Навигация по большому кругу

Навигация по большому кругу или ортодромная навигация (связанная с ортодромическим курсом ; от древнегреческого ορθός ( orthós ) «прямой угол» и δρόμος ( dromos ) «путь») — это практика навигации судна ( корабля или самолета ) по большому кругу. круг . Такие маршруты дают кратчайшее расстояние между двумя точками земного шара. ^[1]

Курс

Путь большого круга можно найти с помощью сферической тригонометрии ; это сферическая версия обратной геодезической задачи .Если мореплаватель начинает с P ₁ = (φ ₁ ,λ ₁ ) и планирует пройти большой круг до точки в точке P ₂ = (φ ₂ , λ ₂ ) (см. рис. 1, φ — это широта, положительная в направлении на север). , а λ — долгота, положительная в восточном направлении), начальный и конечный курсы α ₁ и α ₂ заданы по формулам решения сферического треугольника

{\begin{aligned}\tan \alpha _{1}&={\frac {\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12}}{\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\cos \phi _{1}\sin \lambda _{12}}{-\cos \phi _{2}\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2}\cos \phi _{1}\cos \lambda _{12}}},\\\end{aligned}}

где λ ₁₂ = λ ₂ − λ ₁^{[примечание 1]}а квадранты α ₁ ,α ₂ определяются знаками числителя и знаменателя в формулах касательных (например, с помощью функции atan2 ).Центральный угол между двумя точками σ ₁₂ определяется выражением

\tan \sigma _{12}={\frac {\sqrt {(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12})^{2}+(\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12})^{2}}}{\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}}.

^{[примечание 2]}^{[примечание 3]}

(В числителе этой формулы стоят величины, которые использовались для определениязагар α ₁ .)Тогда расстояние вдоль большого круга будет s ₁₂ = R σ ₁₂ , где R — предполагаемый радиус.Земли, а σ ₁₂ выражается в радианах .Используя средний радиус Земли , R = R ₁ ≈ 6371 км (3959 миль) дает результаты длярасстояние s ₁₂ , находящееся в пределах 1% геодезической длины эллипсоида WGS84 ; см . в разделе «Геодезика на эллипсоиде» подробности .

Связь с геоцентрической системой координат

Угол положения точки t в точке s — это угол, под которым зеленый и большой пунктирный круги пересекаются в **точке s** . Единичные направления $u E$ , $u N$ и ось вращения $ω$ отмечены стрелками.

Детальная оценка оптимального направления возможна, если поверхность моря аппроксимировать поверхностью сферы. Стандартные вычисления помещают корабль на геодезическую широту $φ s$ и геодезическую долготу $λ s$ , где $φ$ считается положительным, если к северу от экватора, и где $λ$ считается положительным, если к востоку от Гринвича . В геоцентрической системе координат с центром в центре сферы декартовы компоненты равны

{\mathbf {s} }=R\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{s}\cos \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\\\sin \varphi _{s}\end{array}}\right)

и целевая позиция

{\mathbf {t} }=R\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t}\\\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}\\\sin \varphi _{t}\end{array}}\right).

Северный полюс находится в

{\mathbf {N} }=R\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right).

Минимальное расстояние $d$ — это расстояние по большому кругу, проходящему через $точки s$ и $t$ . Он рассчитывается в плоскости, содержащей центр сферы и большой круг .

d_{s,t}=R\theta _{s,t}

где $θ$ — угловое расстояние между двумя точками, если смотреть из центра сферы, измеряемое в радианах . Косинус угла вычисляется скалярным произведением двух векторов.

\mathbf {s} \cdot \mathbf {t} =R^{2}\cos \theta _{s,t}=R^{2}(\sin \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s}))

Если судно движется прямо к Северному полюсу, расстояние пути составит

d_{s,N}=R\theta _{s,N}=R(\pi /2-\varphi _{s})

Если корабль стартует в точке $t$ и плывет прямо к Северному полюсу, расстояние путешествия составит

d_{t,N}=R\theta _{t,n}=R(\pi /2-\varphi _{t})

Вывод

Формула косинуса сферической тригонометрии ^[4] урожайность для угол $p$ между большими кругами через $s$ , которые указывают на север с одной стороны и на $t$ с другой стороны

\cos \theta _{t,N}=\cos \theta _{s,t}\cos \theta _{s,N}+\sin \theta _{s,t}\sin \theta _{s,N}\cos p.

\sin \varphi _{t}=\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}+\sin \theta _{s,t}\cos \varphi _{s}\cos p.

