Расстояние большого круга

Расстояние по большому кругу , ортодромное расстояние или сферическое расстояние — это расстояние между двумя точками на сфере , измеренное вдоль дуги большого круга между ними. Эта дуга представляет собой кратчайший путь между двумя точками на поверхности сферы. (Для сравнения: кратчайший путь, проходящий через внутреннюю часть сферы, — это хорда между точками.)

На искривленной поверхности понятие прямых линий заменяется более общим понятием геодезических — кривых, локально прямых по отношению к поверхности. Геодезические на сфере — это большие круги, круги, центр которых совпадает с центром сферы.

Любые две различные точки на сфере, которые не являются антиподальными (диаметрально противоположными), лежат на единственном большом круге, который точки разделяют на две дуги; длина более короткой дуги равна расстоянию между точками по большому кругу. Эта длина дуги пропорциональна центральному углу между точками, который, если его измерить в радианах, сферы, можно увеличить на радиус чтобы получить длину дуги. Две противоположные точки лежат на бесконечном числе больших кругов, каждый из которых делится на две дуги длиной, $умноженной$ на радиус.

Определение расстояния по большому кругу является частью более общей задачи навигации по большому кругу , которая также вычисляет азимуты в конечных и промежуточных точках пути. Поскольку Земля имеет почти сферическую форму , формулы расстояния по большому кругу, применяемые к долготе и геодезической широте точек на Земле, имеют точность примерно с точностью до 0,5%. ^[1]

Формулы

Позволять $\lambda _{1},\phi _{1}$ и $\lambda _{2},\phi _{2}$ быть географической долготой и широтой двух точек 1 и 2, и $\Delta \lambda ,\Delta \phi$ быть их абсолютными различиями; затем $\Delta \sigma$ , центральный угол между ними, определяется сферическим законом косинусов, если один из полюсов используется как вспомогательная третья точка на сфере: ^[2]

\Delta \sigma =\arccos {\bigl (}\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda {\bigr )}.

Задача обычно выражается в терминах нахождения центрального угла. $\Delta \sigma$ . Учитывая этот угол в радианах, фактическую длину дуги d на сфере радиуса r можно тривиально вычислить как

d=r\,\Delta \sigma .

Связь между центральным углом и длиной хорды

Центральный угол $\Delta \sigma$ связано с длиной хорды единичной сферы $\Delta \sigma _{\text{c}}\,\!$ :

{\begin{aligned}\Delta \sigma &=2\arcsin {\frac {\Delta \sigma _{\text{c}}}{2}},\\\Delta \sigma _{\text{c}}&=2\sin {\frac {\Delta \sigma }{2}}.\end{aligned}}

Для ближнего приближения ( $|\Delta \sigma _{\text{c}}|\ll 1$ ),

\Delta \sigma =\Delta \sigma _{\text{c}}\left(1+{\frac {1}{24}}\left(\Delta \sigma _{\text{c}}\right)^{2}+\cdots \right).

Вычислительные формулы

В компьютерных системах с низкой точностью с плавающей запятой формула сферического закона косинусов может иметь большие ошибки округления , если расстояние небольшое (если две точки находятся на расстоянии километра друг от друга на поверхности Земли, косинус центрального угла близок к 0,99999999). ). Для современных 64-битных чисел с плавающей запятой формула сферического закона косинусов, приведенная выше, не имеет серьезных ошибок округления для расстояний, превышающих несколько метров на поверхности Земли. ^[3] Формула хаверсинуса для численно лучше обусловлена небольших расстояний за счет использования соотношения длины хорды: ^[4]

{\begin{aligned}\Delta \sigma &=\operatorname {archav} \left(\operatorname {hav} \left(\Delta \phi \right)+\left(1-\operatorname {hav} (\Delta \phi )-\operatorname {hav} (\phi _{1}+\phi _{2})\right)\operatorname {hav} \left(\Delta \lambda \right)\right).\end{aligned}}

Исторически использование этой формулы упрощалось наличием таблиц для функции гаверсинус : $\operatorname {hav} \theta =\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}$ и $\operatorname {archav} x=2\arcsin {\sqrt {x}}$ .

