Географическое расстояние

Географическое расстояние или геодезическое расстояние — это расстояние , измеренное по поверхности Земли , или кратчайшая длина дуги.

Формулы в этой статье рассчитывают расстояния между точками, которые определяются географическими координатами в терминах широты и долготы . Это расстояние является элементом решения второй (обратной) геодезической задачи .

Введение

Вычисление расстояния между географическими координатами основано на некотором уровне абстракции; он не дает точного расстояния, которое недостижимо, если попытаться объяснить каждую неровность поверхности Земли. ^[1] Общие абстракции для поверхности между двумя географическими точками:

Плоская поверхность;
Сферическая поверхность;
Эллипсоидальная поверхность.

Все приведенные выше абстракции игнорируют изменения высоты. Расчет расстояний, учитывающих изменения высоты относительно идеализированной поверхности, в этой статье не обсуждается.

Классификация формул на основе аппроксимации

Аппроксимации на основе туннельного расстояния: плоская поверхность, средняя широта Гаусса; $|\Delta D_{\text{error}}|\propto D^{3}$
Приближение 0-го порядка: Сферическая поверхность; $|\Delta D_{\text{error}}|\propto D$
аппроксимации высшего порядка на основе эллипсоида: $f^{1}$ : Андуайе (1932); Андуайе-Ламберт (1942), $f^{2}$ : Андуайе-Ламберт-Томас (1970), $f^{3}$ : Винсенти (1975), $f^{6}$ : Кейни (2011); $\Delta |D_{\text{error}}|\propto D$ в полушарии

Теоретические оценки погрешности добавлены выше и $f$ это сплющивание Земли.

Номенклатура

Расстояние дуги, $D,\,\!$ — минимальное расстояние по поверхности сферы/эллипсоида, рассчитанное между двумя точками, $P_{1}\,\!$ и $P_{2}\,\!$ . Принимая во внимание, что расстояние туннеля или длина хорды $D_{\textrm {t}}$ , измеряется вдоль декартовой прямой. Географические координаты двух точек в виде пар (широта, долгота) равны $(\phi _{1},\lambda _{1})\,\!$ и $(\phi _{2},\lambda _{2}),\,\!$ соответственно. Какая из двух точек обозначена как $P_{1}\,\!$ не имеет значения для расчета расстояния.

Широта $\phi \,\!$ и долгота $\lambda \,\!$ координаты на картах обычно выражаются в градусах . В приведенных ниже формах формул одно или несколько значений должны быть выражены в указанных единицах для получения правильного результата. Если в качестве аргумента тригонометрической функции используются географические координаты, значения могут быть выражены в любых угловых единицах, совместимых с методом, используемым для определения значения тригонометрической функции. Многие электронные калькуляторы позволяют вычислять тригонометрические функции как в градусах, так и в радианах . Режим калькулятора должен быть совместим с единицами измерения геометрических координат.

Различия в широте и долготе обозначаются и рассчитываются следующим образом:

{\begin{aligned}\Delta \phi &=\phi _{2}-\phi _{1};\\\Delta \lambda &=\lambda _{2}-\lambda _{1}.\end{aligned}}\,\!

Не важно, будет ли результат положительным или отрицательным при использовании в формулах ниже.

«Средняя широта» обозначается и рассчитывается следующим образом:

\phi _{\mathrm {m} }={\frac {\phi _{1}+\phi _{2}}{2}}.\,\!

Если не указано иное, радиус Земли для приведенных ниже расчетов составляет:

R\,\!

= 6 371,009 километра = 3 958,761 статутной мили = 3 440,069 морских миль .

$D_{\,}\!$ = Расстояние между двумя точками, измеренное вдоль поверхности Земли и в тех же единицах, что и значение, используемое для радиуса, если не указано иное.