Формула синуса дает

{\frac {\sin p}{\sin \theta _{t,N}}}={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\sin \theta _{s,t}}}.

Решение этого вопроса для $sin θ s,t$ и подстановка в предыдущую формулу дают выражение для тангенса позиционного угла:

\sin \varphi _{t}=\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}+{\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\sin p}}\cos \varphi _{t}\cos \varphi _{s}\cos p;

\tan p={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})\cos \varphi _{t}\cos \varphi _{s}}{\sin \varphi _{t}-\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}}}.

Дополнительная информация

Поскольку краткий вывод дает угол между 0 и $π$ , который не раскрывает знак (запад или восток от севера?), желателен более явный вывод, который дает отдельно синус и косинус $p,$ так что использование правильной ветви обратная тангенс позволяет получить угол во всем диапазоне $-π\leqp\leqπ$ .

Вычисления начинаются с построения большого круга между $s$ и $t$ . Он лежит в плоскости, содержащей центр сферы $s$ и $t$ , и построен с вращением $s$ на угол $θ s,t$ вокруг оси $ω$ . Ось перпендикулярна плоскости большого круга и вычисляется как нормализованное векторное произведение двух позиций:

\mathbf {\omega } ={\frac {1}{R^{2}\sin \theta _{s,t}}}\mathbf {s} \times \mathbf {t} ={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}\\\sin \varphi _{s}\cos \lambda _{t}\cos \varphi _{t}-\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}\cos \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})\end{array}}\right).

Правосторонняя наклонная система координат с центром в центре сферы определяется выражениемпо трем осям:ось $s$ , ось

\mathbf {s} _{\perp }=\omega \times {\frac {1}{R}}\mathbf {s} ={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t}(\sin ^{2}\varphi _{s}+\cos ^{2}\varphi _{s}\sin ^{2}\lambda _{s})-\cos \lambda _{s}(\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos ^{2}\varphi _{s}\sin \lambda _{s}\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t})\\\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}(\sin ^{2}\varphi _{s}+\cos ^{2}\varphi _{s}\cos ^{2}\lambda _{s})-\sin \lambda _{s}(\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos ^{2}\varphi _{s}\cos \lambda _{s}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t})\\\cos \varphi _{s}[\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})]\end{array}}\right)

и ось $ω$ .Позиция вдоль большого круга

\mathbf {s} (\theta )=\cos \theta \mathbf {s} +\sin \theta \mathbf {s} _{\perp },\quad 0\leq \theta \leq 2\pi .

Направление компаса задается путем вставки двух векторов $и$ вычисления $градиента s и s⊥$ вектора относительно $θ$ при $θ=0$ .

{\frac {\partial }{\partial \theta }}\mathbf {s} _{\mid \theta =0}=\mathbf {s} _{\perp }.

Угол $p$ задается путем разделения этого направления на два ортогональных направления в плоскости, касательной к сфере в точке $s$ . Два направления задаются частными производными $s$ по $φ$ и по $λ$ , нормированными на единицу длины:

\mathbf {u} _{N}=\left({\begin{array}{c}-\sin \varphi _{s}\cos \lambda _{s}\\-\sin \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\end{array}}\right);

\mathbf {u} _{E}=\left({\begin{array}{c}-\sin \lambda _{s}\\\cos \lambda _{s}\\0\end{array}}\right);

\mathbf {u} _{N}\cdot \mathbf {s} =\mathbf {u} _{E}\cdot \mathbf {u} _{N}=0

$u N$ указывает на север, а $u E$ указывает на восток в позиции $s$ .Позиционный угол $p$ проецируется $s ⊥$ в эти два направления,

\mathbf {s} _{\perp }=\cos p\,\mathbf {u} _{N}+\sin p\,\mathbf {u} _{E}

,

где положительный знак означает, что положительные углы положения определяются как север над востоком. Значения косинуса и синуса $p$ вычисляются путем умножения этого уравнения с обеих сторон на два единичных вектора:

\cos p=\mathbf {s} _{\perp }\cdot \mathbf {u} _{N}={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}[\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})];

\sin p=\mathbf {s} _{\perp }\cdot \mathbf {u} _{E}={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}[\cos \varphi _{t}\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})].

Вместо вставки запутанного выражения $s ⊥$ при оценке может использоваться тот факт, что тройное произведение инвариантно относительно кругового сдвига.из аргументов:

\cos p=(\mathbf {\omega } \times {\frac {1}{R}}\mathbf {s} )\cdot \mathbf {u} _{N}=\omega \cdot ({\frac {1}{R}}\mathbf {s} \times \mathbf {u} _{N}).

