Личность Абеля

«Формула Абеля» перенаправляется сюда. Формулу для разностных операторов см. в разделе «Суммирование по частям» .

В математике ( тождество Абеля также называемое формулой Абеля или тождество дифференциального уравнения Абеля ) — уравнение, выражающее вронскиан двух решений однородного линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка через коэффициент исходного дифференциального уравнения. Это соотношение можно обобщить на n линейные обыкновенные дифференциальные уравнения -го порядка. Тождество названо в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля .

Поскольку тождество Абеля относится к различным линейно независимым решениям дифференциального уравнения, его можно использовать для нахождения одного решения из другого. Он обеспечивает полезные тождества, связывающие решения, а также полезен как часть других методов, таких как метод изменения параметров . Это особенно полезно для таких уравнений, как уравнение Бесселя , решения которых не имеют простой аналитической формы, поскольку в таких случаях вронскиан трудно вычислить напрямую.

Обобщение систем однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка даёт формула Лиувилля .

Заявление

Рассмотрим однородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

$y''+p(x)y'+q(x)\,y=0$

на интервале I вещественной прямой с действительными или комплекснозначными функциями непрерывными p и q . Личность Абеля утверждает, что вронскианец $W=(y_{1},y_{2})$ двух действительных или комплексных решений $y_{1}$ и $y_{2}$ этого дифференциального уравнения, то есть функция, определяемая определителем

$W(y_{1},y_{2})(x)={\begin{vmatrix}y_{1}(x)&y_{2}(x)\\y'_{1}(x)&y'_{2}(x)\end{vmatrix}}=y_{1}(x)\,y'_{2}(x)-y'_{1}(x)\,y_{2}(x),\quad x\in I,$

удовлетворяет отношению

$W(y_{1},y_{2})(x)=W(y_{1},y_{2})(x_{0})\cdot \exp \left(-\int _{x_{0}}^{x}p(t)\,dt\right),\quad x\in I,$

за каждую точку $x_{0}\in I$.

Примечания

• В частности, когда дифференциальное уравнение действительно, вронскиан $W(y_{1},y_{2})$ всегда либо тождественно равен нулю, всегда положителен или всегда отрицателен в каждой точке $x$ в $I$ (см. доказательство ниже). Последние случаи подразумевают два решения $y_{1}$ и $y_{2}$ линейно независимы ( см. в Вронскиане ). доказательство
• Нет необходимости предполагать, что вторые производные решений $y_{1}$ и $y_{2}$ являются непрерывными.
• Теорема Абеля особенно полезна, если $p(x)=0$, потому что это подразумевает, что $W$ является постоянным.

Доказательство

Дифференцирование вронскиана с использованием правила произведения дает (написание $W$ для $W(y_{1},y_{2})$ и опуская аргумент $x$ для краткости)

${\begin{aligned}W'&=y_{1}'y_{2}'+y_{1}y_{2}''-y_{1}''y_{2}-y_{1}'y_{2}'\\&=y_{1}y_{2}''-y_{1}''y_{2}.\end{aligned}}$

Решение для $y''$ в исходном дифференциальном уравнении дает

$y''=-(py'+qy).$

Подставив этот результат в производную функции Вронского, чтобы заменить вторые производные $y_{1}$ и $y_{2}$ дает

${\begin{aligned}W'&=-y_{1}(py_{2}'+qy_{2})+(py_{1}'+qy_{1})y_{2}\\&=-p(y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2})\\&=-pW.\end{aligned}}$

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, и осталось показать, что тождество Абеля дает единственное решение, достигающее значения $W(x_{0})$ в $x_{0}$. Поскольку функция $p$ постоянно включен $I$, он ограничен на каждом замкнутом и ограниченном подинтервале $I$ и, следовательно, интегрируемо, следовательно,

$V(x)=W(x)\,\exp \!\left(\int _{x_{0}}^{x}p(\xi )\,{\textrm {d}}\xi \right),\qquad x\in I,$

является четко определенной функцией. Дифференцируя обе части, используя правило произведения, правило цепочки , производную показательной функции и основную теорему исчисления , получаем

$V'(x)={\bigl (}W'(x)+W(x)p(x){\bigr )}\,\exp \!{\biggl (}\int _{x_{0}}^{x}p(\xi )\,{\textrm {d}}\xi {\biggr )}=0,\qquad x\in I,$

из-за дифференциального уравнения для $W$. Поэтому, $V$ должен быть постоянно включен $I$, поскольку в противном случае мы получили бы противоречие с теоремой о среднем значении (примененной отдельно к действительной и мнимой части в комплексном случае). С $V(x_{0})=W(x_{0})$тождество Абеля следует из решения определения $V$ для $W(x)$.

