Теорема Абеля

Эта статья о теореме Абеля о степенных рядах . Для получения информации о теореме Абеля об алгебраических кривых см. карту Абеля – Якоби . О теореме Абеля о неразрешимости уравнения пятой степени см. Теорему Абеля – Руффини . Для получения информации о теореме Абеля о линейных дифференциальных уравнениях см. тождество Абеля . Для получения информации о теореме Абеля о неприводимых полиномах см. Теорему Абеля о неприводимости . Формулу Абеля для суммирования ряда с использованием интеграла см. в формуле суммирования Абеля .

В математике для теорема Абеля степенного ряда связывает предел степенного ряда с суммой его коэффициентов . Оно названо в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля , доказавшего его в 1826 году.

Теорема

Пусть ряд Тейлора $$G(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}$$ быть степенным рядом с действительными коэффициентами $a_{k}$ с радиусом схождения $1.$ Предположим, что ряд $$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$$ сходится . Затем $G(x)$ непрерывен слева в $x=1,$ то есть, $$\lim _{x\to 1^{-}}G(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}.$$

Та же теорема верна и для комплексных степенных рядов $$G(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k},$$ при условии, что $z\to 1$ целиком в пределах одного сектора Штольца , то есть области открытого единичного диска , где $$|1-z|\leq M(1-|z|)$$ для некоторого фиксированного конечного $M>1$. Без этого ограничения предел может не существовать: например, степенной ряд $$\sum _{n>0}{\frac {z^{3^{n}}-z^{2\cdot 3^{n}}}{n}}$$ сходится к $0$ в $z=1,$ но неограничен вблизи любой точки вида $e^{\pi i/3^{n}},$ поэтому значение в $z=1$ это не предел, так как $z$ стремится к 1 на всем открытом диске.

Обратите внимание, что $G(z)$ непрерывен на действительном отрезке $[0,t]$ для $t<1,$ в силу равномерной сходимости ряда на компактах круга сходимости. Теорема Абеля позволяет сказать больше, а именно, что ограничение $G(z)$ к $[0,1]$ является непрерывным.

Штольц сектор

20 секторов Штольца, за $M$ от 1,01 до 10. Красные линии — это касательные к конусу на правом конце.

Сектор Штольц $|1-z|\leq M(1-|z|)$ имеет явное уравнение $$y^{2}=-{\frac {M^{4}(x^{2}-1)-2M^{2}((x-1)x+1)+2{\sqrt {M^{4}(-2M^{2}(x-1)+2x-1)}}+(x-1)^{2}}{(M^{2}-1)^{2}}}$$и отображается справа для различных значений.

Левый конец сектора $x={\frac {1-M}{1+M}}$, а правый конец $x=1$. На правом конце он становится конусом с углом $2\theta$ где $\cos \theta ={\frac {1}{M}}$.

Примечания

Как непосредственное следствие этой теоремы, если $z$ любое ненулевое комплексное число, для которого ряд $$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$$ сходится, то отсюда следует, что $$\lim _{t\to 1^{-}}G(tz)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$$ в котором предел берется снизу .

Теорему также можно обобщить для учета сумм, стремящихся к бесконечности. Если $$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\infty$$ затем $$\lim _{z\to 1^{-}}G(z)\to \infty .$$

Однако если известно, что ряд расходится только по причинам, отличным от расхождения к бесконечности, то утверждение теоремы может оказаться неверным: возьмем, к примеру, степенной ряд для $${\frac {1}{1+z}}.$$

В $z=1$ ряд равен $1-1+1-1+\cdots ,$ но ${\tfrac {1}{1+1}}={\tfrac {1}{2}}.$

Отметим также, что теорема справедлива для радиусов сходимости, отличных от $R=1$: позволять $$G(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}$$ быть степенным рядом с радиусом сходимости $R,$ и предположим, что ряд сходится в точке $x=R.$ Затем $G(x)$ непрерывен слева в $x=R,$ то есть, $$\lim _{x\to R^{-}}G(x)=G(R).$$

Приложения

Полезность теоремы Абеля состоит в том, что она позволяет нам найти предел степенного ряда в качестве его аргумента (т. е. $z$) подходы $1$ снизу, даже в тех случаях, когда радиус схождения , $R,$ степенного ряда равен $1$ и мы не можем быть уверены, должен ли предел быть конечным или нет. См., например, биномиальный ряд . Теорема Абеля позволяет нам вычислять многие ряды в замкнутой форме. Например, когда $$a_{k}={\frac {(-1)^{k}}{k+1}},$$ мы получаем $$G_{a}(z)={\frac {\ln(1+z)}{z}},\qquad 0<z<1,$$ путем почленного интегрирования равномерно сходящегося геометрического степенного ряда по $[-z,0]$; таким образом, серия $$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}$$ сходится к $\ln 2$ по теореме Абеля. Сходным образом, $$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$$ сходится к $\arctan 1={\tfrac {\pi }{4}}.$

$G_{a}(z)$ называется производящей функцией последовательности $a.$ Теорема Абеля часто полезна при работе с производящими функциями вещественных и неотрицательных последовательностей , такими как функции, порождающие вероятность . В частности, это полезно в теории процессов Гальтона–Ватсона .

Схема доказательства

После вычитания константы из $a_{0},$ мы можем предположить, что $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=0.$ Позволять $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\!.$ Затем подставив $a_{k}=s_{k}-s_{k-1}$ и выполнение простой манипуляции с рядом ( суммирование по частям ) приводит к $$G_{a}(z)=(1-z)\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}z^{k}.$$

Данный $\varepsilon >0,$ выбирать $n$ достаточно большой, чтобы $|s_{k}|<\varepsilon$ для всех $k\geq n$ и обратите внимание, что $$\left|(1-z)\sum _{k=n}^{\infty }s_{k}z^{k}\right|\leq \varepsilon |1-z|\sum _{k=n}^{\infty }|z|^{k}=\varepsilon |1-z|{\frac {|z|^{n}}{1-|z|}}<\varepsilon M$$ когда $z$ лежит в пределах заданного угла Штольца. В любое время $z$ достаточно близко к $1$ у нас есть $$\left|(1-z)\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}z^{k}\right|<\varepsilon ,$$ так что $\left|G_{a}(z)\right|<(M+1)\varepsilon$ когда $z$ оба достаточно близки к $1$ и в пределах угла Штольца.

Связанные понятия

Обратные к теореме, подобные теореме Абеля, называются тауберовыми теоремами : точного обратного утверждения не существует, но результаты зависят от некоторой гипотезы. В области расходящихся рядов и методов их суммирования содержится много теорем абелева и тауберова типов .

См. также

• Формула суммирования Абеля - интегрирование по частям версия метода Абеля для суммирования по частям
• Возобновление Нахбина - Теорема, ограничивающая скорость роста аналитических функций. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Суммирование по частям - теорема об упрощении сумм произведений последовательностей.

Дальнейшее чтение

• Альфорс, Ларс Валериан (1 сентября 1980 г.). Комплексный анализ (Третье изд.). Высшее образование Макгроу Хилл. стр. 41–42. ISBN  0-07-085008-9 . - Альфорс назвал это предельной теоремой Абеля .

Внешние ссылки

• Суммирование по Абелю в PlanetMath . (более общий взгляд на абелевы теоремы этого типа)
• А.А. Захаров (2001) [1994], «Метод суммирования Абеля» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема сходимости Абеля» . Математический мир .