Если atan2 для вычисления значения используется $, оба выражения можно уменьшить делением на cos φ t$ и умножение на $sin θ s,t$ ,поскольку эти значения всегда положительны и эта операция не меняет знака; тогда эффективно

\tan p={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\cos \varphi _{s}\tan \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})}}.

Поиск путевых точек

Чтобы найти путевые точки , то есть положения выбранных точек на большом круге между P ₁ и P ₂ , мы сначала экстраполируем большой круг обратно в его узел A , точкув котором большой круг пересекаетэкватор в направлении на север: пусть долгота этой точки равна λ ₀ — см. рис. 1. Азимут в этой точке α ₀ определяется выражением

\tan \alpha _{0}={\frac {\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1}}{\sqrt {\cos ^{2}\alpha _{1}+\sin ^{2}\alpha _{1}\sin ^{2}\phi _{1}}}}.

^{[примечание 4]}

Пусть угловые расстояния по большому кругу от А до Р ₁ и Р ₂ равны σ ₀₁ и σ ₀₂ соответственно. Тогда, используя правила Нейпира, имеем

\tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}}{\cos \alpha _{1}}}\qquad

(Если φ ₁ = 0 и α ₁ = 1 ⁄ 2 π, используйте σ ₀₁ = 0).

Это дает σ ₀₁ , откуда σ ₀₂ = σ ₀₁ + σ ₁₂ .

Долгота в узле находится по формуле

{\begin{aligned}\tan \lambda _{01}&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma _{01}}{\cos \sigma _{01}}},\\\lambda _{0}&=\lambda _{1}-\lambda _{01}.\end{aligned}}

Наконец, вычислите положение и азимут в произвольной точке P (см. рис. 2) с помощью сферической версии прямой геодезической задачи . ^{[примечание 5]} Правила Нейпира дают

{\color {white}.\,\qquad )}\tan \phi ={\frac {\cos \alpha _{0}\sin \sigma }{\sqrt {\cos ^{2}\sigma +\sin ^{2}\alpha _{0}\sin ^{2}\sigma }}},

^{[примечание 6]}

{\begin{aligned}\tan(\lambda -\lambda _{0})&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma }{\cos \sigma }},\\\tan \alpha &={\frac {\tan \alpha _{0}}{\cos \sigma }}.\end{aligned}}

Функцию atan2 следует использовать для определенияσ ₀₁ ,λ и α.Например, чтобы найтисередина пути, замените σ = 1 ⁄ 2 (σ ₀₁ + σ ₀₂ ); альтернативночтобы найти точку на расстоянии d от начальной точки, возьмем σ = σ ₀₁ + d / R .Точно так же вершина , точка на великомкруг с наибольшей широтой находится путем замены σ = + 1 ⁄ 2 π.Может быть удобно параметризовать маршрут по долготе, используя

\tan \phi =\cot \alpha _{0}\sin(\lambda -\lambda _{0}).

^{[примечание 7]}

Можно найти широты через равные промежутки времени и полученные положения перенести на карту Меркатора.позволяя аппроксимировать большой круг серией румбических линий . Путь определяется таким образомдает большой эллипс, соединяющий конечные точки, при условии, что координаты $(\phi ,\lambda )$ интерпретируются как географические координаты на эллипсоиде.

Эти формулы применимы к сферической модели Земли. Они также используются при определении большого круга на вспомогательной сфере , которая представляет собой устройство для поиска кратчайшего пути, или геодезической , на эллипсоиде вращения; см. статью о геодезике на эллипсоиде .

Пример

Вычислите маршрут большого круга от Вальпараисо ,φ ₁ = −33°,λ ₁ = −71,6°, до Шанхай ,φ ₂ = 31,4°,λ ₂ = 121,8°.

Формулы курса и расстояния даютλ ₁₂ = −166,6°, ^{[примечание 8]}α ₁ = −94,41°,α ₂ = −78,42°, иσ ₁₂ = 168,56°. Принимая радиус Земли за R = 6371 км, расстояние с ₁₂ = 18743 км.

Чтобы вычислить точки на маршруте, сначала найдитеα ₀ = −56,74°,σ ₀₁ = −96,76°,σ ₀₂ = 71,8°,λ ₀₁ = 98,07°, иλ ₀ = −169,67°.Затем, чтобы вычислить середину маршрута (например), возьмитеσ = 1 ⁄ 2 (σ ₀₁ + σ ₀₂ ) = −12,48° и решаемдляφ = −6,81°,λ = −159,18°, иα = −57,36°.

