Jump to content

Продукт подмножеств группы

В математике можно определить произведение подмножеств групп естественным образом . Если S и T являются подмножествами группы G определенное , то их продуктом является подмножество G, формулой

Подмножества S и T не обязательно должны быть подгруппами , чтобы этот продукт был корректно определен. Ассоциативность ассоциативности этого продукта вытекает из группового продукта. Таким образом, произведение групповых подмножеств определяет естественную моноидную структуру на множестве степеней G .

Гораздо больше можно сказать в случае, когда S и T являются подгруппами. Произведение двух подгрупп S и T группы G само является подгруппой G тогда и только тогда, когда ST = TS .

Товар подгрупп [ править ]

Если S и T — подгруппы G , их произведение не обязательно должно быть подгруппой (например, две различные подгруппы порядка 2 в симметричной группе на 3 символах). Это произведение иногда называют произведением Фробениуса . [1] В общем случае произведение двух подгрупп S и T является подгруппой тогда и только тогда, когда ST = TS , [2] и говорят, что эти две подгруппы переставляют местами . ( Вальтер Ледерманн назвал этот факт теоремой о произведении , [3] но это имя, как и «произведение Фробениуса», ни в коем случае не является стандартным.) В данном случае ST — это группа порожденная , S и T ; т. е. ST = TS = ⟨ S T ⟩.

Если либо S , либо T нормальны , то условие ST = TS выполнено и произведение является подгруппой. [4] [5] Если и S , и T нормальны, то и произведение тоже нормальное. [4]

Если S и T — конечные подгруппы группы G , то ST — подмножество G размера |ST| определяется формулой произведения :

Обратите внимание, что это применимо, даже если ни S, ни T не являются нормальными.

Модульный закон [ править ]

Следующий модульный закон (для групп) справедлив для любой Q подгруппы S , где T — любая другая произвольная подгруппа (и S и T являются подгруппами некоторой группы G ):

Q ( S Т ) знак равно S ∩ ( QT ).

Два продукта, фигурирующие в этом равенстве, не обязательно являются подгруппами.

Если QT — подгруппа (эквивалентно, как отмечалось выше, если Q и T переставляют места), то QT = ⟨ Q T ⟩ = Q T ; т. е. QT является соединением Q и и T в решетке подгрупп группы G , модульный закон для такой пары также может быть записан как Q ∨ ( S T ) = S ∩ ( Q ∨ T ), что является уравнение, определяющее модулярную решетку , если оно справедливо для любых трех элементов решетки с Q S . В частности, поскольку нормальные подгруппы переставляются друг с другом, они образуют модулярную подрешетку .

Группа, в которой каждая подгруппа перестановлена, называется группой Ивасавы . Таким образом, решетка подгрупп группы Ивасавы является модулярной решеткой, поэтому эти группы иногда называют модулярными группами. [6] (хотя этот последний термин может иметь и другие значения.)

Предположение модулярного закона для групп (сформулированного выше) о том, что Q является подгруппой S, является существенным. Если Q является не подгруппой S , то предварительное, более общее дистрибутивное свойство, которое можно считать S ∩ ( QT ) = ( S Q )( S T ) , неверно . [7] [8]

Произведение подгрупп с тривиальным пересечением [ править ]

В частности, если S и T пересекаются только по тождеству, то каждый элемент ST имеет уникальное выражение как произведение st с s в S и t в T . Если S и T также коммутируют, то ST является группой и называется произведением Заппы – Сепа . Более того, если или T нормальны в ST , то ST совпадает с произведением S S и T. полупрямым Наконец, если и , T нормальны в ST , то ST совпадает с прямым произведением S S и T. и

Если S и T — подгруппы, пересечением которых является тривиальная подгруппа (единичный элемент) и дополнительно ST = G , то S называется дополнением к T и наоборот.

