Пути секции земли

Плоское сечение эллипсоида

Траектории сечения Земли представляют собой плоские кривые, определяемые пересечением земного эллипсоида и плоскости ( сечения плоскости эллипсоида ). Общие примеры включают большой эллипс (содержащий центр эллипсоида) и нормальные сечения (содержащие нормальное направление эллипсоида ). Траектории сечения Земли полезны в качестве приближенного решения геодезических задач , прямого и обратного расчета географических расстояний . Строгое решение геодезических задач предполагает использование скошенных кривых, известных как геодезические .

Обратная задача

Обратная задача для участков земли: по двум точкам $P_{1}$ и $P_{2}$ на поверхности опорного эллипсоида найдите длину, $s_{12}$, короткой дуги сфероидального сечения из $P_{1}$ к $P_{2}$ а также найдите азимуты отправления и прибытия (угол от истинного севера) этой кривой, $\alpha _{1}$ и $\alpha _{2}$. Рисунок справа иллюстрирует используемые здесь обозначения. Позволять $P_{k}$ иметь геодезическую широту $\phi _{k}$ и долгота $\lambda _{k}$ ( к =1,2). Эту проблему лучше всего решить, используя аналитическую геометрию в декартовых координатах, центрированных и фиксированных на Земле (ECEF). Позволять $R_{1}=\mathrm {ECEF} (P_{1})$ и $R_{2}=\mathrm {ECEF} (P_{2})$ — это координаты ECEF двух точек, вычисленные с использованием обсуждаемого здесь преобразования геодезических данных в ECEF .

Это иллюстрирует обозначения, используемые для обсуждаемых здесь геодезических задач.

Плоскость сечения

Чтобы определить плоскость сечения, выберите любую третью точку. $R_{0}$ не на линии от $R_{1}$ к $R_{2}$. Выбор $R_{0}$ находиться на поверхности нормально в $P_{1}$ определит нормальный раздел в $P_{1}$. Если $R_{0}$ — это начало координат, тогда земное сечение — это большой эллипс. (Начало координат будет коллинеарным с двумя противоположными точками, поэтому в этом случае необходимо использовать другую точку). Поскольку существует бесконечно много вариантов $R_{0}$, описанная выше проблема на самом деле представляет собой класс задач (по одной для каждой плоскости). Позволять $R_{0}$ быть дано. Приведем уравнение плоскости к стандартной форме: $lx+my+nz=d$, где $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$, требуются компоненты единичного вектора , $\mathbf {\hat {N}} =(l,m,n)$, нормаль к плоскости сечения. Эти компоненты можно вычислить следующим образом: Вектор из $R_{0}$ к $R_{1}$ является $\mathbf {V_{0}} =\mathbf {R_{1}} -\mathbf {R_{0}}$, а вектор из $R_{1}$ к $R_{2}$ является $\mathbf {V_{1}} =\mathbf {R_{2}} -\mathbf {R_{1}}$. Поэтому, $\mathbf {\hat {N}} =\mathrm {unit} (\mathbf {V_{0}} \times \mathbf {V_{1}} )$), где $\mathrm {unit} (\mathbf {V} )$ - единичный вектор в направлении $\mathbf {V}$. Используемое здесь соглашение об ориентации заключается в том, что $\mathbf {\hat {N}}$ указывает налево от пути. Если это не так, переопределите $\mathbf {V_{0}} =-\mathbf {V_{0}}$. Наконец, параметр d для плоскости можно вычислить, используя произведение скалярное $\mathbf {\hat {N}}$ с вектором от начала координат до любой точки плоскости, например $R_{1}$, то есть $d=\mathbf {\hat {N}} \cdot \mathbf {R_{1}}$. Таким образом, уравнение плоскости (в векторной форме) имеет вид $\mathbf {\hat {N}} \cdot \mathbf {R} =d$, где $\mathbf {R}$ вектор положения ​ $(x,y,z)$.

