Биномиальный ряд

В математике биномиальный ряд является обобщением многочлена, который получается из выражения биномиальной формулы, например $(1+x)^{n}$ для неотрицательного целого числа $n$. В частности, биномиальный ряд — это ряд Маклорена для функции $f(x)=(1+x)^{\alpha }$, где $\alpha \in \mathbb {C}$ и $|x|<1$. Явно,

${\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\binom {\alpha }{k}}\;x^{k}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}}x^{3}+\cdots \end{aligned}}$ ( 1 )

где степенной ряд в правой части ( 1 ) выражается через (обобщенные) биномиальные коэффициенты

${\binom {\alpha }{k}}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}.$

Обратите внимание, что если α — целое неотрицательное число n , то x ^{п + 1} член и все последующие члены ряда равны 0 , поскольку каждый из них содержит коэффициент ( n − n ) . Таким образом, в этом случае ряд конечен и дает алгебраическую биномиальную формулу .

Конвергенция

Условия конвергенции

ли ( 1 ) Сходится зависит от значений комплексных чисел α и x . Точнее:

1. Если | х | < 1 , ряд сходится абсолютно для любого комплексного числа α .
2. Если | х | = 1 , ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда Re ( α 0 или α = 0 , где Re( α ) обозначает действительную часть α ) > .
3. Если | х | = 1 и x ≠ −1 , ряд сходится тогда и только тогда, когда Re( α ) > −1 .
4. Если x = −1 , ряд сходится тогда и только тогда, когда Re( α ) > 0 или α = 0 .
5. Если | х | > 1 , ряд расходится, за исключением случаев, когда α является неотрицательным целым числом, и в этом случае ряд является конечной суммой.

В частности, если α не является неотрицательным целым числом, ситуация на границе круга сходимости , | х | = 1 , суммируется следующим образом:

• Если Re( α ) > 0 , ряд сходится абсолютно.
• Если −1 < Re( α ) ≤ 0 , ряд сходится условно, если x ≠ −1 , и расходится, если x = −1 .
• Если Re( α ) ⩽ −1 , ряд расходится.

Личности, которые будут использоваться в доказательстве

справедливы следующие утверждения Для любого комплексного числа α :

${\alpha \choose 0}=1,$

${\alpha \choose k+1}={\alpha \choose k}\,{\frac {\alpha -k}{k+1}},$ ( 2 )

${\alpha \choose k-1}+{\alpha \choose k}={\alpha +1 \choose k}.$ ( 3 )

Пока не $\alpha$ является неотрицательным целым числом (в этом случае биномиальные коэффициенты обращаются в нуль как $k$ больше, чем $\alpha$), полезное асимптотическое соотношение для биномиальных коэффициентов в обозначениях Ландау :

${\alpha \choose k}={\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-\alpha )k^{1+\alpha }}}\,(1+o(1)),\quad {\text{as }}k\to \infty .$ ( 4 )

По сути, это эквивалентно определению Эйлера гамма-функции :

$\Gamma (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {k!\;k^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+k)}},$

и сразу подразумевает более грубые границы

${\frac {m}{k^{1+\operatorname {Re} \,\alpha }}}\leq \left|{\alpha \choose k}\right|\leq {\frac {M}{k^{1+\operatorname {Re} \alpha }}},$ ( 5 )

для некоторых положительных констант m и M .

