G=N_{G}(P)H,

где $N_{G}(P)$ обозначает нормализатор $P$ в $G$ , и $N_{G}(P)H$ означает произведение подмножеств группы .

Доказательство

Группа $P$ это Силов $p$ -подгруппа $H$ , поэтому каждый Силов $p$ -подгруппа $H$ это $H$ -конъюгат $P$ , то есть имеет вид $h^{-1}Ph$ для некоторых $h\in H$ (см. теоремы Силова ). Позволять $g$ быть любым элементом $G$ . С $H$ это нормально в $G$ , подгруппа $g^{-1}Pg$ содержится в $H$ . Это означает, что $g^{-1}Pg$ это Силов $p$ -подгруппа $H$ . Тогда, согласно вышеизложенному, должно быть $H$ -сопряженный с $P$ : то есть для некоторых $h\in H$

g^{-1}Pg=h^{-1}Ph,

и так

hg^{-1}Pgh^{-1}=P.

Таким образом

gh^{-1}\in N_{G}(P),

и поэтому $g\in N_{G}(P)H$ . Но $g\in G$ было произвольным, и поэтому $G=HN_{G}(P)=N_{G}(P)H.\ \square$

Приложения

Аргумент Фраттини можно использовать как часть доказательства того, что любая конечная нильпотентная группа является прямым произведением своих силовских подгрупп.
Применяя аргумент Фраттини к $N_{G}(N_{G}(P))$ , можно показать, что $N_{G}(N_{G}(P))=N_{G}(P)$ в любое время $G$ является конечной группой и $P$ это Силов $p$ -подгруппа $G$ .
В более общем случае, если подгруппа $M\leq G$ содержит $N_{G}(P)$ для какого-то Силова $p$ -подгруппа $P$ из $G$ , затем $M$ является самонормализующимся, т.е. $M=N_{G}(M)$ .