Центральный угол

Угол АОВ является центральным углом.

Центральный угол — это угол, вершина (вершина) которого является центром O круга, а ножки (стороны) — это радиусы, пересекающие круг в двух различных точках A и B. Центральные углы между этими стягиваются дугой двумя точками, и — длина дуги это центральный угол круга радиуса один (измеряется в радианах ). дуги Центральный угол также известен как угловое расстояние . Длина дуги, охватываемой центральным углом сферы, называется сферическим расстоянием .

Размер центрального угла Θ составляет 0° < Θ < 360° или 0 < Θ < 2π (радианы). При определении или рисовании центрального угла, помимо указания точек A и B , необходимо указать, является ли определяемый угол выпуклым (<180°) или рефлекторным углом (>180°). Аналогично, необходимо указать, происходит ли движение из точки А в точку Б по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Формулы

Если точки пересечения А и В катетов угла с окружностью образуют диаметр , то Θ = 180° — прямой угол . (В радианах Θ = π .)

Пусть L — малая дуга окружности между точками A и B , а R — радиус окружности.

Центральный угол. Выпуклый. Опирается на малую дугу L

Если центральный угол Θ опирается на L , то

$$0^{\circ }<\Theta <180^{\circ }\,,\,\,\Theta =\left({\frac {180L}{\pi R}}\right)^{\circ }={\frac {L}{R}}.$$

Доказательство (для степеней)

Длина окружности радиуса R равна 2π R , а малая дуга L равна ( Θ / 360° ) пропорциональная часть всей окружности (см. дугу ). Так:

$$L={\frac {\Theta }{360^{\circ }}}\cdot 2\pi R\,\Rightarrow \,\Theta =\left({\frac {180L}{\pi R}}\right)^{\circ }.$$

Центральный угол. Рефлекс. Не ​ подчинён L

Доказательство (для радианов)

Длина окружности радиуса R равна 2π R , а малая дуга L равна ( Θ / 2π ) пропорциональная часть всей окружности (см. дугу ). Так

$$L={\frac {\Theta }{2\pi }}\cdot 2\pi R\,\Rightarrow \,\Theta ={\frac {L}{R}}.$$

Если центральный угол Θ опирается не на малую дугу L , то Θ является рефлекторным углом и

$$180^{\circ }<\Theta <360^{\circ }\,,\,\,\Theta =\left(360-{\frac {180L}{\pi R}}\right)^{\circ }=2\pi -{\frac {L}{R}}.$$

Если касательная в точке A и касательная в точке B пересекаются во внешней точке P , то, обозначая центр как O , углы ∠ BOA (выпуклый) и ∠ BPA являются дополнительными (в сумме равны 180°).

Центральный угол правильного многоугольника

Правильный многоугольник с n сторонами имеет описанную окружность , на которой лежат все его вершины, и центр круга также является центром многоугольника. Центральный угол правильного многоугольника образован в центре радиусами двух соседних вершин. Мерой этого угла является $2\pi /n.$

См. также

• Хорда (геометрия)
• Вписанный угол
• Навигация по большому кругу

Внешние ссылки

• «Центральный угол (окружности)» . Открытый справочник по математике. 2009 . Проверено 30 декабря 2013 г. интерактивный
• «Теорема о центральном угле» . Открытый справочник по математике. 2009 . Проверено 30 декабря 2013 г. интерактивный
• Вписанные и центральные углы в окружности