Конверс (логика)

В логике и математике обращение категорического или подразумеваемого утверждения является результатом перестановки двух составляющих его утверждений. Для импликации P → Q обратным Q → P. является Для категорического предложения Все S есть P , обратное: Все P есть S. В любом случае истинность обратного утверждения обычно не зависит от истинности исходного утверждения. ^[1]

Импликационное обратное

Венна Диаграмма $P\leftarrow Q$
Белая область показывает, где утверждение неверно.

Пусть S — утверждение вида P, влечет Q ( P → Q ). Тогда обратным утверждением S является утверждение Q, подразумевающее P ( Q → P ). В общем, истинность S ничего не говорит об истинности его обратного: ^[2] если только антецедент P и последующий Q логически эквивалентны.

Например, рассмотрим истинное утверждение: «Если я человек, то я смертен». Обратное утверждение этого утверждения: «Если я смертен, то я человек», что не обязательно верно .

Однако обратное утверждение с взаимовключающими терминами остается верным, учитывая истинность исходного предложения. Это эквивалентно утверждению, что обратное определение верно. Таким образом, утверждение «Если я треугольник, то я трехсторонний многоугольник» логически эквивалентно «Если я трехсторонний многоугольник, то я треугольник», поскольку определение «треугольника» такое: трехсторонний многоугольник».

Таблица истинности проясняет, что S и обратное к S логически не эквивалентны, если только оба термина не подразумевают друг друга:

$P$	$Q$	$P\rightarrow Q$	$P\leftarrow Q$ (обратный разговор)
Ф	Ф	Т	Т
Ф	Т	Т	Ф
Т	Ф	Ф	Т
Т	Т	Т	Т

Переход от утверждения к его обратному является ошибкой утверждения следствия . Однако если утверждение S и обратное ему эквивалентны (т. е. P истинно тогда и только тогда, когда Q также истинно), то утверждение консеквента будет действительным.

Обратная импликация логически эквивалентна дизъюнкции $P$ и $\neg Q$

$P\leftarrow Q$	$\Leftrightarrow$	$P$	$\lor$	$\neg Q$
	$\Leftrightarrow$		$\lor$

На естественном языке это можно было бы перевести как «не Q без P ».

Обращение теоремы

В математике обратной теоремой формы P → Q будет Q → P . Обратное утверждение может быть верным, а может и не быть, и даже если оно верно, доказательство может оказаться трудным. Например, теорема о четырех вершинах была доказана в 1912 году, а обратная к ней — только в 1997 году. ^[3]

На практике при определении обращения математической теоремы аспекты антецедента могут рассматриваться как устанавливающий контекст. То есть, обратным высказыванию «Дано P, если Q, то R » будет «Дано P, если R, то Q » . Например, теорему Пифагора можно сформулировать так:

Дан треугольник со сторонами длиной $a$ , $b$ , и $c$ , если угол, противолежащий стороне длины $c$ является прямым углом, то $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .

Обратное утверждение, которое также появляется в » Евклида «Началах (книга I, предложение 48), можно сформулировать так:

Дан треугольник со сторонами длиной $a$ , $b$ , и $c$ , если $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ , то угол, противолежащий стороне длины $c$ является прямым углом.

Обратное отношение

Если $R$ представляет собой бинарное отношение с $R\subseteq A\times B,$ тогда обратное соотношение $R^{T}=\{(b,a):(a,b)\in R\}$ еще называется транспонированием . ^[4]

Обозначения

Обратную импликацию P → Q можно записать Q → P , $P\leftarrow Q$ , но также может быть обозначено $P\subset Q$ , или «B pq » (в обозначениях Боченского ). ^{[ нужна ссылка ]}

Категорический конверс

В традиционной логике процесс переключения субъектного термина на термин-предикат называется конверсией . Например, переход от «Нет S — это P» к обратному «Нет P — это S» . По словам Асы Махана :

«Исходное предложение называется экспозицией; когда оно преобразовано, оно называется обратным. Преобразование действительно тогда и только тогда, когда в обратном не утверждается ничего, что не утверждается или не подразумевается в экспозиции». ^[5]

«Exposita» чаще называют «конвертированным». В своей простой форме преобразование справедливо только для E и I : предложений ^[6]

Тип	Конвертировать	Простой конверс	Обратное преобразование для каждой аварии (действительно, если P существует)
А	Все S есть P	недействительно	Некоторое P есть S
И	Нет S - это P	Нет P — это S	Некоторое P не является S
я	Некоторое S есть P	Некоторое P есть S	–
ТО	Некоторое S не есть P	недействительно	–

Действительность простого преобразования только для предложений E и I может быть выражена ограничением: «Ни один термин не должен быть распределен в обратном направлении, если он не распределен в преобразуемом». ^[7] Для E предложений распределены как подлежащее, так и предикат , а для предложений I — ни то, ни другое.