Особенности и разрыв широты/долготы

Аппроксимация синусоидальных функций $\Delta \lambda$ , появляющийся в некоторых формулах для плоской поверхности ниже, может вызвать сингулярность и разрыв. Это также может ухудшить точность в случае более высокой широты.

Долгота имеет особенности на полюсах (долгота не определена) и разрыв на меридиане ± 180° . Кроме того, плоские проекции кругов постоянной широты сильно изогнуты вблизи полюсов. Следовательно, приведенные выше уравнения для дельты широты/долготы ( $\Delta \phi \!$ , $\Delta \lambda \!$ ) и среднюю широту ( $\phi _{\mathrm {m} }\!$ ) может не дать ожидаемого ответа для положений вблизи полюсов или меридиана ±180°. Рассмотрим, например, значение $\Delta \lambda \!$ («смещение на восток»), когда $\lambda _{1}\!$ и $\lambda _{2}\!$ находятся по обе стороны от меридиана ±180° или значения $\phi _{\mathrm {m} }\!$ («средняя широта») для двух позиций ( $\phi _{1}\!$ =89°, $\lambda _{1}\!$ =45°) и ( $\phi _{2}\!$ =89°, $\lambda _{2}\!$ =−135°).

Если расчет, основанный на широте/долготе, должен быть действительным для всех положений Земли, необходимо убедиться, что разрыв и полюса обрабатываются правильно. Другое решение — использовать n -вектор вместо широты/долготы, поскольку это представление не имеет разрывов или сингулярностей.

Формулы аппроксимации плоской поверхности на малых расстояниях

Плоское приближение поверхности Земли может быть полезно на небольших расстояниях. Он аппроксимирует длину дуги, $D$ , к расстоянию туннеля, $D_{\textrm {t}}$ или пропускает преобразование между длинами дуги и хорды, показанное ниже.

Кратчайшее расстояние между двумя точками на плоскости — это декартова прямая. Теорема Пифагора используется для расчета расстояния между точками на плоскости.

Даже на коротких расстояниях точность вычислений географических расстояний, предполагающих плоскую Землю, зависит от метода, с помощью которого координаты широты и долготы были спроецированы на плоскость. Проекция координат широты и долготы на плоскость — это область картографии .

Формулы, представленные в этом разделе, имеют разную степень точности.

Формулы сферической Земли

Эта формула учитывает изменение расстояния между меридианами в зависимости от широты:

{\begin{aligned}D&=R{\sqrt {\left(2\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\,\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}+\left(2\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}}}\\&\approx R{\sqrt {\left(\Delta \phi \,\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}+\left(2\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}}}\ .\end{aligned}}

В случае средней или низкой широты

Кроме того, вышеизложенное упрощается путем аппроксимации синусоидальных функций ${\frac {\Delta \lambda }{2}}$ , оправдано, за исключением высоких широт:

D=R{\sqrt {(\Delta \phi )^{2}+(\cos(\phi _{\mathrm {m} })\Delta \lambda )^{2}}}

.

Это приближение очень быстрое и дает довольно точный результат на небольших расстояниях. ^{[ нужна ссылка ]}. Кроме того, при упорядочивании местоположений по расстоянию, например, в запросе к базе данных, упорядочивание по квадрату расстояния происходит быстрее, что устраняет необходимость вычисления квадратного корня.

Формулы эллипсоидальной Земли

Приведенная выше формула распространена на эллипсоидную Землю:

D={\sqrt {\left(M\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\Delta \phi \,\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}+\left(2N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}}}

,

где $M\,\!$ и $N\,\!$ — меридиональный « и его перпендикуляр, или « нормальные » , радиусы кривизны Земли Преобразовании географических координат ( их формулы см. также в »).

Он получается путем аппроксимации $\left(\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\Delta \phi \right)^{2}\approx 0$ в квадратном корне.

