Теорема о биссектрисе угла

В геометрии теорема о биссектрисе угла касается относительных длин двух сегментов , на которые сторона треугольника разделена линией , делящей пополам противоположный угол . Он приравнивает их относительные длины к относительным длинам двух других сторон треугольника.

Теорема [ править ]

Рассмотрим треугольник $△ ABC$ . Пусть биссектриса угла ∠ $A пересекает$ сторону BC $в$ точке $D$ между $B$ и $C$ . Теорема о биссектрисе угла гласит, что отношение длины отрезка BD $к$ длине отрезка $CD$ равно отношению длины стороны $AB$ к длине стороны $AC$ :

{\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|AB|}{|AC|}},

и наоборот , если точка $D$ на стороне $BC$ треугольника $△ ABC$ делит $BC$ что и стороны $AB$ и $AC$ , то $AD$ является биссектрисой угла $∠ A.$ в том же отношении ,

Обобщенная теорема о биссектрисе утверждает, что если $D$ лежит на прямой $BC$ , то

{\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \angle DAC}}.

Это сводится к предыдущей версии, если $AD$ является биссектрисой $∠ BAC$ . Когда $D$ является внешним по отношению к сегменту $BC$ , в расчете необходимо использовать направленные отрезки линий и направленные углы.

Теорема о биссектрисе угла обычно используется, когда известны биссектрисы угла и длины сторон. Его можно использовать при расчете или доказательстве.

Непосредственным следствием теоремы является то, что биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника также делит пополам противоположную сторону.

Доказательства [ править ]

Существует много разных способов доказательства теоремы о биссектрисе. Некоторые из них показаны ниже.

Доказательство с использованием подобных треугольников [ править ]

Как показано на сопровождающей анимации, теорему можно доказать, используя подобные треугольники. В показанной здесь версии треугольник $\triangle ABC$ отражается от линии, перпендикулярной биссектрисе угла. $AD$ , в результате чего получается треугольник $\triangle AB_{2}C_{2}$ с биссектрисой $AD_{2}$ . Тот факт, что углы, образованные биссектрисой $\angle BAD$ и $\angle CAD$ равны, означает, что $BAC_{2}$ и $CAB_{2}$ представляют собой прямые линии. Это позволяет построить треугольник $\triangle C_{2}BC$ это похоже на $\triangle ABD$ . Поскольку отношения между соответствующими сторонами подобных треугольников равны, отсюда следует, что $|AB|/|AC_{2}|=|BD|/|CD|$ . Однако, $AC_{2}$ был построен как отражение линии $AC$ , и поэтому эти две строки имеют одинаковую длину. Поэтому, $|AB|/|AC|=|BD|/|CD|$ , что дает результат, сформулированный теоремой.

закона синусов Доказательство с использованием

На приведенной выше схеме используйте закон синусов для треугольников $△ ABD$ и $△ ACD$ :

{\frac {|AB|}{|BD|}}={\frac {\sin \angle ADB}{\sin \angle DAB}}

( 1 )

{\frac {|AC|}{|CD|}}={\frac {\sin \angle ADC}{\sin \angle DAC}}

( 2 )

Углы $∠ADB ∠ADC$ и $образуют дополнительными$ линейную пару, то есть являются смежными углами . Поскольку дополнительные углы имеют равные синусы,

{\sin \angle ADB}={\sin \angle ADC}.

Углы $∠ DAB$ и $∠ DAC$ равны. Следовательно, правые части уравнений ( 1 ) и ( 2 ) равны, поэтому их левые части также должны быть равны.

{\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|AB|}{|AC|}},

что является теоремой о биссектрисе угла.

Если углы $∠ DAB, ∠ DAC$ неравны, уравнения ( 1 ) и ( 2 ) можно переписать как:

{{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle DAB=\sin \angle ADB},

{{\frac {|AC|}{|CD|}}\sin \angle DAC=\sin \angle ADC}.