Азимут

Изучение преобразования ENU в ECEF показывает, что координаты ECEF единичного вектора, указывающего на восток в любой точке эллипсоида, следующие: $\mathbf {\hat {e}} =(-\sin \lambda ,\cos \lambda ,0)$, единичный вектор, указывающий на север, равен $\mathbf {\hat {n}} =(-\sin \phi \cos \lambda ,-\sin \phi \sin \lambda ,\cos \phi )$, а единичный вектор, направленный вверх, равен $\mathbf {\hat {u}} =(\cos \phi \cos \lambda ,\cos \phi \sin \lambda ,\sin \phi )$. Вектор, касательный к пути: $\mathbf {t} =\mathbf {\hat {N}} \times \mathbf {\hat {u}}$ так что восточная составляющая $\mathbf {t}$ является $\mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {e}}$, а северная компонента равна $\mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {n}}$. Следовательно, азимут может быть получен из функции арктангенса с двумя аргументами : $\alpha =\operatorname {atan2} (\mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {e}} ,\mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {n}} )$. Используйте этот метод в обоих $P_{1}$ и $P_{2}$ получить $\alpha _{1}$ и $\alpha _{2}$.

Эллипс сечения

(Нетривиальное) пересечение плоскости и эллипсоида представляет собой эллипс. Следовательно, длина дуги $s_{12}$, на пути к разделу от $P_{1}$ к $P_{2}$ представляет собой эллиптический интеграл , который можно вычислить с любой желаемой точностью, используя усеченный ряд или численное интегрирование. Прежде чем это можно будет сделать, необходимо определить эллипс и вычислить пределы интегрирования. Пусть эллипсоид, заданный формулой ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1$, и пусть $p={\sqrt {l^{2}+m^{2}}}$. Если $p=0$ тогда сечение представляет собой горизонтальный круг радиуса ${\textstyle a{\sqrt {1-{\frac {d^{2}}{b^{2}}}}}}$, которое не имеет решения, если $|d|>b$.

Если $p>0$ затем Гилбертсон показал, что координаты ECEF центра эллипса равны ${\textstyle {R_{c}}={\frac {d}{C}}(la^{2},ma^{2},nb^{2})}$, где $C=a^{2}p^{2}+b^{2}n^{2}$,

большая полуось ${\textstyle a^{*}=a{\sqrt {1-{\frac {d^{2}}{C}}}}}$, в направлении ${\textstyle \mathbf {{\hat {i}}^{*}} =\left({\frac {m}{p}},{\frac {-l}{p}},0\right)}$, а малая полуось равна ${\textstyle b^{*}={\frac {b}{\sqrt {C}}}a^{*}}$, в направлении ${\textstyle \mathbf {{\hat {j}}^{*}} =\left({\frac {ln}{p}},{\frac {mn}{p}},-p\right)}$, которое не имеет решения, если $|d|>{\sqrt {C}}$.

Длина дуги

В упомянутой выше статье приведен вывод формулы длины дуги, включающей центральный угол и степени $e^{2}$ вычислить длину дуги с точностью до миллиметра, где ${\textstyle e^{2}=1-\left({\frac {b^{*}}{a^{*}}}\right)^{2}}$. Эту формулу длины дуги можно переставить и привести к следующему виду: $s_{12}=s(\theta _{2})-s(\theta _{1})$, где $s(\theta )=b^{*}({C_{0}}\theta +{C_{2}}\sin(2\theta )+{C_{4}}\sin(4\theta )+{C_{6}}\sin(6\theta ))$ и коэффициенты

$C_{0}=1.0+e^{2}(1/4+13e^{2}/64+45e^{4}/256+2577e^{6}/16384)$

$C_{2}=e^{2}(1/8+3e^{2}/32+95e^{4}/1024+385e^{6}/4096)$

$C_{4}=-e^{4}(1/256+5e^{2}/1024+19e^{4}/16384)$

$C_{6}=-e^{6}(15/3072+35e^{2}/4096)$

Чтобы вычислить центральный угол, пусть $P$ быть любой точкой эллипса сечения и $R=\mathrm {ECEF} (P)$. Затем $\mathbf {V} =\mathbf {R} -\mathbf {R_{c}}$ — вектор из центра эллипса в точку. Центральный угол $\theta$ - угол между большой полуосью и $\mathbf {V}$. Сдача в аренду $\mathbf {\hat {V}} =\mathrm {unit} (\mathbf {V} )$, у нас есть $\theta =\operatorname {atan2} (\mathbf {\hat {V}} \cdot \mathbf {{\hat {j}}^{*}} ,\mathbf {\hat {V}} \cdot \mathbf {{\hat {i}}^{*}} )$. Таким образом мы получаем $\theta _{1}$ и $\theta _{2}$.

