Закон параллелограмма

Не путать с правилом параллелограмма (физика) .

Стороны параллелограмма ABCD показаны синим цветом, а диагонали красным. Сумма площадей синих квадратов равна сумме площадей красных.

В математике простейшая форма закона параллелограмма (называемая также тождеством параллелограмма ) принадлежит элементарной геометрии . Он гласит, что сумма квадратов длин четырех сторон параллелограмма равна сумме квадратов длин двух диагоналей. Для сторон мы используем следующие обозначения: AB , BC , CD , DA . Но поскольку в евклидовой геометрии противоположные стороны параллелограмма обязательно равны, то есть AB = CD и BC = DA , закон можно сформулировать как $$2(A\_B)^{2}+2(B\_C)^{2}=(A\_C)^{2}+(B\_D)^{2}\,$$

Если параллелограмм — прямоугольник , то две диагонали имеют одинаковую длину AC = BD , поэтому $$2(A\_B)^{2}+2(B\_C)^{2}=2(A\_C)^{2}$$и утверждение сводится к теореме Пифагора . Для общего четырехугольника (с четырьмя сторонами не обязательно равными) теорема Эйлера о четырехугольнике утверждает: $$AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4x^{2},$$где $x$ — длина отрезка, соединяющего середины диагоналей . Из схемы видно, что $x=0$ для параллелограмма, поэтому общая формула упрощается до закона параллелограмма.

Доказательство

В параллелограмме справа пусть AD = BC = a , AB = DC = b , $\angle BAD=\alpha .$ Используя закон косинусов в треугольнике $\triangle BAD,$ мы получаем: $$a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )=BD^{2}.$$

В параллелограмме смежные углы являются дополнительными , поэтому $\angle ADC=180^{\circ }-\alpha .$ Используя закон косинусов в треугольнике $\triangle ADC,$ производит: $$a^{2}+b^{2}-2ab\cos(180^{\circ }-\alpha )=AC^{2}.$$

Применяя тригонометрическое тождество $\cos(180^{\circ }-x)=-\cos x$ первому результату доказывает: $$a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha )=AC^{2}.$$

Теперь сумма квадратов $BD^{2}+AC^{2}$ может быть выражено как: $$BD^{2}+AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )+a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha ).$$

Упрощая это выражение, оно становится: $$BD^{2}+AC^{2}=2a^{2}+2b^{2}.$$

Закон параллелограмма в пространствах внутренних произведений

Векторы, участвующие в законе параллелограмма.

В нормированном пространстве формулировка закона параллелограмма представляет собой уравнение, связывающее нормы : $$2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y.$$

Закон параллелограмма эквивалентен, казалось бы, более слабому утверждению: $$2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\leq \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y$$поскольку обратное неравенство можно получить из него подстановкой ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(x+y\right)}$ для $x,$ и ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(x-y\right)}$ для $y,$ а затем упрощаем. При том же доказательстве закон параллелограмма также эквивалентен: $$\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\leq 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y.$$

В пространстве внутреннего продукта норма определяется с использованием внутреннего продукта : $$\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .$$

Как следствие этого определения, в пространстве внутреннего продукта закон параллелограмма представляет собой алгебраическое тождество, легко устанавливаемое с использованием свойств внутреннего продукта: $$\|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,$$$$\|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .$$

Добавляем эти два выражения: $$\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},$$по мере необходимости.

Если $x$ ортогонален $y,$ значение $\langle x,\ y\rangle =0,$ и приведенное выше уравнение для нормы суммы принимает вид: $$\|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2},$$что является теоремой Пифагора .

Нормированные векторные пространства, удовлетворяющие закону параллелограмма.

Большинство реальных и комплексных нормированных векторных пространств не имеют скалярных произведений, но все нормированные векторные пространства имеют нормы (по определению). Например, обычно используемая норма для вектора $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ в реальном координатном пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ это $p$-норма : $$\|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.$$

Учитывая норму, можно оценить обе стороны закона параллелограмма, приведенного выше. Примечателен тот факт, что если справедлив закон параллелограмма, то норма должна возникнуть обычным образом из некоторого скалярного произведения. В частности, это справедливо для $p$-норма тогда и только тогда, когда $p=2,$ так называемая евклидова норма или стандартная норма.

Для любой нормы, удовлетворяющей закону параллелограмма (который обязательно является нормой внутреннего продукта), внутренний продукт, порождающий норму, уникален вследствие идентичности поляризации . В реальном случае тождество поляризации определяется выражением: $$\langle x,y\rangle ={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}},$$или эквивалентно $${\frac {\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}}{2}}\qquad {\text{ or }}\qquad {\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{2}}.$$

В сложном случае это выражается так: $$\langle x,y\rangle ={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}+i{\frac {\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2}}{4}}.$$

Например, используя $p$-норма с $p=2$ и реальные векторы $x$ и $y,$ Оценка внутреннего продукта происходит следующим образом: $${\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}\\[4mu]&={\tfrac {1}{4}}\left(\sum _{i}|x_{i}+y_{i}|^{2}-\sum _{i}|x_{i}-y_{i}|^{2}\right)\\[2mu]&={\tfrac {1}{4}}\left(4\sum _{i}x_{i}y_{i}\right)\\&=x\cdot y,\\\end{aligned}}$$что является стандартным скалярным произведением двух векторов.

Другое необходимое и достаточное условие существования внутреннего продукта, индуцирующего данную норму. $\|\cdot \|$ заключается в том, чтобы норма удовлетворяла неравенству Птолемея : $$\|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad {\text{ for all vectors }}x,y,z.$$

См. также

• Коммутативное свойство - свойство некоторых математических операций.
• Франсуа Давие – итальянский математик и военный офицер (1734–1798).
• Внутреннее пространство продукта – обобщение скалярного произведения; используется для определения гильбертовых пространств
• Расстояние Минковского - математическая метрика в нормированном векторном пространстве.
• Нормированное векторное пространство - векторное пространство, в котором определено расстояние.
• Поляризационная идентичность - формула, связывающая норму и внутренний продукт в пространстве внутреннего продукта.
• Неравенство Птолемея

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Закон параллелограмма» . Математический мир .
• Закон параллелограмма просто доказан в блоге Dreamshire
• Закон параллелограмма: доказательство без слов в самом разгаре