Доказательство того, что вронскиан никогда не меняет знак

Для всех $x\in I$, вронский $W(y_{1},y_{2})(x)$ либо тождественно равен нулю, всегда положителен, либо всегда отрицателен, учитывая, что $y_{1}$, $y_{2}$, и $p(x)$ имеют реальную стоимость. Это демонстрируется следующим образом.

Личность Авеля гласит, что $W(y_{1},y_{2})(x)=W(y_{1},y_{2})(x_{0})\cdot e^{-\int _{x_{0}}^{x}p(x')\,{\textrm {d}}x'}\forall x\in I,$

Позволять $c=W(y_{1},y_{2})(x_{0})$. Затем $c$ должна быть константой с действительным знаком, потому что $y_{1}$ и $y_{2}$ имеют реальную стоимость.

Позволять $f(x)=-\int _{x_{0}}^{x}p(x')\,{\textrm {d}}x'$. Как $p(x)$ имеет реальную ценность, так же как и $f(x)$, так $e^{f(x)}$ является строго положительным.

Таким образом, $W(y_{1},y_{2})(x)=c\cdot e^{f(x)}$ тождественно равен нулю, когда $c=0$, всегда позитивен, когда $c$ положительна и всегда отрицательна, если $c$ является отрицательным.

Кроме того, когда $y_{1}$, $y_{2}$, и $p(x)$, можно аналогичным образом показать, что $W(y_{1},y_{2})(x)$ либо одинаково $0$ или ненулевое значение для всех значений x.

Обобщение

Вронский $W(y_{1},\ldots ,y_{n})$ из $n$ функции $y_{1},\ldots ,y_{n}$ на интервале $I$ - функция, определяемая определителем

$W(y_{1},\ldots ,y_{n})(x)={\begin{vmatrix}y_{1}(x)&y_{2}(x)&\cdots &y_{n}(x)\\y'_{1}(x)&y'_{2}(x)&\cdots &y'_{n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-1)}(x)&y_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &y_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}},\qquad x\in I,$

Рассмотрим однородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение порядка $n\geq 1$:

$y^{(n)}+p_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}+\cdots +p_{1}(x)\,y'+p_{0}(x)\,y=0,$

на интервале $I$ действительной линии с действительной или комплексной непрерывной функцией $p_{n-1}$. Позволять $y_{1},\ldots ,y_{n}$ решениями этого дифференциального уравнения n- го порядка. Тогда обобщение тождества Абеля утверждает, что этот вронскиан удовлетворяет соотношению:

$W(y_{1},\ldots ,y_{n})(x)=W(y_{1},\ldots ,y_{n})(x_{0})\exp {\biggl (}-\int _{x_{0}}^{x}p_{n-1}(\xi )\,{\textrm {d}}\xi {\biggr )},\qquad x\in I,$

за каждую точку $x_{0}\in I$.

Прямое доказательство

Для краткости запишем $W$ для $W(y_{1},\ldots ,y_{n})$ и опустить аргумент $x$. Достаточно показать, что вронскиан является решением линейного дифференциального уравнения первого порядка

$W'=-p_{n-1}\,W,$

поскольку оставшаяся часть доказательства тогда совпадает с доказательством для случая $n=2$.

В случае $n=1$ у нас есть $W=y_{1}$ и дифференциальное уравнение для $W$ совпадает с таковым для $y_{1}$. Поэтому предположим $n\geq 2$ в следующем.