С другой стороны, в более общем случае можно использовать формулы дуги меридиана, при условии, что используются параметры эллипса сечения, а не параметры сфероида. Один из таких быстро сходящихся рядов приведен в разделе «Серии по параметрической широте» . Если мы используем $\varepsilon$ для обозначения эксцентриситета сфероида, т.е. ${\textstyle \varepsilon ^{2}=1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}$, затем $e^{8}$ ≤ $\varepsilon ^{8}$ ≅ 1.8 × 10 ⁻⁹ . Аналогично третье уплощение эллипса сечения ограничено соответствующей величиной для сфероида, а для сфероида имеем $n^{3}$ ≅ 4.4 × 10 ⁻⁹ , и $n^{4}$ ≅ 7.3 × 10 ⁻¹² . Поэтому может быть достаточно игнорировать термины, выходящие за рамки $B_{6}$ в параметрическом ряду широт. Чтобы подать заявку ${\textstyle s(\beta )={\frac {a^{*}+b^{*}}{2}}(B_{0}\beta +B_{2}\sin 2\beta +B_{4}\sin 4\beta +B_{6}\sin 6\beta )}$ в текущем контексте требуется преобразовать центральный угол в параметрический угол с помощью $\beta =\tan ^{-1}\left(\tan \theta /((1-f)\right)$и используя третье сглаживание эллипса сечения. Какой бы метод ни использовался, при использовании необходимо соблюдать осторожность. $\theta _{1}$ & $\theta _{2}$ или $\beta _{1}$ & $\beta _{2}$ чтобы убедиться, что используется более короткая дуга, соединяющая две точки.

Прямая проблема

Прямая задача задана ${P_{1}}$, расстояние $s_{12}$, и азимут вылета $\alpha _{1}$, находить ${P_{2}}$ и азимут прибытия $\alpha _{2}$.

Плоскость сечения

Ответ на этот вопрос зависит от выбора $\mathbf {V_{0}}$. т.е. от типа раздела. Обратите внимание, что $\mathbf {V_{0}}$ не должно быть в диапазоне { $\mathbf {\hat {n}} _{1},\mathbf {{\hat {e}}_{1}}$} (иначе плоскость касалась бы Земли в точке ${P_{1}}$, поэтому путь не будет получен). Сделав такой выбор и учитывая ориентацию, действуйте следующим образом. Постройте касательный вектор в точке ${P_{1}}$, $\mathbf {\hat {t}} _{1}=\mathbf {\hat {n}} _{1}\cos {\alpha _{1}}+\mathbf {{\hat {e}}_{1}} \sin {\alpha _{1}}$, где $\mathbf {\hat {n}} _{1}$ и $\mathbf {{\hat {e}}_{1}}$ являются единичными векторами, указывающими на север и восток (соответственно) на ${P_{1}}$. Нормальный вектор $\mathbf {\hat {N}} =\mathrm {unit} (\mathbf {V_{0}} \times \mathbf {\hat {t}} _{1}$), вместе с $\mathbf {P_{1}}$ определяет плоскость. Другими словами, место хорды занимает касательная, поскольку пункт назначения неизвестен.

Найдите пункт прибытия

Это 2-мерная задача в span{ $\mathbf {\hat {i}} ^{*},\mathbf {\hat {j}} ^{*}$}, которая будет решена с помощью приведенной выше формулы длины дуги. Если длина дуги, $s_{12}$ задана, то задача состоит в том, чтобы найти соответствующее изменение центрального угла $\theta _{12}$, так что $\theta _{2}=\theta _{1}+\theta _{12}$ и положение можно вычислить. Предположим, что у нас есть ряд, который дает $s=s(\theta )$ тогда то, что мы ищем сейчас, это $\theta _{2}=s^{-1}(s_{1}+s_{12})$. Обратный ряд длин дуг центрального угла, приведенный выше, можно найти на странице 8a Rapp, Vol. 1, кто доверяет Ганшину. Альтернативой использованию обратного ряда является использование метода последовательных приближений Ньютона. $\theta _{12}$. Обратная задача меридиана для эллипсоида представляет собой обратную задачу Бесселя по длине дуги с точки зрения параметрического угла. Прежде чем использовать обратный ряд, необходимо использовать параметрический угловой ряд для вычисления длины дуги от большой полуоси до $P_{1}$, ${\textstyle s_{1}=s(\beta _{1})={\frac {a^{*}+b^{*}}{2}}(B_{0}\beta _{1}+B_{2}\sin 2\beta _{1}+B_{4}\sin 4\beta _{1}+B_{6}\sin 6\beta _{1})}$. Один раз $s_{1}$ известно применить обратную формулу для получения $\beta _{2}=\beta (s_{1}+s_{12})=\mu _{2}+B'_{2}\sin 2\mu _{2}+B'_{4}\sin 4\mu _{2}+B'_{6}\sin 6\mu _{2}$, где $\mu _{2}=2(s_{1}+s_{12})/(B_{0}(a^{*}+b^{*}))$. Прямоугольные координаты в плоскости сечения: $x_{2}=a^{*}\cos \beta _{2},y_{2}=b^{*}\sin \beta _{2}$. Таким образом, вектор ECEF можно вычислить с помощью $\mathbf {V_{2}} =\mathbf {R_{c}} +(x_{2}\mathbf {{\hat {i}}^{*}} +y_{2}\mathbf {{\hat {j}}^{*}} )$. Наконец, вычислите географические координаты с помощью $P_{2}=\mathrm {Geo} (V_{2})$ используя алгоритм Боуринга 1985 года, или алгоритм здесь .