Ниже показана эквивалентная формула, явно выражающая длину хорды:

{\begin{aligned}\Delta \sigma _{\text{c}}&=2{\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \phi }{2}}\right)+\cos {\phi _{1}}\cdot \cos {\phi _{2}}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)}}\ ,\\&=2{\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\right)^{2}}}\ ,\end{aligned}}

где $\phi _{\text{m}}={\tfrac {1}{2}}(\phi _{1}+\phi _{2})$ .

Хотя эта формула точна для большинства расстояний на сфере, она также страдает ошибками округления для особого (и несколько необычного) случая противоположных точек. Формула, точная для всех расстояний, представляет собой следующий частный случай формулы Винсенти для эллипсоида с равными большой и малой осями: ^[5]

{\begin{aligned}\Delta \sigma ={\operatorname {atan2} }{\Bigl (}&{\sqrt {\left(\cos \phi _{2}\sin \Delta \lambda \right)^{2}+\left(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda \right)^{2}}},\\&\quad {\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda }{\Bigr )},\end{aligned}}

где ⁠ $\operatorname {atan2} (y,x)$ ⁠ — арктангенс с двумя аргументами . Использование atan2 гарантирует, что выбран правильный квадрант.

Векторная версия

Другое представление подобных формул, но с использованием нормальных векторов вместо широты и долготы для описания положений, находится с помощью 3D- векторной алгебры , используя скалярное произведение , векторное произведение или их комбинацию: ^[6]

{\begin{aligned}\Delta \sigma &=\arccos \left(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}\right)\\&=\arcsin \left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|\\&=\arctan {\frac {\left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|}{\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}}}\\\end{aligned}}

где $\mathbf {n} _{1}$ и $\mathbf {n} _{2}$ являются нормалями к сфере в двух положениях 1 и 2. Подобно приведенным выше уравнениям, основанным на широте и долготе, выражение, основанное на арктанге, является единственным, которое хорошо обусловлено для всех углов . Выражение, основанное на арктанге, требует величины векторного произведения по скалярному произведению.

От длины хорды

Линия, проходящая через трехмерное пространство между точками интереса на сферической Земле, является хордой большого круга между точками. Центральный угол между двумя точками можно определить по длине хорды. Расстояние по большому кругу пропорционально центральному углу.

Длина хорды большого круга, $\Delta \sigma _{\text{c}}\,\!$ , может быть рассчитано для соответствующей единичной сферы посредством декартова вычитания следующим образом :

{\begin{aligned}\Delta {X}&=\cos \phi _{2}\cos \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\cos \lambda _{1};\\\Delta {Y}&=\cos \phi _{2}\sin \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\sin \lambda _{1};\\\Delta {Z}&=\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1};\\\Delta \sigma _{\text{c}}&={\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}+(\Delta {Z})^{2}}}.\end{aligned}}

Замена $\lambda _{1}=-{\tfrac {1}{2}}\Delta \lambda$ и $\lambda _{2}={\tfrac {1}{2}}\Delta \lambda$ эту формулу можно алгебраически преобразовать в форму, показанную выше в § Вычислительные формулы .

Радиус сферической Земли

Форма Земли очень напоминает приплюснутую сферу ( сфероид ) с экваториальным радиусом. $a$ протяженностью 6378,137 км; расстояние $b$ от центра сфероида до каждого полюса — 6356,7523142 км. При расчете длины короткой линии север-юг на экваторе круг, который лучше всего соответствует этой линии, имеет радиус ${\textstyle {\frac {b^{2}}{a}}}$ меридиана (что соответствует полуширотной прямой кишке ), или 6335,439 км, тогда как сфероид на полюсах лучше всего аппроксимируется сферой радиуса ${\textstyle {\frac {a^{2}}{b}}}$ , или 6399,594 км, разница 1%. Пока предполагается, что Земля имеет сферическую форму, любая отдельная формула для определения расстояния на Земле гарантированно верна только в пределах 0,5% (хотя возможна более высокая точность, если формула предназначена только для применения к ограниченной области). Используя средний радиус Земли , ${\textstyle R_{1}={\frac {1}{3}}(2a+b)\approx 6371.009{\text{ km}}}$ (для эллипсоида WGS84 ) означает, что в пределе малого уплощения среднеквадратическая относительная ошибка в оценках расстояния минимизируется. ^[7]