Производная от вронскиана $W$ является производной определяющего определителя. следует Из формулы Лейбница для определителей , что эту производную можно вычислить, дифференцируя каждую строку в отдельности, следовательно,

${\begin{aligned}W'&={\begin{vmatrix}y'_{1}&y'_{2}&\cdots &y'_{n}\\y'_{1}&y'_{2}&\cdots &y'_{n}\\y''_{1}&y''_{2}&\cdots &y''_{n}\\y'''_{1}&y'''_{2}&\cdots &y'''_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-1)}&y_{2}^{(n-1)}&\cdots &y_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\y''_{1}&y''_{2}&\cdots &y''_{n}\\y''_{1}&y''_{2}&\cdots &y''_{n}\\y'''_{1}&y'''_{2}&\cdots &y'''_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-1)}&y_{2}^{(n-1)}&\cdots &y_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}\\&\qquad +\ \cdots \ +{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\y'_{1}&y'_{2}&\cdots &y'_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-3)}&y_{2}^{(n-3)}&\cdots &y_{n}^{(n-3)}\\y_{1}^{(n-2)}&y_{2}^{(n-2)}&\cdots &y_{n}^{(n-2)}\\y_{1}^{(n)}&y_{2}^{(n)}&\cdots &y_{n}^{(n)}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}$

Однако обратите внимание, что каждый определитель из разложения содержит пару одинаковых строк, кроме последней. Поскольку определители с линейно зависимыми строками равны 0, остается только последний:

$W'={\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\y'_{1}&y'_{2}&\cdots &y'_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-2)}&y_{2}^{(n-2)}&\cdots &y_{n}^{(n-2)}\\y_{1}^{(n)}&y_{2}^{(n)}&\cdots &y_{n}^{(n)}\end{vmatrix}}.$

Поскольку каждый $y_{i}$ решает обыкновенное дифференциальное уравнение, имеем

$y_{i}^{(n)}+p_{n-2}\,y_{i}^{(n-2)}+\cdots +p_{1}\,y'_{i}+p_{0}\,y_{i}=-p_{n-1}\,y_{i}^{(n-1)}$

для каждого $i\in \lbrace 1,\ldots ,n\rbrace$. Следовательно, прибавив к последней строке вышеуказанного определителя $p_{0}$ раз его первую строку, $p_{1}$ раз его вторую строку и так далее, пока $p_{n-2}$ умноженное на предпоследнюю строку, значение определителя производной $W$ не изменяется, и мы получаем

$W'={\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\y'_{1}&y'_{2}&\cdots &y'_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-2)}&y_{2}^{(n-2)}&\cdots &y_{n}^{(n-2)}\\-p_{n-1}\,y_{1}^{(n-1)}&-p_{n-1}\,y_{2}^{(n-1)}&\cdots &-p_{n-1}\,y_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}=-p_{n-1}W.$

Доказательство по формуле Лиувилля.

Решения $y_{1},\ldots ,y_{n}$ сформировать решение с квадратной матрицей

$\Phi (x)={\begin{pmatrix}y_{1}(x)&y_{2}(x)&\cdots &y_{n}(x)\\y'_{1}(x)&y'_{2}(x)&\cdots &y'_{n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-2)}(x)&y_{2}^{(n-2)}(x)&\cdots &y_{n}^{(n-2)}(x)\\y_{1}^{(n-1)}(x)&y_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &y_{n}^{(n-1)}(x)\end{pmatrix}},\qquad x\in I,$

принадлежащий $n$-мерная система однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка

${\begin{pmatrix}y'\\y''\\\vdots \\y^{(n-1)}\\y^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-p_{0}(x)&-p_{1}(x)&-p_{2}(x)&\cdots &-p_{n-1}(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y\\y'\\\vdots \\y^{(n-2)}\\y^{(n-1)}\end{pmatrix}}.$

След матрицы этой $-p_{n-1}(x)$, следовательно, тождество Абеля следует непосредственно из формулы Лиувилля .

Ссылки

• Абель, Н. Х., «Точности теории эллиптических функций», Дж. Рейн Ангью. Математика, 4 (1829), стр. 309–348.
• Бойс, М.Е. и ДиПрима, Р.К. (1986). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи , 4-е изд. Нью-Йорк: Уайли.
• Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-8328-0 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Тождество дифференциального уравнения Абеля» . Математический мир .