Азимут

Азимут можно получить тем же методом, что и косвенную задачу: $\mathbf {t_{2}} =\mathbf {\hat {N}} \times \mathbf {{\hat {u}}_{2}}$ и ${\alpha _{2}}=\operatorname {atan2} (\mathbf {t_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {e}}_{2}} ,\mathbf {t_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {n}}_{2}} )$.

Примеры

Показывает геодезическое отклонение на различных участках, соединяющих Нью-Йорк с Парижем.

Большой эллипс

Основная статья: Большой эллипс

Большой эллипс — это кривая, образованная пересечением эллипсоида плоскостью, проходящей через его центр. Поэтому, чтобы использовать описанный выше метод, просто позвольте $R_{0}$ быть источником, так что $\mathbf {V_{0}} =\mathbf {R_{1}}$ (вектор положения $R_{1}$). Этот метод позволяет избежать эзотерических и иногда неоднозначных формул сферической тригонометрии и представляет собой альтернативу формулам Боуринга. Кратчайший путь между двумя точками сфероида называется геодезической. Такие пути разрабатываются с использованием дифференциальной геометрии. Экватор и меридианы представляют собой большие эллипсы, которые также являются геодезическими. . Максимальная разница в длине между большим эллипсом и соответствующей геодезической длиной 5000 морских миль составляет около 10,5 метров. Боковое отклонение между ними может достигать 3,7 морских миль. Обычный участок, соединяющий две точки, будет ближе к геодезической, чем большой эллипс, если только путь не касается экватора.

На эллипсоиде WGS84 результаты для большой эллиптической дуги из Нью-Йорка: $\phi _{1}$ = 40.64130°, $\lambda _{1}$ = -73,77810° в Париж, $\phi _{2}$ = 49.00970°, $\lambda _{2}$= 2,54800° составляют:

$\alpha _{1}$ = 53.596810°, $\alpha _{2}$ = 111,537138° и $s_{12}$ = 5849159,753 (м) = 3158,293603 (нм). Соответствующие числа для геодезической:

$\alpha _{1}$ = 53.511007°, $\alpha _{2}$ = 111,626714° и $s_{12}$ = 5849157,543 (м) = 3158,292410 (нм).

Чтобы проиллюстрировать зависимость от типа участка для прямой задачи, пусть азимут отправления и расстояние поездки будут такими же, как на геодезической выше, и используйте большой эллипс для определения прямой задачи. В этом случае пунктом прибытия является $\phi _{2}$ = 49.073057°, $\lambda _{2}$= 2,586154°, что составляет примерно 4,1 морских миль от точки прибытия в Париж, определенной выше. Конечно, используя азимут отправления и расстояние от большого эллипса, косвенная задача позволит правильно определить место назначения. $\phi _{2}$ = 49.00970°, $\lambda _{2}$= 2,54800°, а азимут прихода $\alpha _{2}$ = 111.537138°.

Показывает геодезическое отклонение на различных участках, соединяющих Сидней и Бангкок.

Обычные разделы

Нормальный раздел на $P_{1}$ определяется путем предоставления $\mathbf {V_{0}} =\mathbf {\hat {u}} _{1}$ (поверхность нормальна $P_{1}$). Другое нормальное сечение, известное как обратное нормальное сечение, получается в результате использования нормали к поверхности в точке $P_{2}$. Если обе точки не находятся на одной параллели или одном меридиане, обратный нормальный участок будет отличаться от нормального сечения. Вышеупомянутый подход представляет собой альтернативу другим подходам, таким как Боуринг. Важность нормальных разрезов при съемке, а также обсуждение значения термина «линия» в таком контексте изложены в статье Дикина, Шеппарда и Росса.