В случае средней или низкой широты

Кроме того, вышеизложенное упрощается путем аппроксимации синусоидальных функций ${\frac {\Delta \lambda }{2}}$ , оправдано, за исключением высоких широт: ^[2]^[3]

D={\sqrt {(M(\phi _{\mathrm {m} })\Delta \phi )^{2}+(N(\phi _{\mathrm {m} })\cos \phi _{\mathrm {m} }\Delta \lambda )^{2}}}.

Формула FCC

FCC : предписывает следующие формулы для расстояний, не превышающих 475 километров (295 миль) ^[4]

D={\sqrt {(K_{1}\Delta \phi )^{2}+(K_{2}\Delta \lambda )^{2}}},

где

D\,\!

= Расстояние в километрах;

\Delta \phi \,\!

и

\Delta \lambda \,\!

находятся в градусах;

\phi _{\mathrm {m} }\,\!

должны быть в единицах, совместимых с методом, используемым для определения

\cos \phi _{\mathrm {m} };\,\!

{\begin{aligned}K_{1}&=111.13209-0.56605\cos(2\phi _{\mathrm {m} })+0.00120\cos(4\phi _{\mathrm {m} });\\K_{2}&=111.41513\cos(\phi _{\mathrm {m} })-0.09455\cos(3\phi _{\mathrm {m} })+0.00012\cos(5\phi _{\mathrm {m} }).\end{aligned}}\,\!

Где

K_{1}

и

K_{2}

выражаются в километрах на угловой градус. Они получены из радиусов кривизны Земли следующим образом:

K_{1}=M(\phi _{\mathrm {m} }){\frac {\pi }{180}}\,\!

= километры на дуговой градус разницы широт;

K_{2}=\cos(\phi _{\mathrm {m} })N(\phi _{\mathrm {m} }){\frac {\pi }{180}}\,\!

= километры на дугу градуса разницы долготы;

Обратите внимание, что выражения в формуле FCC получены в результате усечения биномиального ряда формы разложения

M\,\!

и

N\,\!

, установленный на Кларка 1866 года эллипсоиде . Для более эффективной в вычислительном отношении реализации приведенной выше формулы несколько применений косинуса можно заменить одним применением и использованием рекуррентного соотношения для полиномов Чебышева .

Формула плоской Земли в полярных координатах

$D=R{\sqrt {\theta _{1}^{2}\;{\boldsymbol {+}}\;\theta _{2}^{2}\;\mathbf {-} \;2\theta _{1}\theta _{2}\cos(\Delta \lambda )}},$

где значения широты указаны в радианах:

\theta ={\frac {\pi }{2}}-\phi .

Для широты, измеряемой в градусах, широта в радианах может быть рассчитана следующим образом:

\theta ={\frac {\pi }{180}}(90^{\circ }-\phi ).\,\!

Формулы сферической поверхности

Если кто-то готов принять возможную ошибку в 0,5%, можно использовать формулы сферической тригонометрии для сферы, которая лучше всего аппроксимирует поверхность Земли.

Кратчайшее расстояние по поверхности сферы между двумя точками на поверхности — вдоль большого круга, содержащего две точки.

В статье о расстоянии по большому кругу приведена формула для расчета наименьшей длины арки. $D$ на сфере размером с Землю. В этой статье есть пример расчета. Например, с расстояния туннеля $D_{\textrm {t}}$ ,

D=2R\arcsin {\frac {D_{\textrm {t}}}{2R}}.

На короткие расстояния ( $D\ll R$ ),

D=D_{\textrm {t}}\left(1+{\frac {1}{24}}\left({\frac {D_{\textrm {t}}}{R}}\right)^{2}+\cdots \right).