Для расстояний менее 500 километров и за пределами полюсов евклидово приближение эллипсоидальной Земли ( формула FCC ) одновременно проще и точнее (до 0,1%). ^[8]

См. также

Ссылки и примечания

^ Адмиралтейское руководство по навигации, том 1 , Канцелярия, 1987, с. 10, ISBN 9780117728806 , Ошибки, возникающие при предположении, что Земля имеет сферическую форму, исходя из международной морской мили, составляют не более 0,5% для широты и 0,2% для долготы.
^ Келлс, Лайман М.; Керн, Уиллис Ф.; Бланд, Джеймс Р. (1940). Плоская и сферическая тригонометрия . McGraw Hill Book Company, Inc., стр 323–326 . . Проверено 13 июля 2018 г.
^ «Рассчитать расстояние, азимут и многое другое между точками широты и долготы» . Проверено 10 августа 2013 г.
^ Синнотт, Роджер В. (август 1984 г.). «Достоинства Гаверсина». Небо и телескоп . 68 (2): 159.
^ Винсенти, Таддеус (1 апреля 1975 г.). «Прямые и обратные решения геодезических на эллипсоиде с применением вложенных уравнений» (PDF) . Обзор опроса . 23 (176). Кингстон-роуд, Толворт, Суррей: Управление зарубежных исследований : 88–93. дои : 10.1179/sre.1975.23.176.88 . Проверено 21 июля 2008 г.
^ Гейд, Кеннет (2010). «Неособое представление горизонтального положения» (PDF) . Журнал навигации . 63 (3). Издательство Кембриджского университета: 395–417. дои : 10.1017/S0373463309990415 .
^ Маккоу, GT (1932). «Длинные очереди на Земле». Обзор обзора империи . 1 (6): 259–263. дои : 10.1179/sre.1932.1.6.259 .
^
- Агафонкин Владимир (30 августа 2017 г.). «Быстрые геодезические аппроксимации с помощью дешевой линейки» . Картбокс .
- «картбокс/дешевая линейка» . Картбокс. 10 мая 2024 г.

Внешние ссылки

GreatCircle в MathWorld

[1] Адмиралтейское руководство по навигации, том 1 , Канцелярия, 1987, с. 10, ISBN 9780117728806 , Ошибки, возникающие при предположении, что Земля имеет сферическую форму, исходя из международной морской мили, составляют не более 0,5% для широты и 0,2% для долготы.

[2] Келлс, Лайман М.; Керн, Уиллис Ф.; Бланд, Джеймс Р. (1940). Плоская и сферическая тригонометрия . McGraw Hill Book Company, Inc., стр 323–326 . . Проверено 13 июля 2018 г.

[3] «Рассчитать расстояние, азимут и многое другое между точками широты и долготы» . Проверено 10 августа 2013 г.

[4] Синнотт, Роджер В. (август 1984 г.). «Достоинства Гаверсина». Небо и телескоп . 68 (2): 159.

[5] Винсенти, Таддеус (1 апреля 1975 г.). «Прямые и обратные решения геодезических на эллипсоиде с применением вложенных уравнений» (PDF) . Обзор опроса . 23 (176). Кингстон-роуд, Толворт, Суррей: Управление зарубежных исследований : 88–93. дои : 10.1179/sre.1975.23.176.88 . Проверено 21 июля 2008 г.

[6] Гейд, Кеннет (2010). «Неособое представление горизонтального положения» (PDF) . Журнал навигации . 63 (3). Издательство Кембриджского университета: 395–417. дои : 10.1017/S0373463309990415 .

[mccaw32-7] Маккоу, GT (1932). «Длинные очереди на Земле». Обзор обзора империи . 1 (6): 259–263. дои : 10.1179/sre.1932.1.6.259 .

[8] 
Агафонкин Владимир (30 августа 2017 г.). «Быстрые геодезические аппроксимации с помощью дешевой линейки» . Картбокс .
«картбокс/дешевая линейка» . Картбокс. 10 мая 2024 г.

[9] Агафонкин Владимир (30 августа 2017 г.). «Быстрые геодезические аппроксимации с помощью дешевой линейки» . Картбокс .

[10] «картбокс/дешевая линейка» . Картбокс. 10 мая 2024 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]