Для предложений А субъект распределен, а предикат — нет, и поэтому вывод из утверждения А к обратному недействителен. Например, для предложения А «Все кошки — млекопитающие» обратное «Все млекопитающие — кошки» очевидно ложно. Однако более слабое утверждение «Некоторые млекопитающие — кошки» верно. Логики определяют преобразование на случайность как процесс создания этого более слабого утверждения. Вывод из утверждения к обратному ему per Accidens обычно верен. Однако, как и в случае с силлогизмами , этот переход от всеобщего к частному вызывает проблемы с пустыми категориями: утверждение «Все единороги — млекопитающие» часто принимается за истину, тогда как обратное утверждение per Accidens «Некоторые млекопитающие — единороги» явно ложно.

В предикатов первого порядка исчислении все S есть P можно представить как $\forall x.S(x)\to P(x)$ . ^[8] Таким образом, ясно, что категориальное обращение тесно связано с импликативным обращением и что S и P нельзя поменять местами в All S is P .

См. также

Ссылки

^ Роберт Ауди, изд. (1999), Кембриджский философский словарь , 2-е изд., Издательство Кембриджского университета: «разговор».
^ Тейлор, Кортни. «Что такое обратное, контрапозитивное и обратное?» . МысльКо . Проверено 27 ноября 2019 г.
^ Шонквилер, Клэй (6 октября 2006 г.). «Теорема о четырех вершинах и ее обратная» (PDF) . math.colostate.edu . Проверено 26 ноября 2019 г.
^ Гюнтер Шмидт и Томас Стрёлейн (1993) Отношения и графики , страница 9, книги Springer
^ Аса Махан (1857) Наука логики: или Анализ законов мышления , с. 82 .
^ Уильям Томас Парри и Эдвард А. Хакер (1991), Аристотелевская логика , SUNY Press, стр. 207 .
^ Джеймс Х. Хислоп (1892), Элементы логики , сыновья К. Скрибнера, с. 156.
^ Гордон Ханнингс (1988), Мир и язык в философии Витгенштейна , SUNY Press, стр. 42 .

Дальнейшее чтение

Аристотель . Органон .
Копи, Ирвинг . Введение в логику . Макмиллан, 1953 год.
Копи, Ирвинг. Символическая логика . Макмиллан, 1979, пятое издание.
Стеббинг, Сьюзен . Современное введение в логику . Рота Кромвеля, 1931 год.

[Audi-1] Роберт Ауди, изд. (1999), Кембриджский философский словарь , 2-е изд., Издательство Кембриджского университета: «разговор».

[2] Тейлор, Кортни. «Что такое обратное, контрапозитивное и обратное?» . МысльКо . Проверено 27 ноября 2019 г.

[3] Шонквилер, Клэй (6 октября 2006 г.). «Теорема о четырех вершинах и ее обратная» (PDF) . math.colostate.edu . Проверено 26 ноября 2019 г.

[4] Гюнтер Шмидт и Томас Стрёлейн (1993) Отношения и графики , страница 9, книги Springer

[5] Аса Махан (1857) Наука логики: или Анализ законов мышления , с. 82 .

[6] Уильям Томас Парри и Эдвард А. Хакер (1991), Аристотелевская логика , SUNY Press, стр. 207 .

[7] Джеймс Х. Хислоп (1892), Элементы логики , сыновья К. Скрибнера, с. 156.

[8] Гордон Ханнингс (1988), Мир и язык в философии Витгенштейна , SUNY Press, стр. 42 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

v т и Общие логические связи
Тавтология / Правда $\top$
Альтернативное отрицание ( ворота NAND ) $\uparrow$ Обратная импликация $\leftarrow$ Импликация ( ворота IMPLY ) $\rightarrow$ Дизъюнкция ( ворота ИЛИ ) $\lor$
Отрицание ( НЕ ворота ) $\neg$ Эксклюзивное или ( ворота XOR ) $\not \leftrightarrow$ Двуусловный ( ворота XNOR ) $\leftrightarrow$ Оператор ( цифровой буфер )
Совместное отрицание ( ворота NOR ) $\downarrow$ Неимпликация ( ворота NIMPLY ) $\nrightarrow$ Обратная неимпликация $\nleftarrow$ Соединение ( ворота И ) $\land$
Противоречие / Ложь $\bot$
Философский портал