Формулу ( 2 ) для обобщенного биномиального коэффициента можно переписать в виде

${\alpha \choose k}=\prod _{j=1}^{k}\left({\frac {\alpha +1}{j}}-1\right).$ ( 6 )

Доказательство

Чтобы доказать (i) и (v), примените тест соотношения и используйте приведенную выше формулу ( 2 ), чтобы показать, что всякий раз, когда $\alpha$ не является неотрицательным целым числом, радиус сходимости равен ровно 1. Часть (ii) следует из формулы ( 5 ) по сравнению с p -рядом

$\sum _{k=1}^{\infty }\;{\frac {1}{k^{p}}},$

с $p=1+\operatorname {Re} \alpha$. Чтобы доказать (iii), сначала используйте формулу ( 3 ), чтобы получить

$(1+x)\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha +1 \choose k}\;x^{k}+{\alpha \choose n}\;x^{n+1},$ ( 7 )

а затем снова используйте (ii) и формулу ( 5 ), чтобы доказать сходимость правой части, когда $\operatorname {Re} \alpha >-1$ предполагается. С другой стороны, ряд не сходится, если $|x|=1$ и $\operatorname {Re} \alpha \leq -1$, опять же по формуле ( 5 ). Альтернативно, мы можем заметить, что для всех $j$, ${\textstyle \left|{\frac {\alpha +1}{j}}-1\right|\geq 1-{\frac {\operatorname {Re} \alpha +1}{j}}\geq 1}$. Таким образом, по формуле ( 6 ) для всех ${\textstyle k,\left|{\alpha \choose k}\right|\geq 1}$. Это завершает доказательство (iii). Переходя к (iv), мы используем тождество ( 7 ) выше с $x=-1$ и $\alpha -1$ вместо $\alpha$, вместе с формулой ( 4 ), чтобы получить

$\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;(-1)^{k}={\alpha -1 \choose n}\;(-1)^{n}={\frac {1}{\Gamma (-\alpha +1)n^{\alpha }}}(1+o(1))$

как $n\to \infty$. Утверждение (iv) теперь следует из асимптотического поведения последовательности $n^{-\alpha }=e^{-\alpha \log(n)}$. (Именно так, $\left|e^{-\alpha \log n}\right|=e^{-\operatorname {Re} \alpha \,\log n}$конечно сходится к $0$ если $\operatorname {Re} \alpha >0$ и расходится в $+\infty$ если $\operatorname {Re} \alpha <0$. Если $\operatorname {Re} \alpha =0$, затем $n^{-\alpha }=e^{-i\operatorname {Im} \alpha \log n}$ сходится тогда и только тогда, когда последовательность $\operatorname {Im} \alpha \log n$ сходится ${\bmod {2\pi }}$, что, безусловно, верно, если $\alpha =0$ но неверно, если $\operatorname {Im} \alpha \neq 0$: в последнем случае последовательность плотная ${\bmod {2\pi }}$, в связи с тем, что $\log n$ расходится и $\log(n+1)-\log n$ сходится к нулю).

Суммирование биномиального ряда

Обычный аргумент в пользу вычисления суммы биномиального ряда выглядит следующим образом. дифференцирование Почленное биномиального ряда внутри круга сходимости | х | < 1 и используя формулу ( 1 ), получаем, что сумма ряда представляет собой аналитическую функцию, решающую обыкновенное дифференциальное уравнение (1 + x ) u ′( x ) − αu ( x ) = 0 с начальным условием u (0) = 1 .

Единственным решением этой проблемы является функция u ( x ) = (1 + x ) ^а . Действительно, умножив на интегрирующий множитель (1 + x ) ^{− а −1} дает

$0=(1+x)^{-\alpha }u'(x)-\alpha (1+x)^{-\alpha -1}u(x)={\big [}(1+x)^{-\alpha }u(x){\big ]}'\,,$

поэтому функция (1 + x ) ^{- а} u ( x ) — константа, которая, как говорит нам начальное условие, равна 1 . То есть ты ( Икс ) = (1 + Икс ) ^а является суммой биномиального ряда для | х | < 1 .

Равенство распространяется на | х | = 1 когда ряд сходится, как следствие теоремы Абеля и непрерывности x (1 + ) всякий раз , ^а .