На эллипсоиде WGS84 результаты для нормального разреза из Нью-Йорка, $\phi _{1}$ = 40.64130°, $\lambda _{1}$ = -73,77810° в Париж, $\phi _{2}$ = 49.00970°, $\lambda _{2}$= 2,54800° составляют:

$\alpha _{1}$ = 53.521396°, $\alpha _{2}$ = 111,612516° и $s_{12}$ = 5849157,595 (м) = 3158,292438 (нм). Результаты для обратного нормального участка от Нью-Йорка до Парижа:

$\alpha _{1}$ = 53.509422°, $\alpha _{2}$ = 111,624483° и $s_{12}$ = 5849157,545 (м) = 3158,292411 (нм).

Максимальная разница в длине между нормальным участком и соответствующей геодезической длиной 5000 морских миль составляет около 6,0 метров. Боковое отклонение между ними может достигать 2,8 морских миль.

Чтобы проиллюстрировать зависимость от типа участка для прямой задачи, пусть азимут отправления и расстояние поездки будут такими же, как на геодезической выше, и используйте нормаль к поверхности в Нью-Йорке, чтобы определить прямую задачу. В этом случае пунктом прибытия является $\phi _{2}$ = 49.017378°, $\lambda _{2}$= 2,552626°, что составляет около 1/2 нм от точки прибытия, определенной выше. Конечно, используя азимут отправления и расстояние от нормального участка, косвенная задача позволит правильно определить место назначения в Париже. Предположительно, прямая задача используется, когда точка прибытия неизвестна, но можно использовать любой вектор $\mathbf {V_{0}}$ одно радует. Например, используя нормаль к поверхности в Париже, $\mathbf {\hat {u}} _{2}$, приводит к точке прибытия $\phi _{2}$ = 49.007778°, $\lambda _{2}$= 2,546842°, что составляет примерно 1/8 нм от точки прибытия, определенной выше. Используя нормаль поверхности в Рейкьявике (при этом используя азимут отправления и расстояние до Парижа по геодезической линии), вы прибудете примерно в 347 морских милях от Парижа, в то время как нормаль в Цюрихе приведет вас в пределах 5,5 морских миль.

Поиск участка, более близкого к геодезической, привел к следующим двум примерам.

Показывает, как геодезическое отклонение меняется с азимутом для участков, начинающихся на 20° широты.

Среднее нормальное сечение

Среднее нормальное сечение от $P_{1}$ к $P_{2}$ определяется путем предоставления $\mathbf {V_{0}} =0.5(\mathbf {\hat {u}} _{1}+\mathbf {\hat {u}} _{2})$. Это хорошее приближение к геодезической из $P_{1}$ к $P_{2}$ для авиации или парусного спорта. Максимальная разница в длине между средним нормальным сечением и соответствующей геодезической длиной 5000 морских миль составляет около 0,5 метра. Боковое отклонение между ними составляет не более примерно 0,8 морской мили. Для трасс длиной 1000 морских миль погрешность длины составляет менее миллиметра, а в худшем случае боковое отклонение составляет около 4,4 метра. Продолжение примера от Нью-Йорка до Парижа на WGS84 дает следующие результаты для среднего нормального участка:

$\alpha _{1}$ = 53.515409°, $\alpha _{2}$ = 111,618500° и $s_{12}$ = 5849157,560 (м) = 3158,292419 (нм).

Показывает геодезическое отклонение для различных нормальных участков на расстоянии 5000 морских миль от экватора.

Средняя точка нормального сечения

Средняя точка нормального сечения от $P_{1}$ к $P_{2}$ определяется путем предоставления $\mathbf {V_{0}}$ = нормаль к поверхности в середине геодезической от $P_{1}$ к $P_{2}$. Этот путь лишь немного ближе к геодезической, чем средний нормальный участок. Максимальная разница в длине между средней точкой нормального сечения и соответствующей геодезической длиной 5000 морских миль составляет около 0,3 метра. В худшем случае боковое отклонение между ними составляет около 0,3 морской мили.

Завершение примера от Нью-Йорка до Парижа на WGS84 дает следующие результаты для нормального сечения геодезической средней точки: $\alpha _{1}$ = 53.506207°, $\alpha _{2}$ = 111,627697° и $s_{12}$ = 5849157,545 (м) = 3158,292411 (нм).

