Теорема о пересекающихся хордах

В евклидовой геометрии теорема о пересекающихся хордах или просто теорема о хорде — это утверждение, описывающее соотношение четырех отрезков прямой, созданных двумя пересекающимися хордами внутри круга . Он гласит, что произведения длин отрезков на каждой хорде равны. Это предложение 35 третьей книги Евклида » « Начал .

Точнее, для двух хорд $AC$ и $BD$ , пересекающихся в точке $S,$ справедливо уравнение:

|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|

Обратное также верно. То есть: если для двух отрезков $AC$ и $BD,$ пересекающихся в $S,$ справедливо приведенное выше уравнение , то их четыре конечные точки $A, B, C, D$ лежат на общей окружности. Другими словами, если диагонали четырехугольника и удовлетворяют $ABCD$ пересекаются в $S$ приведенному выше уравнению, то это вписанный четырехугольник .

Значение двух произведений в теореме о хорде зависит только от расстояния пересечения $S$ от центра окружности и называется абсолютным значением степени S $точки$ ; точнее, можно сказать, что:

|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|=r^{2}-d^{2}

где

r

— радиус круга, а

—

расстояние между центром круга и точкой пересечения

S.

d Это свойство следует непосредственно из применения теоремы о хорде к третьей хорде, проходящей через

S

и центр окружности

M

(см. рисунок).

Теорему можно доказать, используя подобные треугольники (с помощью теоремы о вписанном угле ). Рассмотрим углы треугольников $△ ASD$ и $△ BSC$ :

{\begin{aligned}\angle ADS&=\angle BCS\,({\text{inscribed angles over AB}})\\\angle DAS&=\angle CBS\,({\text{inscribed angles over CD}})\\\angle ASD&=\angle BSC\,({\text{opposing angles}})\end{aligned}}

Это означает, что треугольники

△ ASD

и

△ BSC

подобны и, следовательно,

{\frac {AS}{SD}}={\frac {BS}{SC}}\Leftrightarrow |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|

Наряду с теоремой о касательной-секущей и теоремой о пересекающихся секущих, теорема о пересекающихся хордах представляет собой один из трех основных случаев более общей теоремы о двух пересекающихся прямых и окружности - теоремы о степени точки .

Ссылки [ править ]

Пол Глейстер: Теорема о пересекающихся хордах: 30 лет спустя . Математика в школе, Vol. 36, № 1 (январь 2007 г.), с. 22 ( ДЖСТОР )
Брюс Шойер: Исследования в области геометрии . Мировая научная, 2010, ISBN 9789813100947 , с. 14
Ганс Шупп: Элементарная геометрия. Шенинг, Падерборн, 1977 г., ISBN 3-506-99189-2 , с. 149 (немецкий).
Студенческие чуваки - Математика И. Библиографический институт и Ф.А. Брокгауз, 8-е издание, Мангейм, 2008 г., ISBN 978-3-411-04208-1 , стр. 415-417 (немецкий)

Внешние ссылки [ править ]

Теорема о пересекающихся хордах на сайте Cut-the-knot.org
Теорема о пересекающихся хордах на сайтеproofwiki.org
Вайсштейн, Эрик В. «Аккорд» . Математический мир .
Две интерактивные иллюстрации: [1] и [2]