Если геодезическая рассчитана точно на эллипсоиде WGS84 , ^[5] результатыявляются α ₁ = −94,82°, α ₂ = −78,29° и с ₁₂ = 18752 км. Середина геодезической – этоφ = −7,07°, λ = −159,31°,α = −57,45°.

Гномоническая диаграмма

Прямая линия, нарисованная на гномической карте, является частью большого круга. Когда это переносится на карту Меркатора , оно становится кривой. Позиции переносятся на удобный интервал долготы и этот трек наносится на карту Меркатора для навигации.

См. также

Примечания

^ В статье о расстояниях по большому кругу ,обозначение Δλ = λ ₁₂ Δσ = σ ₁₂и используется . Обозначения в этой статье необходимы для того, чтобыиметь дело с различиями между другими точками, например, λ ₀₁ .
^ Более простая формула:
$\cos \sigma _{12}=\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12};$
однако это численно менее точно, если σ ₁₂ мало.
^ Эти уравнения для α ₁ ,α ₂ ,σ ₁₂ подходят для реализациина современных калькуляторах и компьютерах. Для ручных вычислений с логарифмами Деламбра Аналогии ^[2] обычно использовались:
${\begin{aligned}\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12}.\end{aligned}}$
Маккоу ^[3] называет эти уравнения имеющими «логарифмическую форму», под этим он подразумеваетчто все тригонометрические члены выглядят как произведения; это сводит к минимуму количество поисков таблицынеобходимый. Кроме того, избыточность в этих формулах служит проверкой при ручных расчетах. Если вы используетеэтих уравнений для определения более короткого пути по большому кругу необходимо обеспечитьчто |λ ₁₂ | ≤ π (иначе будет найден более длинный путь).
^ Более простая формула:
$\sin \alpha _{0}=\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1};$
однако это менее точноα ₀ ≈ ± 1 ⁄ 2 π.
^ Прямая геодезическая задача: найти положение P ₂ по заданным P ₁ , α ₁ ,и s ₁₂ также можно решить с помощью формулы решения сферического треугольника , такие как:
${\begin{aligned}\sigma _{12}&=s_{12}/R,\\\sin \phi _{2}&=\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1},\quad {\text{or}}\\\tan \phi _{2}&={\frac {\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}{\sqrt {(\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1})^{2}+(\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1})^{2}}}},\\\tan \lambda _{12}&={\frac {\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1}}{\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}},\\\lambda _{2}&=\lambda _{1}+\lambda _{12},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\sin \alpha _{1}}{\cos \sigma _{12}\cos \alpha _{1}-\tan \phi _{1}\sin \sigma _{12}}}.\end{aligned}}$
Решение для путевых точек, данное в основном тексте, является более общим, чем это решение, в том смысле, чтоэто позволяетточки пути на заданной долготе, которые необходимо найти. Кроме того, решение для σ(т. е. положение узла)необходим при нахождении геодезических на эллипсоиде с помощью вспомогательной сферы.
^ Более простая формула:
$\sin \phi =\cos \alpha _{0}\sin \sigma ;$
однако это менее точно, когдаφ ≈ ± 1 ⁄ 2 π
^ Используется следующее: $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$
^ λ ₁₂уменьшается до диапазона [-180°, 180°] путем добавления или вычитания 360° какнеобходимый

Ссылки

^ Адам Вайнтрит; Томаш Нойманн (7 июня 2011 г.). Методы и алгоритмы в навигации: Морская навигация и безопасность морского транспорта . ЦРК Пресс . стр. 139–. ISBN 978-0-415-69114-7 .
^ Тодхантер, И. (1871). Сферическая тригонометрия (3-е изд.). Макмиллан. п. 26 .
^ Маккоу, GT (1932). «Длинные очереди на Земле». Обзор обзора империи . 1 (6): 259–263. дои : 10.1179/sre.1932.1.6.259 .
^ Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 4.3.149». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . МР 0167642 . LCCN 65-12253 .
^ Карни, CFF (2013). «Алгоритмы геодезических работ» . Журнал геодезии . 87 (1): 43–55. arXiv : 1109.4448 . Бибкод : 2013JGeod..87...43K . дои : 10.1007/s00190-012-0578-z .