Обсуждение

Все пути разделов, используемые в диаграммах справа, были определены с использованием косвенного метода, описанного выше. На третьей и четвертой картах конечная точка определялась прямым алгоритмом по геодезической с заданным расстоянием и начальным азимутом. На каждой из геодезических были выбраны несколько точек, ближайшая точка на плоскости сечения находилась с помощью векторной проекции и вычислялось расстояние между двумя точками. Это расстояние описывается как латеральное отклонение от геодезической или кратко геодезическое отклонение и отображается на диаграммах справа. Альтернатива поиску соответствующей точки на траектории участка и вычислению геодезических расстояний даст несколько иные результаты.

Первая диаграмма типична для случаев в средних широтах, где большой эллипс является выбросом. Нормальное сечение, связанное с точкой, наиболее удаленной от экватора, является хорошим выбором для этих случаев.

Второй пример длиннее и типичен для случаев пересечения экватора, когда большой эллипс превосходит обычные сечения. Однако два нормальных сечения отклоняются на противоположные стороны геодезической, что делает здесь хорошим выбором среднее нормальное сечение.

На третьей диаграмме показано, как изменяются геодезические отклонения в зависимости от начального геодезического азимута, происходящего от 20 градусов северной широты. Наихудшее отклонение для нормальных участков длиной 5000 морских миль составляет около 2,8 морских миль и происходит при начальном геодезическом азимуте 132° от 18° северной широты (азимут 48° для южной широты).

Четвертая карта — это то, как выглядит третья карта при отходе от экватора. На экваторе симметрий больше, поскольку сечения по азимутам 90° и 270° также являются геодезическими. Следовательно, четвертый график показывает только 7 отдельных линий из 24 с интервалом 15 градусов. В частности, линии на азимутах 15, 75, 195 и 255 совпадают, как и линии на 105, 165, 285 и 345 на другой стороне, самой внутренней (кроме геодезических). Следующие самые дальние совпадающие линии из четырех геодезических линий находятся под азимутами 30, 60, 210 и 240 с одной стороны и 120, 150, 300 и 330 с другой стороны. Самые крайние линии находятся под азимутами 45 и 225 с одной стороны и 135 и 315 с другой. По мере того как точка отправления перемещается на север, линии на азимутах 90 и 270 больше не являются геодезическими, а другие совпадающие линии разделяются и расходятся веером до 18 ° широты, где достигается максимальное отклонение. За этой точкой отклонения сжимаются, как японский веер, по мере продвижения начальной точки на север. Так что на широте 84° максимальное отклонение для нормальных участков составляет около 0,25 нм.

Обычный раздел средней точки (почти) всегда является хорошим выбором.

Перекрестки

Пусть даны две плоскости сечения: $\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {R} =d_{1}$, и $\mathbf {\hat {N}} _{2}\cdot \mathbf {R} =d_{2}$. Предполагая, что две плоскости не параллельны, линия пересечения проходит в обеих плоскостях. Следовательно, ортогонально обеим нормалям, т. е. в направлении $\mathbf {N_{3}} =\mathbf {\hat {N}} _{1}\times \mathbf {\hat {N}} _{2}$ (нет оснований для нормализации $\mathbf {N_{3}}$).

С $\mathbf {\hat {N}} _{1}$ и $\mathbf {\hat {N}} _{2}$ не коллинеарны $\mathbf {\hat {N}} _{1}$, $\mathbf {\hat {N}} _{2}$, $\mathbf {N_{3}}$ является основой для $\mathbb {R} ^{3}$. Следовательно, существуют константы $C_{1}$ и $C_{2}$ такая, что линия пересечения двух плоскостей определяется выражением $R=C_{1}\mathbf {\hat {N}} _{1}+C_{2}\mathbf {\hat {N}} _{2}+t\mathbf {N_{3}}$, где t — независимый параметр.

Поскольку эта линия находится в обеих плоскостях сечения, она удовлетворяет обоим условиям: $C_{1}+C_{2}(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})=d_{1}$, и $C_{1}(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})+C_{2}=d_{2}$.

Решая эти уравнения для ${C_{1}}$ и ${C_{2}}$ дает $C_{1}[1-(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})^{2}]=d_{1}-d_{2}(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})$, и $C_{2}[1-(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})^{2}]=d_{2}-d_{1}(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})$.