Расстояние туннеля

Туннель между точками на Земле определяется декартовой линией, проходящей через трехмерное пространство между точками интереса.Расстояние туннеля $D_{\textrm {t}}=2R\sin {\frac {D}{2R}}$ - длина хорды большого круга, которую для соответствующей единичной сферы можно рассчитать следующим образом:

{\begin{aligned}\Delta {X}&=\cos(\phi _{2})\cos(\lambda _{2})-\cos(\phi _{1})\cos(\lambda _{1});\\\Delta {Y}&=\cos(\phi _{2})\sin(\lambda _{2})-\cos(\phi _{1})\sin(\lambda _{1});\\\Delta {Z}&=\sin(\phi _{2})-\sin(\phi _{1});\\D_{\textrm {t}}&=R{\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}+(\Delta {Z})^{2}}}\\&=2R{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\Delta \phi }{2}}+\left(\cos ^{2}{\frac {\Delta \phi }{2}}-\sin ^{2}\phi _{\textrm {m}}\right)\sin ^{2}{\frac {\Delta \lambda }{2}}}}\\&=2R{\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\right)^{2}}}.\end{aligned}}

Формулы эллипсоидальной поверхности

Эллипсоид гораздо лучше приближает поверхность Земли, чемсфера или плоская поверхность. Кратчайшее расстояние по поверхностиэллипсоида между двумя точками на поверхности проходит вдоль геодезический . Геодезические идут более сложными путями, чем великиекруги и, в частности, они обычно не возвращаются к исходному состоянию.положения после одного оборота Земли. Это проиллюстрировано врисунок справа, где f принято равным 1/50, чтобы подчеркнутьэффект. Найдя геодезическую между двумя точками на Земле,так называемая обратная геодезическая задача , была в центре внимания многихматематики и геодезисты на протяжении 18-19 вв.столетия с большим вкладом Клеро , ^[5]Лежандр , ^[6]Бессель , ^[7]и Хелмерт английский перевод Astron. Нахр. 4 , 241–254 (1825) . Ошибка . ^[8]Рэпп ^[9]дает хорошее резюме этой работы.

Методы расчета геодезического расстояния широко доступны в географические информационные системы , библиотеки программного обеспечения, автономныеутилиты и онлайн-инструменты. Наиболее широко используемый алгоритм – Винсенти , ^[10]который использует ряд с точностью до третьего порядка при сглаживанииэллипсоид, т.е. около 0,5 мм; однако алгоритм не можетсходятся в точках, которые почти противоположны . (Дляподробности см. в формулах Винсенти .) Этот дефект устраняется валгоритм, заданныйКарни, ^[11]который использует ряды с точностью до шестого порядка по сглаживанию.В результате получается алгоритм с точностью до полной двойной точности.и которая сходится для произвольных пар точек Земли. Этоталгоритм реализован в GeographicLib. ^[12]

Точные методы, описанные выше, применимы при проведении расчетов накомпьютер. Они предназначены для обеспечения точности до миллиметра на линиях любой сложности.длина; можно использовать более простые формулы, если не нужен миллиметрточность, или если нужна точность до миллиметра, но линия короткая.

Методы короткой линии изучались несколькими исследователями. Рэпп, ^[13] Глава. 6 описывает метод Пюиссана ,метод средних широт Гаусса и метод Боуринга. ^[14] Карл Хубени ^[15] получили расширенный ряд среднеширотного Гаусса, представленный как поправка к плоскоповерхностному.

Формула Ламберта для длинных линий

Исторически сложилось так, что формулы длинных линий выводились в виде рядов разложения с учетом сглаживания. $f$ .

Формулы Ламберта ^[16]использовать поправку первого порядка и уменьшенную широту , $\beta =\arctan \left((1-f)\tan \phi \right)$ , для большей точности. Они дают точность порядка 10 метров на тысячи километров.

Сначала преобразуйте широты $\scriptstyle \phi _{1}$ , $\scriptstyle \phi _{2}$ из двух точек в пониженные широты $\scriptstyle \beta _{1}$ , $\scriptstyle \beta _{2}$ .Затем вычислите центральный угол $\sigma$ в радианах между двумя точками $(\beta _{1},\;\lambda _{1})$ и $(\beta _{2},\;\lambda _{2})$ на сфере с использованием метода расстояния Большого круга ( формула гаверсинуса ), с долготами $\lambda _{1}\;$ и $\lambda _{2}\;$ на сфере то же самое, что и на сфероиде.

