Ложь (логика)

По логике неверно ^[1]или ложь — это состояние обладания отрицательным истинностным значением и нулевая логическая связка . В истинностно-функциональной системе логики высказываний это одно из двух постулируемых значений истинности, наряду с ее отрицанием , истиной . ^[2] Обычными обозначениями ложного являются 0 (особенно в булевой логике и информатике ), O (в префиксной записи O pq ) и подъема . символ $\bot$ . ^[3]^[4]

Другой подход используется для нескольких формальных теорий (например, интуиционистского исчисления высказываний ), где пропозициональная константа (т. е. нулевая связка), $\bot$ , истинностное значение которого всегда ложно в указанном выше смысле. ^[5]^[6]^[7] К нему можно относиться как к абсурдному утверждению, и его часто называют абсурдом.

В классической логике и булевой логике [ править ]

В булевой логике каждая переменная обозначает значение истинности , которое может быть либо истинным (1), либо ложным (0).

В классическом исчислении высказываний каждому предложению будет присвоено истинное или ложное значение. Некоторые системы классической логики включают специальные символы для ложных значений (0 или $\bot$ ), в то время как другие вместо этого полагаются на такие формулы, как $p \land \neg p$ и $\neg(p \to p)$ .

И в булевой логике, и в классической логике истинное и ложное противоположны по отношению к отрицанию ; отрицание ложного дает истину, а отрицание истины дает ложь.

$x$	$\neg x$
истинный	ЛОЖЬ
ЛОЖЬ	истинный

Отрицание ложности эквивалентно истине не только в классической логике и булевой логике, но и в большинстве других логических систем, как объясняется ниже.

Ложь, отрицание и противоречие [ править ]

В большинстве логических систем отрицание , материальное условное и ложное соотносятся как:

\neg п \Leftrightarrow (п \to ⊥)

Фактически, это определение отрицания в некоторых системах. ^[8]такие как интуиционистская логика , и могут быть доказаны в исчислении высказываний, где отрицание является фундаментальной связкой. Поскольку $p \to p$ обычно является теоремой или аксиомой, следствием этого является то, что отрицание ложного ( $\neg ⊥$ ) истинно.

Противоречие оказывается , — это ситуация, которая возникает, когда что утверждение , которое считается истинным, влечет за собой ложное (т. е. $φ ⊢ ⊥$ ). Используя приведенную выше эквивалентность, тот факт, что φ является противоречием, может быть получен, например, из $⊢ \negφ$ . Утверждение, которое само по себе влечет за собой ложь, иногда называют противоречием, а противоречия и ложь иногда не различают, особенно из-за того, что латинский термин falsum в английском языке для обозначения того и другого используется , но ложь — это одно конкретное суждение .

Логические системы могут содержать или не содержать принцип взрыва ( ex falso quodlibet на латыни ), $⊥ ⊢ φ$ для всех $φ$ . По этому принципу противоречия и ложь эквивалентны, поскольку одно влечет за собой другое.

Консистенция [ править ]

Формальная теория , использующая « $\bot$ «Связка определяется как непротиворечивая тогда и только тогда, когда ложь не входит в число ее теорем . В отсутствие пропозициональных констант некоторые заменители (например, описанные выше вместо них могут использоваться ) для определения непротиворечивости.

См. также [ править ]

Противоречие
Логическая истина
Тавтология (логика) (для символики логической истины)
Таблица истинности

Ссылки [ править ]

^ Его существительная форма — ложь .
^ Дженнифер Фишер, О философии логики , Томсон Уодсворт, 2007, ISBN 0-495-00888-5 , с. 17.
^ Уиллард Ван Орман Куайн , Методы логики , 4-е изд., Издательство Гарвардского университета, 1982, ISBN 0-674-57176-2 , с. 34.
^ «Истинность-значение | логика» . Британская энциклопедия . Проверено 15 августа 2020 г.
^ Джордж Эдвард Хьюз и Д.Э. Лонди, Элементы формальной логики , Метуэн, 1965, стр. 151.
^ Леон Хорстен и Ричард Петтигрю, Continuum Companion to Philosophical Logic , Continuum International Publishing Group, 2011, ISBN 1-4411-5423-X , с. 199.
^ Грэм Прист , Введение в неклассическую логику: от «если к есть» , 2-е изд., Cambridge University Press, 2008, ISBN 0-521-85433-4 , с. 105.
^ Дов М. Габбай и Франц Гентнер (редакторы), Справочник по философской логике, том 6 , 2-е изд., Springer, 2002, ISBN 1-4020-0583-0 , с. 12.

[1] Его существительная форма — ложь .

[2] Дженнифер Фишер, О философии логики , Томсон Уодсворт, 2007, ISBN 0-495-00888-5 , с. 17.

[3] Уиллард Ван Орман Куайн , Методы логики , 4-е изд., Издательство Гарвардского университета, 1982, ISBN 0-674-57176-2 , с. 34.

[4] «Истинность-значение | логика» . Британская энциклопедия . Проверено 15 августа 2020 г.

[5] Джордж Эдвард Хьюз и Д.Э. Лонди, Элементы формальной логики , Метуэн, 1965, стр. 151.

[6] Леон Хорстен и Ричард Петтигрю, Continuum Companion to Philosophical Logic , Continuum International Publishing Group, 2011, ISBN 1-4411-5423-X , с. 199.

[7] Грэм Прист , Введение в неклассическую логику: от «если к есть» , 2-е изд., Cambridge University Press, 2008, ISBN 0-521-85433-4 , с. 105.

[8] Дов М. Габбай и Франц Гентнер (редакторы), Справочник по философской логике, том 6 , 2-е изд., Springer, 2002, ISBN 1-4020-0583-0 , с. 12.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

v т Это Общие логические связи
Tautology/True $\top$
Alternative denial (NAND gate) $\uparrow$ Converse implication $\leftarrow$ Implication (IMPLY gate) $\rightarrow$ Disjunction (OR gate) $\lor$
Negation (NOT gate) $\neg$ Exclusive or (XOR gate) $\not \leftrightarrow$ Biconditional (XNOR gate) $\leftrightarrow$ Statement (Digital buffer)
Joint denial (NOR gate) $\downarrow$ Nonimplication (NIMPLY gate) $\nrightarrow$ Converse nonimplication $\nleftarrow$ Conjunction (AND gate) $\land$
Contradiction/False $\bot$
Philosophy portal

v т Это ‌ Логическая Logical truth истина ⊤
Functional:	truth value truth function ⊨ tautology
Formal:	theory formal proof theorem
Negation	⊥ false contradiction inconsistency