Углы $∠ ADB, ∠ ADC$ по-прежнему являются дополнительными, поэтому правые части этих уравнений по-прежнему равны, поэтому получаем:

{{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle DAB={\frac {|AC|}{|CD|}}\sin \angle DAC},

что переводится в «обобщенную» версию теоремы.

Доказательство с использованием высот треугольников [ править ]

Пусть $D$ — точка на прямой $BC$ , не равная $B$ или $C$ и такая, что $AD$ не является высотой треугольника $△ ABC$ .

Пусть $B 1$ — основание (фут) высоты в треугольнике $△ ABD$ через $B$ , и пусть $C 1$ — основание высоты в треугольнике $△ ACD$ через $C$ . Тогда, если $D$ находится строго между $B$ и $C$ , один и только один из $B1,$ или $C1 внутри$ лежит внутри $△ ABC$ можно предположить , и без ограничения общности что $B1 лежит$ . Этот случай изображен на соседней диаграмме. Если $D$ лежит вне отрезка $BC$ , то ни $B1,$ ни $C1 не$ лежат внутри треугольника.

$∠ DB 1 B, ∠ DC 1 C$ — прямые углы, а углы $∠ B 1 DB, ∠ C 1 DC$ равны, если $D$ лежит на отрезке $BC$ (т. е. между $B$ и $C$ ) и одинаковы в остальных рассматриваемых случаях, поэтому треугольники $△ DB 1 B, △ DC 1 C$ подобны (ААА), из чего следует, что:

{\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|BB_{1}|}{|CC_{1}|}}={\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}}.

Если $D$ — подножие высоты, то

{\frac {|BD|}{|AB|}}=\sin \angle \ BAD{\text{ and }}{\frac {|CD|}{|AC|}}=\sin \angle \ DAC,

и следует обобщенная форма.

Доказательство с использованием треугольных областей [ править ]

взглянув на соотношение площадей двух треугольников $△ BAD, △ CAD$ , которые образованы биссектрисой угла $A.$ Быстрое доказательство можно получить , Вычисление этих площадей дважды по разным формулам , то есть ${\tfrac {1}{2}}gh$ с основанием $g$ и высотой $h$ и ${\tfrac {1}{2}}ab\sin(\gamma )$ со сторонами $a, b$ и приложенным к ним углом $γ$ , даст желаемый результат.

Обозначим через $h$ высоту треугольников основания $BC$ и $\alpha$ быть половиной угла в $A$ . Затем

{\frac {|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}}={\frac {{\frac {1}{2}}|BD|h}{{\frac {1}{2}}|CD|h}}={\frac {|BD|}{|CD|}}

и

{\frac {|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}}={\frac {{\frac {1}{2}}|AB||AD|\sin(\alpha )}{{\frac {1}{2}}|AC||AD|\sin(\alpha )}}={\frac {|AB|}{|AC|}}

урожайность

{\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}.

Длина биссектрисы угла [ править ]

Длина биссектрисы угла $d$ можно найти по ${\textstyle d^{2}=bc-mn=mn(k^{2}-1)=bc\left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)}$ ,

где $k={\frac {b}{n}}={\frac {c}{m}}={\frac {b+c}{a}}$ – константа пропорциональности из теоремы о биссектрисе угла.

Доказательство : По теореме Стюарта имеем

${\begin{aligned}b^{2}m+c^{2}n&=a(d^{2}+mn)\\(kn)^{2}m+(km)^{2}n&=a(d^{2}+mn)\\k^{2}(m+n)mn&=(m+n)(d^{2}+mn)\\k^{2}mn&=d^{2}+mn\\(k^{2}-1)mn&=d^{2}\\\end{aligned}}$

Биссектрисы внешнего угла [ править ]

биссектрисы внешнего угла (красные точки):
Точки $D, E, F$ лежат на одной прямой, и выполняются следующие уравнения для отношений:
${\tfrac {|EB|}{|EC|}}={\tfrac {|AB|}{|AC|}}$ , ${\tfrac {|FB|}{|FA|}}={\tfrac {|CB|}{|CA|}}$ , ${\tfrac {|DA|}{|DC|}}={\tfrac {|BA|}{|BC|}}$

