Большой эллипс

Чтобы узнать о кратчайшем пути между двумя точками на Земле, см. Геодезические на эллипсоиде .

Сфероид ​

Большой эллипс — это эллипс, через две точки сфероида проходящий и имеющий тот же центр , что и у сфероида. Эквивалентно, это эллипс на поверхности сфероида с центром в начале координат или кривая, образованная пересечением сфероида плоскостью, проходящей через его центр. Для точек, которые разделены менее чем примерно четвертью окружности Земли , около $10\,000\,\mathrm {km}$, длина большого эллипса, соединяющего точки, близка (в пределах одной 500 000-й части) к геодезическому расстоянию . Поэтому большой эллипс иногда предлагается как подходящий маршрут для морской навигации.Большой эллипс — это частный случай пути сечения Земли .

Введение

Предположим, что сфероид — эллипсоид вращения имеет экваториальный радиус. $a$ и полярная полуось $b$. Определите сглаживание $f=(a-b)/a$, эксцентриситет $e={\sqrt {f(2-f)}}$, а второй эксцентриситет $e'=e/(1-f)$. Учтите два момента: $A$ на (географической) широте $\phi _{1}$ и долгота $\lambda _{1}$ и $B$ на широте $\phi _{2}$ и долгота $\lambda _{2}$. Соединяющий большой эллипс (из $A$ к $B$) имеет длину $s_{12}$ и имеет азимуты $\alpha _{1}$ и $\alpha _{2}$ в двух конечных точках.

Существуют различные способы отображения эллипсоида в сферу радиуса. $a$ методы навигации по большому кругу таким образом, чтобы отобразить большой эллипс в большой круг, что позволяет использовать :

• Эллипсоид можно растянуть в направлении, параллельном оси вращения; это отображает точку широты $\phi$ на эллипсоиде в точку на сфере с широтой $\beta$, параметрическая широта .
• Точку на эллипсоиде можно нанести на сферу радиально вдоль линии, соединяющей ее с центром эллипсоида; это отображает точку широты $\phi$ на эллипсоиде в точку на сфере с широтой $\theta$, геоцентрическая широта .
• Эллипсоид можно растянуть в вытянутый эллипсоид с полярной полуосью. $a^{2}/b$ а затем радиально наносится на сферу; это сохраняет широту - широта на сфере равна $\phi$, географическая широта .

Последний метод дает простой способ создать последовательность путевых точек на большом эллипсе, соединяющем две известные точки. $A$ и $B$. Найдите большой круг между $(\phi _{1},\lambda _{1})$ и $(\phi _{2},\lambda _{2})$ и найдите путевые точки на большом круге . Они отображаются в путевые точки на соответствующем большом эллипсе.

Сопоставление большого эллипса с большим кругом

Если нужны расстояния и направления, проще всего использовать первое из отображений. Подробно отображение выглядит следующим образом (это описание взято из ):

• Географическая широта $\phi$ на картах эллипсоида до параметрической широты $\beta$ на сфере, где

  $a\tan \beta =b\tan \phi .$

• Долгота $\lambda$ неизменен.
• Азимут $\alpha$ на эллипсоидных картах по азимуту $\gamma$ на сфере, где

  ${\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {\tan \gamma }{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\beta }}},\\\tan \gamma &={\frac {\tan \alpha }{\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{2}\phi }}},\end{aligned}}$

  и квадранты $\alpha$ и $\gamma$ одинаковы.
• Позиции на большом круге радиуса $a$ параметризуются длиной дуги $\sigma$ измеряется от точки пересечения экватора на север. Большой эллипс имеет полуоси $a$ и $a{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\gamma _{0}}}$, где $\gamma _{0}$ - азимут большого круга при пересечении экватора на север, и $\sigma$ - параметрический угол на эллипсе.

(Аналогичное отображение на вспомогательную сферу осуществляется при решении геодезических на эллипсоиде . Отличия заключаются в том, что азимут $\alpha$ сохраняется при отображении, а долгота $\lambda$ соответствует «сферической» долготе $\omega$. Эквивалентный эллипс, используемый для расчета расстояний, имеет полуоси. $b{\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{2}\alpha _{0}}}$ и $b$.)

Решение обратной задачи

«Обратная задача» – это определение $s_{12}$, $\alpha _{1}$, и $\alpha _{2}$, учитывая позиции $A$ и $B$. Это решается вычислением $\beta _{1}$ и $\beta _{2}$ и решение большого круга между $(\beta _{1},\lambda _{1})$ и $(\beta _{2},\lambda _{2})$.

Сферические азимуты переименованы как $\gamma$ (от $\alpha$). Таким образом $\gamma _{0}$, $\gamma _{1}$, и $\gamma _{2}$ и сферические азимуты на экваторе и на $A$ и $B$. Азимуты концов большого эллипса, $\alpha _{1}$ и $\alpha _{2}$, вычисляются из $\gamma _{1}$ и $\gamma _{2}$.

Полуоси большого эллипса можно найти, используя значение $\gamma _{0}$.

В рамках решения проблемы большого круга также определяются длины дуг, $\sigma _{01}$ и $\sigma _{02}$, измеренный от пересечения экватора до $A$ и $B$. Расстояние $s_{12}$ находится путем вычисления длины части периметра эллипса с использованием формулы, определяющей дугу меридиана через параметрическую широту . Применяя эту формулу, используйте полуоси для большого эллипса (вместо меридиана) и замените $\sigma _{01}$ и $\sigma _{02}$ для $\beta$.

Решение «прямой задачи», определяющее положение $B$ данный $A$, $\alpha _{1}$, и $s_{12}$, можно найти аналогичным образом (для этого дополнительно потребуется формула обратного меридионального расстояния ). Это также позволяет находить промежуточные точки (например, серию равноотстоящих друг от друга промежуточных точек) при решении обратной задачи.

См. также

• Пути секции земли
• Навигация по большому кругу
• Геодезические на эллипсоиде
• Меридианная дуга
• Румпельная линия

Внешние ссылки

• Реализация в Matlab решений прямой и обратной задач для больших эллипсов.