биномиальный

Тесно связан отрицательный биномиальный ряд, определяемый рядом Маклорена для функции $g(x)=(1-x)^{-\alpha }$, где $\alpha \in \mathbb {C}$ и $|x|<1$. Явно,

${\begin{aligned}{\frac {1}{(1-x)^{\alpha }}}&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\frac {g^{(k)}(0)}{k!}}\;x^{k}\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha +1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)}{3!}}x^{3}+\cdots ,\end{aligned}}$

который записан через коэффициент мультимножества

$\left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right):={\alpha +k-1 \choose k}={\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\cdots (\alpha +k-1)}{k!}}\,.$

Когда α является положительным целым числом, очевидны несколько общих последовательностей. Случай α = 1 дает ряд 1 + x + x ² + х ³ + ... , где коэффициент каждого члена ряда равен просто 1 . Случай α = 2 дает ряд 1 + 2 x + 3 x ² + 4x ³ + ... , коэффициентами которого являются числа счета. Случай α = 3 дает ряд 1 + 3 x + 6 x ² + 10 х ³ + ... которого являются числа треугольников , коэффициентами . Случай α = 4 дает ряд 1 + 4 x + 10 x ² + 20 х ³ + ... , коэффициентами которого являются тетраэдрические числа , и аналогично для более высоких целочисленных значений α .

К отрицательному биномиальному ряду относится случай геометрического ряда , степенного ряда

$${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$$

(который представляет собой отрицательный биномиальный ряд, когда $\alpha =1$, сходящийся в диске $|x|<1$) и, в более общем смысле, ряды, полученные дифференцированием геометрического степенного ряда:

$${\frac {1}{(1-x)^{n}}}={\frac {1}{(n-1)!}}{\frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}}{\frac {1}{1-x}}$$

с $\alpha =n$, положительное целое число.

История

Первые результаты, касающиеся биномиальных рядов для показателей, отличных от положительных целых чисел, были получены сэром Исааком Ньютоном при изучении площадей, заключенных под определенными кривыми. Джон Уоллис основывался на этой работе, рассматривая выражения вида y = (1 − x ² ) ^м где m — дробь. Он обнаружил, что (в современной терминологии) последовательные коэффициенты c _k числа (− x ² ) ^к находятся путем умножения предыдущего коэффициента на m − ( k − 1) / k (как и в случае целых показателей), тем самым неявно давая формулу для этих коэффициентов. Он явно пишет следующие случаи

$(1-x^{2})^{1/2}=1-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}}-{\frac {x^{6}}{16}}\cdots$

$(1-x^{2})^{3/2}=1-{\frac {3x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{16}}\cdots$

$(1-x^{2})^{1/3}=1-{\frac {x^{2}}{3}}-{\frac {x^{4}}{9}}-{\frac {5x^{6}}{81}}\cdots$

Поэтому биномиальный ряд иногда называют биномиальной теоремой Ньютона . Ньютон не приводит никаких доказательств и не дает явных объяснений о природе ряда. Позже, в 1826 году, Нильс Хенрик Абель обсуждал эту тему в статье, опубликованной в журнале Crelle's Journal , в которой, в частности, рассматривались вопросы конвергенции.

См. также

• Биномиальное приближение
• Биномиальная теорема
• Таблица ньютоновских рядов

Ссылки

• Абель, Нильс (1826 г.), «Исследование ряда 1 + ( m /1)x + ( m ( m - 1)/1,2)x ² + ( м ( м - 1)( м - 2)/1.2.3) х ³ +...» , Журнал чистой и прикладной математики , 1 : 311–339
• Кулидж, Дж. Л. (1949), «История биномиальной теоремы», The American Mathematical Monthly , 56 (3): 147–157, doi : 10.2307/2305028 , JSTOR   2305028

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Биномиальный ряд» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Биномиальная теорема» . Математический мир .
• биномиальная формула в PlanetMath .
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Биномиальный ряд» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• «Как Исаак Ньютон открыл биномиальный степенной ряд» . 31 августа 2022 г.