Дайте определение «двугранному углу», $\nu$, к $\cos \nu ={\mathbf {\hat {N}} _{1}}\cdot {\mathbf {\hat {N}} _{2}}$. Затем $C_{1}={\frac {(d_{1}-d_{2}\cos \nu )}{\sin ^{2}\nu }}$ , и $C_{2}={\frac {(d_{2}-d_{1}\cos \nu )}{\sin ^{2}\nu }}$.

На линии пересечения имеем $\mathbf {R} =\mathbf {R_{0}} +t\mathbf {N_{3}}$, где $\mathbf {R_{0}} =C_{1}\mathbf {\hat {N}} _{1}+C_{2}\mathbf {\hat {N}} _{2}$. Следовательно: $x=x_{0}+tl_{3}$, $y=y_{0}+tm_{3}$, и $z=z_{0}+tn_{3}$, где $x_{0}=C_{1}l_{1}+C_{2}l_{2}$, $y_{0}=C_{1}m_{1}+C_{2}m_{2}$, и $z_{0}=C_{1}n_{1}+C_{2}n_{2}$, $\mathbf {\hat {N}} _{i}=(l_{i},m_{i},n_{i})$, для i=1,2 и $\mathbf {N_{3}} =(l_{3},m_{3},n_{3})$.

Чтобы найти пересечение этой линии с землей, подставьте уравнения линий в ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1$, получить $At^{2}+2Bt+C=0$, где $A=l_{3}^{2}+m_{3}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}n_{3}^{2}$, $B=x_{0}l_{3}+y_{0}m_{3}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}n_{3}$, $C=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}$.

Следовательно, линия пересекает Землю в точке $t={\frac {-B\pm {\sqrt {{B}^{2}-AC}}}{A}}$. Если $B^{2}<AC$, то пересечения нет. Если $B^{2}=AC$, то линия касается земли в точке $t=-B/A$ (т.е. секции пересекаются в этой единственной точке).

Обратите внимание, что $A\neq 0$ с $\mathbf {\hat {N}} _{1}$ и $\mathbf {\hat {N}} _{2}$ не коллинеарны. Подключение t к $\mathbf {R} =\mathbf {R_{0}} +t\mathbf {N_{3}}$, дает точки пересечения участков земли.

Пример

Найдите, где участок от Нью-Йорка до Парижа пересекает Гринвичский меридиан. Плоскость нулевого меридиана можно описать формулой $\mathbf {\hat {N}} =(0,1,0)$ и $d=0$. Результаты следующие:

Перекрестки

Раздел	Широта
Большой Эллипс	49.634970°
Нормальный	49.637377°
Среднее нормальное	49.637568°
Взаимный	49.637759°
Средняя точка	49.637862°

Крайние широты и долготы

Максимальная (или минимальная) широта — это место, где эллипс сечения пересекает параллель в одной точке. Для постановки задачи позвольте $\mathbf {{\hat {N}}_{1}} =(l,m,n)$, $d_{1}=d$ быть заданной плоскостью сечения. Параллель $\mathbf {{\hat {N}}_{2}} =(0,0,1)$, $d_{2}=z_{0}$, где $z_{0}$ необходимо определить так, чтобы существовала только одна точка пересечения. Применение описанного выше метода пересечения приводит к $\mathbf {N_{3}} =\mathbf {\hat {N}} _{1}\times \mathbf {\hat {N}} _{2}=(m,-l,0)$, ${\mathbf {\hat {N}} _{1}}\cdot {\mathbf {\hat {N}} _{2}}=n$, ${\textstyle C_{1}={\frac {1}{p^{2}}}(d-nz_{0})}$, и ${\textstyle C_{2}={\frac {1}{p^{2}}}(z_{0}-nd)}$, с $1-n^{2}=l^{2}+m^{2}=p^{2}$. Полученные линейные уравнения принимают вид $x=x_{0}+tm$, $y=y_{0}-tl$, и $z=z_{0}$, где $x_{0}=C_{1}l$, $y_{0}=C_{1}m$, и $z_{0}$ предстоит определить. Полученные квадратичные коэффициенты равны $A=m^{2}+l^{2}=p^{2}$, $B=mx_{0}-ly_{0}=lmC_{1}-lmC_{1}=0$, $C=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}=p^{2}C_{1}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}={\frac {1}{p^{2}}}(d-nz_{0})^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}$. Следовательно, пересечение приведет только к одному решению, если $B^{2}=AC$, но поскольку $B=0$ и $A>0$, критическое уравнение принимает вид $C=0$. Это уравнение можно переписать и привести к виду $Ez_{0}^{2}-2Fz_{0}+G=0$, где $E={\frac {a^{2}}{b^{2}}}p^{2}+n^{2}$, $F=nd$, и $G=d^{2}-a^{2}p^{2}$. Поэтому, ${\textstyle z_{0}={\frac {F\pm {\sqrt {{F}^{2}-EG}}}{E}}}$ обеспечивает расстояние от начала координат желаемых параллельных плоскостей. Затыкание $z_{0}$ в $C_{1}$ дает значения для $x_{0}$ и $y_{0}$. Напомним, что $t=-B/A=0$ так $x=x_{0}$, $y=y_{0}$ — остальные координаты пересечений. Затем географические координаты могут быть вычислены с использованием преобразования ECEF_to_Geo.