Внешние ссылки

Большой круг - из описания, рисунков и уравнений MathWorld Great Circle. Mathworld, Wolfram Research, Inc., 1999 г.
Карта большого круга Интерактивный инструмент для построения маршрутов по большому кругу на сфере.
Great Circle Mapper Интерактивный инструмент для построения маршрутов по большим кругам.
Калькулятор Большого круга, рассчитывающий (начальный) курс и расстояние между двумя точками.
Great Circle Distance Графический инструмент для рисования больших кругов на картах. Также показывает расстояние и азимут в таблице.
Программа помощи Google для ортодромной навигации

[2] В статье о расстояниях по большому кругу ,обозначение Δλ = λ ₁₂ Δσ = σ ₁₂и используется . Обозначения в этой статье необходимы для того, чтобыиметь дело с различиями между другими точками, например, λ ₀₁ .

[3] Более простая формула:
$\cos \sigma _{12}=\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12};$
однако это численно менее точно, если σ ₁₂ мало.

[6] Эти уравнения для α ₁ ,α ₂ ,σ ₁₂ подходят для реализациина современных калькуляторах и компьютерах. Для ручных вычислений с логарифмами Деламбра Аналогии ^[2] обычно использовались:
${\begin{aligned}\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12}.\end{aligned}}$
Маккоу ^[3] называет эти уравнения имеющими «логарифмическую форму», под этим он подразумеваетчто все тригонометрические члены выглядят как произведения; это сводит к минимуму количество поисков таблицынеобходимый. Кроме того, избыточность в этих формулах служит проверкой при ручных расчетах. Если вы используетеэтих уравнений для определения более короткого пути по большому кругу необходимо обеспечитьчто |λ ₁₂ | ≤ π (иначе будет найден более длинный путь).

[8] Более простая формула:
$\sin \alpha _{0}=\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1};$
однако это менее точноα ₀ ≈ ± 1 ⁄ 2 π.

[9] Прямая геодезическая задача: найти положение P ₂ по заданным P ₁ , α ₁ ,и s ₁₂ также можно решить с помощью формулы решения сферического треугольника , такие как:
${\begin{aligned}\sigma _{12}&=s_{12}/R,\\\sin \phi _{2}&=\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1},\quad {\text{or}}\\\tan \phi _{2}&={\frac {\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}{\sqrt {(\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1})^{2}+(\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1})^{2}}}},\\\tan \lambda _{12}&={\frac {\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1}}{\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}},\\\lambda _{2}&=\lambda _{1}+\lambda _{12},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\sin \alpha _{1}}{\cos \sigma _{12}\cos \alpha _{1}-\tan \phi _{1}\sin \sigma _{12}}}.\end{aligned}}$
Решение для путевых точек, данное в основном тексте, является более общим, чем это решение, в том смысле, чтоэто позволяетточки пути на заданной долготе, которые необходимо найти. Кроме того, решение для σ(т. е. положение узла)необходим при нахождении геодезических на эллипсоиде с помощью вспомогательной сферы.

[10] Более простая формула:
$\sin \phi =\cos \alpha _{0}\sin \sigma ;$
однако это менее точно, когдаφ ≈ ± 1 ⁄ 2 π

[11] Используется следующее: $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$

[12] λ ₁₂уменьшается до диапазона [-180°, 180°] путем добавления или вычитания 360° какнеобходимый

[WeintritNeumann2011-1] Адам Вайнтрит; Томаш Нойманн (7 июня 2011 г.). Методы и алгоритмы в навигации: Морская навигация и безопасность морского транспорта . ЦРК Пресс . стр. 139–. ISBN 978-0-415-69114-7 .

[4] Тодхантер, И. (1871). Сферическая тригонометрия (3-е изд.). Макмиллан. п. 26 .

[5] Маккоу, GT (1932). «Длинные очереди на Земле». Обзор обзора империи . 1 (6): 259–263. дои : 10.1179/sre.1932.1.6.259 .

[AS-7] Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 4.3.149». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . МР 0167642 . LCCN 65-12253 .

[13] Карни, CFF (2013). «Алгоритмы геодезических работ» . Журнал геодезии . 87 (1): 43–55. arXiv : 1109.4448 . Бибкод : 2013JGeod..87...43K . дои : 10.1007/s00190-012-0578-z .

[1]

[примечание 1]

[примечание 2]

[примечание 3]

[4]

[примечание 4]

[примечание 5]

[примечание 6]

[примечание 7]

[примечание 8]

[5]

[2]

[3]