Теорема Паппа о площади

Теорема Паппа о площади описывает соотношение площадей трех параллелограммов, прикрепленных к трем сторонам произвольного треугольника . Теорема, которую также можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора , названа в честь греческого математика Паппа Александрийского (4 век нашей эры), который ее открыл.

Теорема

Для произвольного треугольника с двумя произвольными параллелограммами, прикрепленными к двум его сторонам, теорема показывает, как построить параллелограмм по третьей стороне так, чтобы площадь третьего параллелограмма была равна сумме площадей двух других параллелограммов.

Пусть ABC — произвольный треугольник, а ABDE и ACFG — два произвольных параллелограмма, прикрепленные к сторонам треугольника AB и AC. Расширенные стороны параллелограмма DE и FG пересекаются в точке H. Отрезок AH теперь «становится» стороной третьего параллелограмма BCML, прикрепленной к стороне треугольника BC, т. е. строятся отрезки BL и CM над BC, такие что BL и CM параллельны и равны по длине AH. Тогда для площадей (обозначенных A) параллелограммов справедливо следующее тождество:

{\text{A}}_{ABDE}+{\text{A}}_{ACFG}={\text{A}}_{BCML}

Теорема дважды обобщает теорему Пифагора. Во-первых, он работает для произвольных треугольников, а не только для прямоугольных, и, во-вторых, он использует параллелограммы, а не квадраты. Для квадратов на двух сторонах произвольного треугольника получается параллелограмм равной площади по третьей стороне, а если две стороны являются катетами прямого угла, параллелограмм по третьей стороне также будет квадратным. Для прямоугольного треугольника два параллелограмма, прикрепленные к сторонам прямого угла, дают прямоугольник равной площади на третьей стороне, и снова, если два параллелограмма являются квадратами, то прямоугольник на третьей стороне также будет квадратом.

Доказательство

Из-за одинаковой длины и высоты основания параллелограммы ABDE и ABUH имеют одинаковую площадь; тот же аргумент применим к параллелограммам ACFG и ACVH , ABUH и BLQR , ACVH и RCMQ . Это уже дает желаемый результат, так как имеем:

{\begin{aligned}{\text{A}}_{ABDE}+{\text{A}}_{ACFG}&={\text{A}}_{ABUH}+{\text{A}}_{ACVH}\\&={\text{A}}_{BLQR}+{\text{A}}_{RCMQ}\\&={\text{A}}_{BCML}\end{aligned}}

Ссылки

Говард Ивз: Расширение Паппом теоремы Пифагора . Учитель математики, Vol. 51, № 7 (ноябрь 1958 г.), стр. 544–546 ( JSTOR )
Говард Ивс: Великие моменты в математике (до 1650 г.) . Математическая ассоциация Америки, 1983 г., ISBN 9780883853108 , с. 37 ( отрывок , стр. 37, в Google Книгах )
Эли Маор : Теорема Пифагора: 4000-летняя история . Издательство Принстонского университета, 2007, ISBN 9780691125268 , стр. 58–59 ( отрывок , стр. 58, в Google Книгах )
Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику . МАА, 2010, ISBN 9780883853481 , стр. 77–78 ( отрывок , стр. 77, в Google Книгах )

Внешние ссылки