P={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{2}}\qquad Q={\frac {\beta _{2}-\beta _{1}}{2}}

X=(\sigma -\sin \sigma ){\frac {\sin ^{2}P\cos ^{2}Q}{\cos ^{2}{\frac {\sigma }{2}}}}\qquad \qquad Y=(\sigma +\sin \sigma ){\frac {\cos ^{2}P\sin ^{2}Q}{\sin ^{2}{\frac {\sigma }{2}}}}

{\textstyle \mathrm {distance} =a{\bigl (}\sigma -{\tfrac {f}{2}}(X+Y){\bigr )}}

,

где $a$ – экваториальный радиус выбранного сфероида.

На сфероиде GRS 80 формула Ламберта отклоняется на

от 0 севера от 0 запада до 40 севера 120 запада, 12,6 метра

От 0 Н 0 Вт до 40 Н 60 Вт, 6,6 метра

От 40 Н 0 Вт до 40 Н 60 Вт, 0,85 метра

Метод Гаусса для средних широт для коротких линий

Он имеет аналогичную форму длины дуги, преобразованной из расстояния туннеля. Подробные формулы приведены Раппом, ^[13] §6.4. По-видимому, это согласуется с вышеупомянутыми формулами плоской поверхности.

D=2N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\arcsin {\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin \left({\frac {\Delta \phi }{2}}{\frac {M\left(\phi _{\textrm {m}}\right)}{N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)}}\right)\right)^{2}}}.

Метод Боуринга для коротких линий

Боуринг отображает точки в сферу радиуса R' , широта и долгота которого представлены как φ' и λ'. Определять

A={\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{4}\phi _{1}}},\quad B={\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{2}\phi _{1}}},

где второй квадрат эксцентриситета равен

e'^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}={\frac {f(2-f)}{(1-f)^{2}}}.

Сферический радиус

R'={\frac {\sqrt {1+e'^{2}}}{B^{2}}}a.

( Гауссова кривизна эллипсоида в точке φ ₁ равна 1/ R′ ².)Сферические координаты имеют вид

{\begin{aligned}\tan \phi _{1}'&={\frac {\tan \phi _{1}}{B}},\\\Delta \phi '&={\frac {\Delta \phi }{B}}{\biggl [}1+{\frac {3e'^{2}}{4B^{2}}}(\Delta \phi )\sin(2\phi _{1}+{\tfrac {2}{3}}\Delta \phi ){\biggr ]},\\\Delta \lambda '&=A\Delta \lambda ,\end{aligned}}

где $\Delta \phi =\phi _{2}-\phi _{1}$ , $\Delta \phi '=\phi _{2}'-\phi _{1}'$ , $\Delta \lambda =\lambda _{2}-\lambda _{1}$ , $\Delta \lambda '=\lambda _{2}'-\lambda _{1}'$ . Возникшая проблема на сфере может быть решена с использованием методов навигации по большому кругу, чтобы получить приближенные значения сфероидального расстояния и пеленга. Подробные формулы предоставлены Раппом. ^[13] §6.5, Боуринг, ^[14] и Карни ^[17].

Коррекция высоты

Изменение высоты от топографического уровня или уровня земли до поверхности сферы или эллипсоида также меняет масштаб измерений расстояний. ^[18]Наклонное расстояние s ( длина хорды ) между двумя точками можно уменьшить до длины дуги на поверхности эллипсоида S как: ^[19]

S-s=-0.5(h_{1}+h_{2})s/R-0.5(h_{1}-h_{2})^{2}/s

где R оценивается по азимутальному радиусу кривизны Земли , а h — эллипсоидные высоты в каждой точке. Первый член в правой части уравнения учитывает среднюю высоту, а второй член — наклон.Дальнейшее уменьшение длины нормального сечения над Землей до эллипсоидальной геодезической длины часто незначительно. ^[19]

