Теорема Аполлония

В геометрии связывающая теорема Аполлония — это теорема, длину медианы треугольника с длинами его сторон. Он гласит, что сумма квадратов любых двух сторон любого треугольника равна удвоенному квадрату половины третьей стороны, а также удвоенному квадрату медианы, делящей пополам третью сторону. Теорема названа в честь древнегреческого математика Аполлония Пергского .

Утверждение и связь с другой теоремой

В любом треугольнике $ABC,$ если $AD$ является медианой, то $|AB|^{2}+|AC|^{2}=2(|BD|^{2}+|AD|^{2}).$ Это частный случай теоремы Стюарта . Для равнобедренного треугольника с $|AB|=|AC|,$ медиана $AD$ перпендикулярен $BC$ и теорема сводится к теореме Пифагора для треугольника $ADB$ (или треугольник $ADC$ ). Из того, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, теорема эквивалентна закону параллелограмма .

Доказательство

Теорема может быть доказана как частный случай теоремы Стюарта или может быть доказана с использованием векторов (см. закон параллелограмма ). Ниже приводится независимое доказательство с использованием закона косинусов. ^{[ 1 ]}

Пусть у треугольника есть стороны $a,b,c$ с медианой $d$ оттянуто в сторону $a.$ Позволять $m$ быть длиной отрезков $a$ образовано медианой, поэтому $m$ это половина $a.$ Пусть углы, образованные между $a$ и $d$ быть $\theta$ и $\theta ^{\prime },$ где $\theta$ включает в себя $b$ и $\theta ^{\prime }$ включает в себя $c.$ Затем $\theta ^{\prime }$ является дополнением к $\theta$ и $\cos \theta ^{\prime }=-\cos \theta .$ Закон косинусов для $\theta$ и $\theta ^{\prime }$ заявляет, что ${\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta .\,\end{aligned}}$