Из-за (локально однозначного) злоупотребления терминологией две подгруппы, пересекающиеся только по (в противном случае обязательному) тождеству, иногда называют непересекающимися . [9]

Произведение подгрупп с нетривиальным пересечением [ править ]

В случае нетривиального пересечения нормальной подгруппы N и подгруппы K возникает вопрос : какова структура фактора NK / N ? Хотя может возникнуть соблазн просто «отменить» N и сказать, что ответ — K , это неверно, потому что гомоморфизм с ядром N также «схлопнет» (отобразит в 1) все элементы , которые оказались в N. K Таким образом, правильный ответ состоит в том, что NK / N изоморфен K /( N K ). Этот факт иногда называют второй теоремой об изоморфизме . [10] (хотя нумерация этих теорем различается у разных авторов); также назвал ее теоремой ромба из И. Мартин Айзекс -за формы решётки подгрупп, [11] и также было названо правилом параллелограмма Полом Морицем Коном , который, таким образом, подчеркнул аналогию с правилом параллелограмма для векторов, поскольку в полученной решетке подгрупп предполагается, что две стороны представляют факторгруппы ( SN )/ N и S /( S N ) «равны» в смысле изоморфизма. [12]

Аргумент Фраттини гарантирует существование произведения подгрупп (дающего начало всей группе) в случае, когда пересечение не обязательно тривиально (и по этой последней причине две подгруппы не являются дополнениями). Более конкретно, если конечная группа с нормальной подгруппой , и если силовская p - подгруппа группы N , то G = NG G ( P ) N , где NG ( P ) обозначает нормализатор P P в G. N что нормализатор P включает P , поэтому пересечение между N и NG (Обратите внимание , ( P ) равно как минимум P .)

Обобщение на полугруппы [ править ]

В полугруппе S произведение двух подмножеств определяет структуру полугруппы на P(S), степенного множества полугруппы S; более того, P(S) — полукольцо со сложением как объединением (подмножеств) и умножением как произведением подмножеств. [13]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Адольфо Баллестер-Болинчес; Рамон Эстебан-Ромеро; Мохамед Асаад (2010). Произведения конечных групп . Вальтер де Грюйтер. п. 1 . ISBN  978-3-11-022061-2 .
  2. ^ В. Кейт Николсон (2012). Введение в абстрактную алгебру (4-е изд.). Джон Уайли и сыновья. Лемма 2, с. 125. ИСБН  978-1-118-13535-8 .
  3. ^ Уолтер Ледерманн, Введение в теорию групп , 1976, Лонгман, ISBN   0-582-44180-3 , с. 52
  4. Перейти обратно: Перейти обратно: а б Николсон, 2012, Теорема 5, с. 125
  5. ^ Дэвид А. Р. Уоллес (1998). Группы, кольца и поля . Springer Science & Business Media. Теорема 14, с. 123. ИСБН  978-3-540-76177-8 .
  6. ^ Баллестер-Болинчес, Эстебан-Ромеро, Асаад, с. 24
  7. ^ Дерек Робинсон (1996). Курс теории групп . Springer Science & Business Media. п. 15. ISBN  978-0-387-94461-6 .
  8. ^ Пол Мориц Кон (2000). Классическая алгебра . Уайли. стр. 248 . ISBN  978-0-471-87731-8 .
  9. ^ Л. Фукс (1970). Бесконечные абелевы группы. Том I. Академическая пресса. п. 37. ИСБН  978-0-08-087348-0 .
  10. ^ Дэн Сарасино (1980). Абстрактная алгебра: первый курс . Аддисон-Уэсли. п. 123 . ISBN  0-201-07391-9 .
  11. ^ И. Мартин Айзекс (1994). Алгебра: Высший курс . Американское математическое соц. п. 33 . ISBN  978-0-8218-4799-2 .
  12. ^ Пол Мориц Кон (2000). Классическая алгебра . Уайли. п. 245 . ISBN  978-0-471-87731-8 .
  13. ^ Жан Э. Пин (1989). Формальные свойства конечных автоматов и их приложения: Весенняя школа LITP по теоретической информатике, Раматюэль, Франция, 23–27 мая 1988 г. Труды . Springer Science & Business Media. п. 35. ISBN  978-3-540-51631-6 .
  • Ротман, Джозеф (1995). Введение в теорию групп (4-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-94285-8 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: fa0f4092c2c8bc835ed818b2a0016c93__1657716780
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/fa/93/fa0f4092c2c8bc835ed818b2a0016c93.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Product of group subsets - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)