См. также

Ссылки

^ «Британское картографическое общество > Какова длина береговой линии Великобритании?» . Архивировано из оригинала 22 мая 2012 г. Проверено 6 декабря 2008 г.
^ Уильямс, Э. (2013). «Авиационный формуляр» . Проверено 23 июня 2024 г.
^ Уильямс, Э. (2002). «Навигация по сфероидальной Земле» . Проверено 28 ноября 2023 г.
^ «Опорные точки и расчет расстояний» (PDF) . Свод федеральных правил (ежегодное издание). Название 47: Телекоммуникации . 73 (208). 1 октября 2016 года . Проверено 8 ноября 2017 г.
^ Клеро, AC (1735 г.). «Геометрическое определение перпендикуляра к меридиану, проведенного Жаком Кассини» . Мемуары Королевской академии наук Парижа 1733 г. (на французском языке): 406–416.
^ Лежандр, AM (1806 г.). «Анализ треугольников, нарисованных на поверхности сфероида» [Анализ сфероидальных треугольников]. Mémoires de l'Institut National de France (на французском языке) (1-й семестр): 130–161.
^ Бессель, Ф.В. (2010) [1825]. «Расчет долготы и широты по геодезическим измерениям». Астрономические Нахрихтен . 331 (8). . Перевод CFF Karney & RE Deakin: 852–861. arXiv : 0908.1824 . Бибкод : 2010AN....331..852K . дои : 10.1002/asna.201011352 . S2CID 118760590 . {{cite journal}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
^ Гельмерт, Франция (1964) [1880]. Математические и физические теории высшей геодезии . Том. 1. Сент-Луис: Центр аэронавигационных карт и информации. {{cite book}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка ) Английский перевод «Математических и физических теорий высшей геодезии» , Том 1 (Тойбнер, Лейпциг, 1880).
^ Рэпп, Р.Х. (март 1993 г.). Геометрическая геодезия. Часть II (Технический отчет). Университет штата Огайо . Проверено 1 августа 2011 г.
^ Винсенти, Т. (апрель 1975 г.). «Прямые и обратные решения геодезических на эллипсоиде с применением вложенных уравнений» (PDF) . Обзор опроса . 23 (176): 88–93. дои : 10.1179/sre.1975.23.176.88 . Проверено 11 июля 2009 г. Приложение: Обзор обзора 23 (180): 294 (1976). {{cite journal}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
^ Карни, CFF (2013). «Алгоритмы геодезических». Журнал геодезии . 87 (1): 43–55. arXiv : 1109.4448 . Бибкод : 2013JGeod..87...43K . дои : 10.1007/s00190-012-0578-z . S2CID 119310141 . – (открытый доступ). Дополнения .
^ Карни, CFF (2013). «Географическая библиотека» . 1.32.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Рапп, Р.Х. (1991). Геометрическая геодезия. Часть I (Отчет). Стартовый университет Огайо. hdl : 1811/24333 . {{cite report}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Jump up to: ^а ^б Боуринг, БР (1981). «Прямая и обратная задачи для коротких геодезических линий на эллипсоиде». Геодезия и картографирование . 41 (2): 135–141.
^ Хубени, К. (1954). Разработка формул гауссовой средней ширины , Австрийский журнал геодезии.
^ Ламберт, WD (1942). «Расстояние между двумя далеко отстоящими друг от друга точками на поверхности Земли». Академия наук Дж. Вашингтона . 32 (5): 125–130.
^ GeographicLib#Краткие геодезические
^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 27 августа 2014 г. Проверено 26 августа 2014 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )
^ Jump up to: ^а ^б Торге и Мюллер (2012) Геодезия, Де Грюйтер, стр.249

Внешние ссылки

( Онлайн-геодезический калькулятор на основе GeographicLib).
Интернет -геодезическая библиография .