Для биссектрис внешних углов неравностороннего треугольника существуют аналогичные уравнения для отношений длин сторон треугольника. Точнее, если биссектриса внешнего угла в $A$ пересекает расширенную сторону $BC$ в $E$ , биссектриса внешнего угла в $B$ пересекает расширенную сторону $AC$ в $D$ , а биссектриса внешнего угла в $C$ пересекает расширенную сторону $AB$ в $F$ , то выполняются следующие уравнения : ^[1]

{\frac {|EB|}{|EC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}

,

{\frac {|FB|}{|FA|}}={\frac {|CB|}{|CA|}}

,

{\frac {|DA|}{|DC|}}={\frac {|BA|}{|BC|}}

Три точки пересечения биссектрис внешнего угла и продолженных сторон треугольника $D, E, F$ лежат на одной прямой, то есть лежат на одной прямой. ^[2]

История [ править ]

Теорема о биссектрисе угла появляется в предложении 3 книги VI «Начал» Евклида . Согласно Хиту (1956 , стр. 197 (т. 2)), соответствующее утверждение для биссектрисы внешнего угла было дано Робертом Симсоном , который отметил, что Папп предположил этот результат без доказательства. Далее Хит говорит, что Огастес Де Морган предложил объединить эти два утверждения следующим образом: ^[3]

Если угол треугольника делится пополам внутри или снаружи прямой линией, которая разрезает противоположную сторону или полученную противоположную сторону, сегменты этой стороны будут иметь то же соотношение, что и другие стороны треугольника; и если сторона треугольника разделена внутри или снаружи так, что ее сегменты имеют то же соотношение, что и другие стороны треугольника, то прямая линия, проведенная от точки сечения до угловой точки, противоположной первой упомянутой стороне, разделит внутренний или внешний угол пополам в этой угловой точке.

Приложения [ править ]

Эта теорема была использована для доказательства следующих теорем/результатов:

Координаты центра треугольника
Круги Аполлония

Ссылки [ править ]

^ Альфред С. Посаментье: Расширенная евклидова геометрия: Экскурсии для студентов и учителей . Спрингер, 2002 г., ISBN 9781930190856 , стр. 3–4 .
^ Роджер А. Джонсон: Расширенная евклидова геометрия . Дувр 2007, ISBN 978-0-486-46237-0 , с. 149 (оригинальная публикация 1929 года совместно с Houghton Mifflin Company (Бостон) под названием Modern Geometry ).
^ Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг «Элементов Евклида» (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: Cambridge University Press, 1925] изд.). Нью-Йорк: Dover Publications.
(3 тома): ISBN 0-486-60088-2 (т. 1), ISBN 0-486-60089-0 (т. 2), ISBN 0-486-60090-4 (т. 3). Авторитетный перевод Хита, а также обширные исторические исследования и подробные комментарии по всему тексту.

Дальнейшее чтение [ править ]

GWIS Амарасингхе: О стандартных длинах биссектрис и теореме о биссектрисе угла , Глобальный журнал перспективных исследований классической и современной геометрии, том 01 (01), стр. 15–27, 2012 г.

Внешние ссылки [ править ]

[1] Альфред С. Посаментье: Расширенная евклидова геометрия: Экскурсии для студентов и учителей . Спрингер, 2002 г., ISBN 9781930190856 , стр. 3–4 .

[2] Роджер А. Джонсон: Расширенная евклидова геометрия . Дувр 2007, ISBN 978-0-486-46237-0 , с. 149 (оригинальная публикация 1929 года совместно с Houghton Mifflin Company (Бостон) под названием Modern Geometry ).

[3] Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг «Элементов Евклида» (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: Cambridge University Press, 1925] изд.). Нью-Йорк: Dover Publications.
(3 тома): ISBN 0-486-60088-2 (т. 1), ISBN 0-486-60089-0 (т. 2), ISBN 0-486-60090-4 (т. 3). Авторитетный перевод Хита, а также обширные исторические исследования и подробные комментарии по всему тексту.

[1]

[2]

[3]