Тот же метод можно применить к меридианам для определения экстремальных долгот, но результаты нелегко интерпретировать из-за модульной природы долготы. Однако результаты всегда можно проверить, используя следующий подход.

Более простой подход — вычислить конечные точки малой и большой осей эллипса сечения, используя $\mathbf {R} =\mathbf {R_{c}} \pm b^{*}\mathbf {\hat {j}} ^{*}$, и $\mathbf {R} =\mathbf {R_{c}} \pm a^{*}\mathbf {\hat {i}} ^{*}$, а затем конвертируем в географические координаты. Здесь, возможно, стоит упомянуть, что линия пересечения двух плоскостей состоит из набора фиксированных точек, следовательно, оси вращения, координатного вращения, которое отображает одну плоскость на другую.

Для примера из Нью-Йорка в Париж результаты следующие:

Раздел	Второстепенная ось, точка 1	Малая ось, точка 2	Основная ось, точка 1	Основная ось, точка 2
Большой Эллипс	$\phi _{1}$ = 52.418061°, $\lambda _{1}$ = -25.123079°	$\phi _{2}$ = -52.418061°, $\lambda _{2}$ = 154.876921°	$\phi _{1}$ = 0.000000°, $\lambda _{1}$ = 64.876921°	$\phi _{2}$ = 0.000000°, $\lambda _{2}$ = -115.123079°
Нормальный	$\phi _{1}$ = 52.433790°, $\lambda _{1}$ = -25.154863°	$\phi _{2}$ = -52.739188°, $\lambda _{2}$ = 154.845137°	$\phi _{1}$ = -0.093365°, $\lambda _{1}$ = 64.723898°	$\phi _{2}$ = -0.093365°, $\lambda _{2}$ = -115.033623°
Среднее нормальное	$\phi _{1}$ = 52.435039°, $\lambda _{1}$ = -25.157380°	$\phi _{2}$ = -52.764681°, $\lambda _{2}$ = 154.842620°	$\phi _{1}$ = -0.100746°, $\lambda _{1}$ = 64.711732°	$\phi _{2}$ = -0.100746°, $\lambda _{2}$ = -115.026491°
Взаимный	$\phi _{1}$ = 52.436288°, $\lambda _{1}$ = -25.159896°	$\phi _{2}$ = -52.790172°, $\lambda _{2}$ = 154.840104°	$\phi _{1}$ = -0.108122°, $\lambda _{1}$ = 64.699565°	$\phi _{2}$ = -0.108122°, $\lambda _{2}$ = -115.019357°
Средняя точка	$\phi _{1}$ = 52.436959°, $\lambda _{1}$ = -25.161247°	$\phi _{2}$ = -52.803863°, $\lambda _{2}$ = 154.838753°	$\phi _{1}$ = -0.112082°, $\lambda _{1}$ = 64.693029°	$\phi _{2}$ = -0.112082°, $\lambda _{2}$ = -115.015522°

См. также

• Географическое расстояние # Коррекция высоты
• Азимут нормального сечения

Дальнейшее чтение

• Хельмерт, Фридрих Роберт (1 января 1964 г.). «Математические и физические теории высшей геодезии. Часть 1, Предисловие и математические теории» . Зенодо . дои : 10.5281/zenodo.32050 . Проверено 17 апреля 2022 г.
• Джордан, Вильгельм; Эггерт, Отто (1 января 1962 г.). «Иорданский справочник по геодезии, том 3, 2-я половина» . Зенодо . дои : 10.5281/zenodo.35316 . Проверено 17 апреля 2022 г.