[1] «Британское картографическое общество > Какова длина береговой линии Великобритании?» . Архивировано из оригинала 22 мая 2012 г. Проверено 6 декабря 2008 г.

[2] Уильямс, Э. (2013). «Авиационный формуляр» . Проверено 23 июня 2024 г.

[3] Уильямс, Э. (2002). «Навигация по сфероидальной Земле» . Проверено 28 ноября 2023 г.

[4] «Опорные точки и расчет расстояний» (PDF) . Свод федеральных правил (ежегодное издание). Название 47: Телекоммуникации . 73 (208). 1 октября 2016 года . Проверено 8 ноября 2017 г.

[5] Клеро, AC (1735 г.). «Геометрическое определение перпендикуляра к меридиану, проведенного Жаком Кассини» . Мемуары Королевской академии наук Парижа 1733 г. (на французском языке): 406–416.

[6] Лежандр, AM (1806 г.). «Анализ треугольников, нарисованных на поверхности сфероида» [Анализ сфероидальных треугольников]. Mémoires de l'Institut National de France (на французском языке) (1-й семестр): 130–161.

[7] Бессель, Ф.В. (2010) [1825]. «Расчет долготы и широты по геодезическим измерениям». Астрономические Нахрихтен . 331 (8). . Перевод CFF Karney & RE Deakin: 852–861. arXiv : 0908.1824 . Бибкод : 2010AN....331..852K . дои : 10.1002/asna.201011352 . S2CID 118760590 . {{cite journal}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

[8] Гельмерт, Франция (1964) [1880]. Математические и физические теории высшей геодезии . Том. 1. Сент-Луис: Центр аэронавигационных карт и информации. {{cite book}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка ) Английский перевод «Математических и физических теорий высшей геодезии» , Том 1 (Тойбнер, Лейпциг, 1880).

[9] Рэпп, Р.Х. (март 1993 г.). Геометрическая геодезия. Часть II (Технический отчет). Университет штата Огайо . Проверено 1 августа 2011 г.

[10] Винсенти, Т. (апрель 1975 г.). «Прямые и обратные решения геодезических на эллипсоиде с применением вложенных уравнений» (PDF) . Обзор опроса . 23 (176): 88–93. дои : 10.1179/sre.1975.23.176.88 . Проверено 11 июля 2009 г. Приложение: Обзор обзора 23 (180): 294 (1976). {{cite journal}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

[11] Карни, CFF (2013). «Алгоритмы геодезических». Журнал геодезии . 87 (1): 43–55. arXiv : 1109.4448 . Бибкод : 2013JGeod..87...43K . дои : 10.1007/s00190-012-0578-z . S2CID 119310141 . – (открытый доступ). Дополнения .

[12] Карни, CFF (2013). «Географическая библиотека» . 1.32.

[rapp91-13] Jump up to: ^а ^б ^с Рапп, Р.Х. (1991). Геометрическая геодезия. Часть I (Отчет). Стартовый университет Огайо. hdl : 1811/24333 . {{cite report}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[bowring81-14] Jump up to: ^а ^б Боуринг, БР (1981). «Прямая и обратная задачи для коротких геодезических линий на эллипсоиде». Геодезия и картографирование . 41 (2): 135–141.

[15] Хубени, К. (1954). Разработка формул гауссовой средней ширины , Австрийский журнал геодезии.

[16] Ламберт, WD (1942). «Расстояние между двумя далеко отстоящими друг от друга точками на поверхности Земли». Академия наук Дж. Вашингтона . 32 (5): 125–130.

[“GeographicLib”-17] GeographicLib#Краткие геодезические

[18] «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 27 августа 2014 г. Проверено 26 августа 2014 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

[T&G-19] Jump up to: ^а ^б Торге и Мюллер (2012) Геодезия, Де Грюйтер, стр.249

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]